3.2.1《几类不同增长的函数模型

你能根据问题中的数据，判定所给的奖励 模型是否符合公司要求吗？
奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进 行奖励时,符合条件： (1)奖金总数不超过5万元； (2)奖金不超过利润的25%.
因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个函 数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步 的结论,再通过具体计算确认结果.
n
规律小结 ③ 在区间[0，+∞)上，尽管函数 y = ax(a＞1)，
y = logax(a＞1)和 y = xn(n＞0)都是增函数，但 随着 x 的增长，y = ax(a＞1)的增长速度越来越 而 y = logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因 此，总会存在一个 x0，当 x＞x0 时，就有 logax ＜xn＜ax.
它们的增长速度不同， 而且不在同一个“档次”上.
快，会超过并远远大于 y = xn(n＞0)的增长速度，
数据如下表： (练习P.981)
x
y1 y2 y3 y4
0
5 5 5 5
【1】四个变量y1, y2, y3, y4随变量x变化的
5
130 94.478 30 2.3107
10
505 1758.2 55 1.4295
· · · · · · · · · · · · ·指数函数模型
实质:分析三种函数的不同增长情况对于 奖励模型的影响，就是比较三个函数的增长 情况．
你能用数学语言描述符合公司奖励方案的 条件吗? ①销售利润达到10万元时，按销售利润 进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司 总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等 式表示为10≤ ____________. x≤1000 ②依据这个模型进行奖励时，奖金总数 不超过 5 万元 , 所以奖金 y 可用不等式表示为 0≤y≤5 _________. ③依据这个模型进行奖励时,奖金不超过 利润的 25%, 所以奖金 y 可用不等式表示为 0≤y≤25%x ___________.
y o
10
x
根据图象观察, f(x)=log7x+1-0.25x的 图象在区间[10,1000]内的确在x轴的下方. 这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不 会超过利润的25%.
按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不 超过利润的25%呢？
另解:作出f(x)的图象(利用计算机). 由图象知 f(x) 在[10,1000]上为减函数.
设第x天所得回报是y元,则 方案一可用函数y=40(x∈N*)进行描述; 方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述; 方案三可以用函数 y 0.4 2 x 1 ( x N *) 进行描述。
想一想：3.怎样去研究这三个函数,才能找到最佳方案呢?
要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况 进行分析,用计算器计算出三种方案所得回报的 增长情况,列表如下：
0.4 0.8
1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 …
0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 …
214748364.8 107374182.4
我想问
根据所列的表格中提供的数据,你 对三种方案分别表现出的回报资 金的增长差异有什么认识? 方案一每天的回报不变;方案二、三 每天的回报都在增加,且方案三随x的 增加每天的回报越来越大,比方案二 要大得多。
y log 7 x 1
y=5
x
y 1.002
20
o
40 60 80 10 12 0 0 00 00 0 0
x
①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000] 上递增,当x>20时,y>5,因此该模型不符 合要求;
通过观察图象,你认为哪个模型符合 y 公司的奖励方案？
8 7 6 5 4 3 2 1
方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？
想一想： 1.考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之
外,还得考虑什么?
我来说
回报的累积值
想一想： 2.本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数描述 这些数量关系?
对数函数 y=logax (a>1), 幂函数 y=xn (n>0) 与指数函数y = ax (a >1)在区间(0,+∞)上都是增 函数,但它们的增长是有差异的.那么这种差异 的具体情况到底是怎样呢?
y
y
y
1
0 1
o
o x
x
o x
制作函数值表(借助计算器制表). 以函数y = 2x , y=log2x , y=x2为例.
15
1130 33733 80 1.1407
20
2005 105 1.0461
25
3130 130 1.0151
y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x, 其 中 哪 个
模型能符合公司的要求？
本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的 实质是什么？
y=0.25x
· · · · · · · · · · · · · 一次函数模型
· · · · · · · · · · · · 对数函数模型 y=log7 x +1, · y=1.002x
f ( x) ≤ f 10 0.3167 0.
y o
10
说明当x∈[10,1000]时,有
.
y log 7 x 1 ≤ 0.25. x x
x
即奖金不会超过利润的25%. 综上,按对数函数模型奖励符合公司提出的要求.
从以上两个例子，我们看到对数 函数，指数函数和幂函数在第一象限 的增长是有差异的，下面观察它们的 差异．
x 2
观察函数y = 2x 与 y=x2之间的增长情况 问题(2)观察图象,试求出可使下列不等式 (0,+∞)成立的x的取值范围. (1)0<x<2或x>4时, (2)2<x<4时,
x 2 ;
2 x
2 x .
x 2
从函数图象可以看出 ,y=2x 与 y=x2 的图象有 两个交点 ,表明2x与x2在自变量的不同的区间有 不同的大小关系,有时2x>x2,有时2x<x2但当x越来 越大时, 2x的增长速度远快于x2.
累计回报表
1
40
天数 方案
2
80
3
4
5
200
6
240
7
0
8
320
9
360
10
400
11
440
一
120 160
二
三
10
30
60
2.8
100
6
150
12.4
210
25.2
280
360
450
204.4
550
409.2
660
816.8
0.4 1.2
50.8 102
我想问
根据以上分析,你认为该作出何种选择?
我想问
作出三个方案的图象看看?(见 教材分析P96)
y
140 120 100 80 60 40 20
我们看到， 底为2的指数函数模型 比线性函数模型增长速 度要快得多。从中体 会“指数爆炸“的 含义。
y 0.4 2
y 10 x
x 1
y 40
2 4 6 8 10 12
o
x
我想问
从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑 每天的回报量之外,还得考虑回报的累 积值.你能把前11天回报的累积值算出 来吗?
通过观察图象,你认为哪个模型符合 公司的奖励方案？
y
8 7 6 5 4 3 2 1
y=0.25x y=5
y 1.002
y log7 x 1
x
o
200 400 600 800 1000 1200
x
通过观察图象,你认为哪个模型符合 y 公司的奖励方案？
8 7 6 5 4 3 2 1
y=0.25x
规律小结
① 一般地， 对于指数函数 y=a (a＞1)和幂函 数 y=xn(n＞0)，在区间[0，+∞)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定变化范围内， a 会小于 x ，但由于 a 的增长快于 x 的增 长，因此总存在一个 x0，当 x＞x0 时，就会 有 a ＞x .
x n x n x n
x
规律小结
② 对于对数函数 y=logax(a＞1)和幂函数 y = x (n＞0)在区间[0，+∞)上，随着 x 的增 大，logax 增长得越来越慢.在 x 的一定变化 范围内，logax 可能会大于 x ，但由于 logax
n n n
的增长慢于 x 的增长，因此总存在一个 x0， 当 x＞x0 时，就会有 logax＜x .
按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不 超过利润的25%呢？
解:当x∈[10,1000]时, 要使y≤0.25x成立, 只需log7x+1≤0.25x 成立，即log7x+1-0.25x ≤0.
令f(x)= log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000] 时是否有f(x) ≤0恒成立? 即当x∈[10,1000]时,f(x)= log7x+1－0.25x 的图象是否在x轴下方? 作f(x)= log7x+1-0.25x的图象如下：
投资1～6天,应选择第一种投资 方案；投资7天，应选择方案一 或方案二，投资8~10天，应选 择第二种投资方案；投资11天 （含11天）以上，应选择第三种 投资方案.