35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)

排列、组合与二项式定理
1.两个计数原理
（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.
（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.
（3）两个计数原理的区别
分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.
2.排列
（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，
叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!
(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.
1!0=3.组合
（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，
叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!
m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：0
1n C =.
（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=k
n k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法
通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.
例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，
学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.
75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.
例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？
答：.
3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.
例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？
答：.
596)(471557512=+-C C C C
（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.
例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：63
63A A =4320
（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.
例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354
A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共1
1--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.
例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。

答：9.
（7）选排问题先取后排法：常先取出元素（组合）再排列.
例4-7：高三（6）班有34个男生，11个女生，从45名学生中选3名男生、2名女生分别担
任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的方法？答：.
55211334A C C （8）定序问题消序法：甲、乙、丙顺序一定，采用消序法即除法，用总排列数除以顺序一定的排列数.
例4-8:2名女生、4名男生排成一排，问：女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？答：.36022
66=A A 注意：在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有13
43C C 种不同的分法；而平均分为两组则有224222C C A 种不同的分法．5.二项式定理
（1）定理内容：)()(110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n .右边的多项
式叫做n b a )(+的二项展开式，它共有1+n 项，二项展开式的通项为第1+r 项，即
.1r r n r n r b a C T -+=二项展示式中的),,2,1,0(n r C r n =叫做第1+r 项的二项式系数.
注意：二项展开式中某项的系数不同于该项的二项式系数.例：在7)21(x +的展开式中，
第4项的二项式系数是,3537=C 而第4项的系数是.
2802337=⋅C （2）二项式系数的性质
n b a )(+展开式的二项式系数n n
n n C C C ,,,10 有如下性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n
m n m n C C C ；③当21-<n r 时，1+<r n r n C C ；当2
1->n r 时，r n r n C C <+1；④若n 是偶数，则中间项(第12+n 项)的二项公式系数最大，其值为C 2n
n ；若n 是奇数，则中
间两项(第21+n 项和第23+n 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C 21-n n =C 21
+n n ；⑤所有二项式系数和等于n 2，即n n n n n C C C 210=+++ ；
⑥奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即.
21531420-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C 注：在应用二项式定理求系数和（或二项式系数和）时，通常会采用特殊化的方式（“赋值法”）来处理问题，即将二项式定理中的变量用一些特殊的数字、代数式代入（或求导后再赋值），从而得到所要研究的对象.
1.=
++++n n n n n C C C C 321
12-n .2.=++++n n n n n nC C C C 3213212-⋅n n .3.=
++++n n n n n n C C C C 222233221 13-n .4.=++++-n
n n n n n
C C C C 13221222 213-n .5.=++++2242322n C C C C 31+n C .
例：已知n x x 223)(+的展开式的二项式系数的和比n x )13(-的展开式的二项式系数和大
.992在n x
x 2)12(-的展开式中：（1）求二项式系数最大的项；（2）求各项系数的和；（3）求系数的绝对值最大的项.答：5=n （1）80646-=T ；（2）1；（3）.
1536044x T -=百分位数
（1）定义：一般地，一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有%p 的数据小于或等于这个值，且至少有)%100(p -的数据大于或等于这个值.
（2）算法：可以通过下面的步骤计算一组n 个数据的第p 百分位数：
第一步，按从小到大排列原始数据.
第二步，计算%p n i ⨯=.
第三步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为,j 则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百分位数为第i 项与第1+i 项数据的平均数.
（2）应用：我们初中学过的中位数，相当于是第50百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.
例1．根据所给的以下数据:3.81，3.65，3.68，3.83，3.68，3.80，3.72，3.73，3.75，3.80，求他们的75%，50%分位数.
例2.我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理
的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得
了某年100个家庭的月均用水量（单位：t ），将数据按照
[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成5组，制成了
如图所示的频率分布直方图.求全市家庭月均用水量的25%
分位数的估计值（精确到0.01）.
答案：例1. 3.80；3.74；例2.t 18.3。