【湘教版】高中数学必修一期末一模试卷(含答案)

一、选择题
1．设一元二次方程210mx m -++=的两个实根为1x ，2x ，则22
12x x +的最小值为
（ ） A ．178
-
B ．
154
C ．1
D ．4
2．已知函数()()f x x R ∈是奇函数且当(0,)x ∈+∞时是减函数，若(1)0f =，则函数
2(2||)y f x x =-的零点共有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
3．若函数()2
2f x x x a =--有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．01a <≤
B ．10a -<<
C ．0a =或1a >
D ．01a <<
4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A ．21
1
x y x -=-与1y x =+
B ．y x =与log x
a y a =（0a >且1a ≠）
C ．y =
1y x =-
D ．lg y x =与21
lg 2
y x =
5．若实数a ，b ，c 满足232log log a
b c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b >
B ．log log a b b c >
C ．log b a c >
D ．b a c b >
6．已知函数()()2
13log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x 、21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪
⎝
⎭，都满足不等式
()()
2121
0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞
B ．(],1-∞-
C ．11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．11,
2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
7．函数()(3)()f x x ax b =--为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则(2)0f x ->的解集为（ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|5x x >或1}x <- C ．{|04}x x << D ．{|4x x >或0}x <
8．方程2x =所表示的曲线大致形状为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知函数()f x 的定义域为R ,对任意的 12,x x <都有1212()(),f x f x x x -<-且
(3)4,f =则(21)2f x x ->的解集为( )
A ．(2,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(0,)+∞
D ．(1,)-+∞
10．已知x ，y 都是非零实数，||||||
x y xy z x y xy =++可能的取值组成的集合为A ，则下列判断正确的是（ ） A ．3A ∈，1A -∉
B ．3A ∈，1A -∈
C ．3A ∉，1A -∈
D ．3A ∉，1A -∉
11．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|11B x x =-<<，集合{}|10C x mx =+>，若()A
B C ⊆，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．{}|21m m -≤≤
B ．1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
C ．1|12m m ⎧
⎫-≤≤
⎨⎬⎩⎭
D ．11|24m m ⎧⎫-
≤≤⎨⎬⎩
⎭
12．已知()()()()2
2
221
234()4444f x x x c x
x c x x c x x c =-+-+-+-+，集合
{}{}127()0,,,M x f x x x x Z ===⋯⊆，且1234c c c c ≤≤≤，则41c c -不可能的值是
（ ） A ．4
B ．9
C ．16
D ．64
二、填空题
13．已知函数()
2
log,02 sin,2
10
4
x x
f x
x x
π
⎧<<
⎪
=⎨⎛⎫
≤≤
⎪
⎪
⎝⎭
⎩
，若1234
x x x x
<<<且
()()()()
1234
f x f x f x f x
===，则
()()
34
12
22
x x
x x
--
的取值范围为____________. 14．已知函数2
()221
f x ax ax ax
=--+有两个零点，则实数a的取值范围是________. 15．若3763,
a b
==则
21
a b
+的值为_______
16．如图，在面积为2的平行四边形OABC中，AC CO
⊥，AC与BO交于点E.若指数函数()
01
x
y a a a
=>≠
,经过点E，B，则函数()a
f x x
x
=-在区间[]
1,2上的最小值为
________.
17．已知()13=
f x x，则不等式(21)
f x-()
230
f x
++>的解集为_________.
18．函数
1,1
()
32,1
2
x
a x
f x a
x x
⎧+>
⎪
=⎨⎛⎫
-+≤
⎪
⎪
⎝⎭
⎩
是R上的单调递增函数，则实数a取值范围为
________.
19．已知集合：A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，且A∩B=B，则实数a的取值集合为______．20．若关于x的不等式2
054
x ax
≤++≤的解集为A，且A只有二个子集，则实数a的值为_____．
三、解答题
21．已知函数()
f x为偶函数，当0
x≥时，()1
1
x
x
e
f x
e
-
=
+
.
（1）求当0
x<时，函数()
f x的解析式；
（2）判断函数()
f x在(),0
-∞上的单调性并证明；
（3）设函数()()()2
g x f ax f x a
=--+，使函数()
g x有唯一零点的所有a构成的集合记为M，求集合M.
22．某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设()
f t表示学生注意力指标．该小组发现()
f t随时间t（分钟）
的变化规律（()f t 越大，表明学生的注意力越集中）如下：
10060(010)10()340(1020)15640(2040)
t a t f t t t t ⎧-≤≤⎪⎪=⎨<≤⎪⎪-+<≤⎩（0a >且1a ≠）．若上课后第5分钟时的注意力指标
为140，回答下列问题： （1）求a 的值；
（2）上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； （3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 23．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，
()232f x ax ax =-+，（a R ∈）.
（1）求()f x 的函数解析式：
（2）当1a =时，求满足不等式()21log f x >的实数x 的取值范围. 24．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）用定义法证明()f x 在定义域上是增函数； （3）求不等式()()2520f x f x -+-<的解集. 25．已知函数()2
22f x x ax =++，[]5,5x ∈-．
（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；
（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数． （3）求函数()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值． 26．已知命题p ：x ∈A ＝{x|a －1＜x ＜a ＋1，x ∈R}，命题 q ：x ∈B ＝{x|x 2－4x ＋3≥0}． (1)或A∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，求实数a (2)若
是p 的必要条件，求实数a.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由一元二次方程有两个实根,可知0m ≠且0∆≥,可求出m 的取值范围,然后结合韦达定理
可得到22
12x x +的表达式,结合m 的取值范围可求出答案.
【详解】
∵
一元二次方程210mx m -++=有两个实根,
∴(()2
0410
m m m ≠⎧⎪⎨
∆=--+≥⎪⎩
,解得21m -≤≤且0m ≠.
又12x x m
+=
,121m x x m +⋅=,
则()222
1212122x x x x x x +=+-
⋅2
12m m m ⎛⎫+-⨯ ⎪⎪= ⎝⎭
2822m m =-- 令
1t m
=,因为21m -≤≤且0m ≠,所以1
2t ≤-或1t ≥,
则2
21
2
2
2
117822888t t t x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭
+,
当12t =-时,2212x x +取得最小值2
111781288⎛⎫---= ⎪⎝⎭
.
故选:C. 【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,考查韦达定理的应用,考查学生的计算能力与推理能力,属于中档题.
2．D
解析：D 【解析】
根据题意，函数y=f （x ）是定义域为R 的奇函数，则f （0）=0，
当x ∈（0，+∞）时是减函数，且f （1）=0，则函数在（0，+∞）上只有一个零点， 若函数y=f （x ）是奇函数且当x ∈（0，+∞）时是减函数，则f （x ）在（-∞，0）为减函数，
又由f （1）=0，则f （-1）=-f （1）=0，则函数在（-∞，0）上只有一个零点， 故函数y=f （x ）共有3个零点，依次为-1、0、1， 对于函数(
)
2
2y f x x =-， 当2
21x x -=-时，解得1x =±， 当220x x -=时，解得2x =±或0x =，
当221x x -=
时，解得1x =+
1x =--故函数(
)
2
2y f x x =-的零点共有7个. 故选D
点睛：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数y=f （x ）的零点，注意计算的准确性.
3．D
解析：D 【分析】 令0f x
，可得22x x a -=，作出()22g x x x =-的图象，令直线y a =与()g x 的
图象有4个交点，可求出实数a 的取值范围. 【详解】 令0f x
，则22x x a -=，
构造函数()2
2g x x x =-，作出()g x 的图象，如下图，
()g x 在()0,2上的最大值为()1121g =-=，
当01a <<时，直线y a =与()g x 的图象有4个交点， 所以函数()f x 有4个零点，实数a 的取值范围为01a <<. 故选：D. 【点睛】
本题考查函数的零点，注意利用数形结合方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
4．B
解析：B 【分析】
分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】
A ．21
1
x y x -=-的定义域为{}
1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；
B ．y x =与log x
a y a =的定义域均为R ，且log x
a y a =即为y x =，所以是同一个函
数； C ．21y x =-(]
[),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个
函数；
D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21
lg 2
y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】
思路点睛：同一函数的判断步骤：
（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；
（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.
5．D
解析：D 【分析】
首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】
由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，
01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，
log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，
故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k k
b c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】
关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.
6．C
解析：C 【分析】
由题意可知，函数()()2
13log f x x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭上单调递增，利用复合函数的单调性可知，内层函数2u x ax a =--在区间1,2⎛
⎫
-∞- ⎪⎝⎭
上单调递减，且0>u 对任意的1,2x ⎛⎫
∈-∞- ⎪⎝⎭
恒成立，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
因为()()21210f x f x x x ->-，所以()()213f x log x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭上是增函数，
令2u x ax a =--，而13
log y u =是减函数，所以
2
u x ax a =--在1,2⎛⎫
-∞-
⎪⎝⎭
上单调递减，
且20u x ax a =-->在1,2⎛⎫
-∞- ⎪⎝⎭上恒成立，所以2
122110
22a a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪----≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得1
12
a -≤≤
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，解题时还应注意真数要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7．B
解析：B 【分析】
根据函数是偶函数，求出a ，b 关系，结合单调性确定a 的符号即可得到结论． 【详解】
2()(3)()(3)3f x x ax b ax a b x b =--=-++为偶函数， 所以22()(3)3(3)3f x ax a b x b ax a b x b -=+++-=++ 30a b ∴+=，即3b a =-，
则2()(3)(3)(3)(3)9f x x ax a a x x ax a =-+=-+=-， 在(0,)+∞上单调递增，0a ∴>，
则由(2)(1)(5)0f x a x x -=--->，得(1)(5)0x x +->， 解得1x <-或5x >，
故不等式的解集为{|1x x <-或5}x >． 故选：B 【点睛】
思路点睛：解答本题只要按部就班化简转化函数为偶函数和单调性即可得解.由函数的奇偶性得到3b a =-，由函数的单调性得到0a >.
8．D
解析：D 【分析】
先利用方程得到图像的对称性，再作0y ≥，0x ≥时的图像，利用对称性即得结果. 【详解】
由方程2x =可知图像关于原点中心对称，也关于坐标轴对称.
20,44x y y =-≥-≤≤，20,22y x x =-≥-≤≤.
当0y ≥，0x ≥时，方程2x y +
=转化成()2
2y x =-，作图如下：
再利用对称性即得图像为 D. 故选：D. 【点睛】
本题解题关键是利用绝对值的性质得到图像的对称性，就只需要画0y ≥，0x ≥部分图像，即突破问题.
9．A
解析：A 【分析】
由题可得[][]1122()()0f x x f x x ---<,可构造函数()()F x f x x =-是R 上的增函数,原不等式可转化为()()213F x F ->,再结合增函数的性质可求出答案. 【详解】 由题
意,[][]121211221122()()()()()()0f x f x x x f x x f x x f x x f x x -<-⇔-<-⇔---<, 因为12,R x x ∈且12,x x <所以函数()()F x f x x =-是R 上的增函数.
()3(3)31F f =-=,
因为(21)2(21)(21)1f x x f x x ->⇔--->,所以()()213F x F ->, 则213x ->,解得2x >. 故选:A. 【点睛】
本题考查了函数的单调性的应用,构造函数()()F x f x x =-是解决本题的关键,属于中档题.
10．B
解析：B 【分析】
分别讨论,x y 的符号，然后对||||||
x y xy z x y xy =++进行化简，进而求出集合A ，最后根据集合元素的确定性即可得出答案.
【详解】
当0x >，0y >时，1113z =++=； 当0x >，0y <时，1111z =--=-； 当0x <，0y >时，1111z =-+-=-； 当0x <，0y <时，1111z =--+=-. 所以3A ∈，1A -∈. 故选：B. 【点睛】
本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.
11．B
解析：B 【分析】
求出A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，利用集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，分类讨论，可得结论． 【详解】
由题意，A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}， ∵集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，
①m ＜0，x 1m -＜，∴1m -≥2，∴m 12≥-，∴1
2
-≤m ＜0； ②m ＝0时，C ＝R,成立；
③m ＞0，x 1m -＞，∴1
m
-≤-1，∴m ≤1，∴0＜m ≤1， 综上所述，1
2
-≤m ≤1， 故选：B ． 【点睛】
此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
12．A
解析：A 【分析】
先设,i i x y 是方程2
04i x x c -+=()1,2,3,4i =的根，4,i i i i i x y x y c +=⋅=，再依题意分析
根均为整数，列举根的所有情况，确定44c =和1c 的可能情况，得到41c c -的最小取值和其他可能的情况，即得结果. 【详解】
设,i i x y 是方程2
04i x x c -+=()1,2,3,4i =的根，则由根和系数的关系知
4,i i i i i x y x y c +=⋅=，又{}{}127()0,,,M x f x x
x x Z ===⋯⊆，说明方程
204i x x c -+=()1,2,3,4i =有一个方程是两个相等的根，其他三个方程是两个不同的根，
由于根均为整数且和为4，则方程的根有以下这些情况：…，
()()()()()()()()()6,105,9,4,8,3,7,2,6,1,5,0,4,1,3,2,2------，乘积分别为…，-60，-45，-32，-21，-12，-5，0，3，4.
因为1234c c c c ≤≤≤，故44c =，123,,c c c 来自于4前面的任意可能三个不同的数字，1c 最小，故当15c =时41c c -最小，等于9，故不可能取4，能取9；当112c =-或160c =-时41c c -可以取16，64. 故选：A. 【点睛】
本题解题关键是能依据题意分析方程2
04i x x c -+=()1,2,3,4i =的根的可能情况，既是整
数又满足和为4，判断44c =，再根据1c 的可能情况，确定41c c -的可能结果，以突破难点.
二、填空题
13．【分析】根据解析式画出函数图象去绝对值并结合对数的运算性质求得根据正弦函数的对称性求得将化为结合二次函数的性质即可得出结果【详解】函数画出函数图象如下图所示:由函数图象可知若则因为与关于对称则且去绝 解析：()0,12
【分析】
根据解析式,画出函数图象.去绝对值并结合对数的运算性质求得12x x ⋅，根据正弦函数的对称性求得34x x +，将()()
3412
22x x x x --化为2
441220x x -+-，结合二次函数的性质，即可
得出结果. 【详解】
函数()2log ,02sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪
=⎨⎛⎫≤≤ ⎪
⎪⎝
⎭⎩，画出函数图象如下图所示:
由函数图象可知，若()()()()1234f x f x f x f x k ====，则()0,1k ∈， 因为1234x x x x <<<，3x 与4x 关于6x =对称， 则2122log log x x =，3412x x +=，且4810x <<， 去绝对值化简可得2122log log x x -=，
即2122log log 0x x +=，由对数运算可得()212log 0x x ⋅= 所以121x x ⋅=，则
()()()3434
343412
222420x x x x
x x x x x x --=-=++-
()23444442012201220x x x x x x =-=--=-+-，
令2
1220y x x =-+-，()8,10x ∈，
因为2
1220y x x =-+-是开口向下，对称轴为6x =的二次函数， 所以2
1220y x x =-+-在()8,10x ∈上单调递减，
所以10012020649620y -+-<<-+-， 即012y <<； 即
()()()3424
4
12
2212200,12x x x x
x x --=-+-∈
故答案为: ()0,12.
【点睛】
本题考查了分段函数的性质及应用，涉及求二次函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于中档题.
14．【分析】由函数有两个零点等价于且再求解即可【详解】解：令两边平方整理可得又由已知有且则解得或又方程有两不等实根则解得即综上可得实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了二次方程的解的个数问题重点
解析：11,43⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
由函数()21f x ax =
+有两个零点等价于2
40a a ->且
2244(4)0a a a ∆=-->，再求解即可.
【详解】
21ax =-，
两边平方整理可得2
2
(4)210a a x ax --+=， 又由已知有210ax -≥且2
(4)0a a -≠， 则240a a ->，解得1
4
a >
或0a <，
又方程22(4)210a a x ax --+=有两不等实根， 则2
2
44(4)0a a a ∆=-->，解得103
a <<， 即
1143
a <<， 综上可得实数a 的取值范围是11,43⎛⎫
⎪⎝⎭
， 故答案为：11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了二次方程的解的个数问题，重点考查了运算能力，属中档题.
15．1【分析】将指数式化为对数式得代入可得根据换底公式可求值【详解】由题意可得∵故答案为：1【点睛】本题主要考查对数与指数的互化对数的换底公式的应用考查基本运算求解能力
解析：1 【分析】
将指数式化为对数式得3log 63a =，7log 63b =，代入可得，
372121
log 63log 63
a b +=+，根据换底公式可求值. 【详解】
由题意可得，3log 63a =，7log 63b =， ∵
6363363721212log 3log 7log 631log 63log 63
a b +=+=+== 故答案为：1 【点睛】
本题主要考查对数与指数的互化，对数的换底公式的应用，考查基本运算求解能力.
16．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-
【分析】
设点()
,t
E t a ，则点B 的坐标为(
)2,2t
t a ，由题意得22t
t a
a =，则2t a =，再根据平行四
边形的面积求得1
2
t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值． 【详解】
解：设点()
,t
E t a ，则点B 的坐标为(
)2,2t
t a ，
∵22t t a a =，∴2t a =，
∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==， 又平行四边形OABC 的面积为2，
∴42t =，1
2
t =
，所以12
2a =，4a =， ∴()4
f x x x
=-在[]1,2为增函数，
∴函数()f x 的最小值为()4
111
f =-=3-， 故答案为：3-． 【点睛】
本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．
17．【分析】先利用幂函数性质和奇函数定义判断是R 上单调递增的奇函数再结合奇偶性和单调性解不等式即可【详解】由幂函数性质知时在是增函数故函数在是增函数又定义域是R 而故是R 上的奇函数根据奇函数对称性知在R 上
解析：1,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
【分析】
先利用幂函数性质和奇函数定义判断()f x 是R 上单调递增的奇函数，再结合奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】
由幂函数性质知，01α<<时y x α
=在[)0,+∞是增函数，故函数()1
3
=f x x 在[)
0,+∞是增函数，又()f x 定义域是R ，而()()()11
3
3
=f x x x f x =-=---，故()f x 是R 上的奇函数，根据奇函数对称性知，()f x 在R 上单调递增.故不等式
(21)f x -() 230f x ++>即(21)f x -()() 2323f x f x >-+=--，故
2123x x ->--，即12x >-，故解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.
故答案为：1,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
.
【点睛】 思路点睛：
利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：
（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式
()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等
式即可；
（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式
()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不
等式即可.
18．【分析】根据指数函数和一次函数的性质得出关于的不等式组即可求解【详解】由题意函数是上的单调递增函数可得解得即实数取值范围故答案为：【点睛】利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性将题设条
解析：8[,6)3
【分析】
根据指数函数和一次函数的性质，得出关于a 的不等式组，即可求解. 【详解】
由题意，函数1,1()32,1
2x a x f x a x x ⎧+>⎪
=⎨⎛⎫
-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩是R 上的单调递增函数， 可得1302
1322a a a a ⎧
⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪
+≥-+⎪⎩
，解得863a ≤<，即实数a 取值范围8[,6)3.
故答案为：8
[,6)3
. 【点睛】
利用函数的单调性求解参数的取值范围：
根据函数的单调性，将题设条件转化为函数的不等式（组），即可求出参数的值或范围； 若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的.
19．{-101}【分析】由已知得B ⊆A 从而B=∅或B={-1}或B={1}进而或=-1或由此能求出实数a 的取值集合【详解】∵A={x|x2=1}={-11}A∩B=B ∴B ⊆A ∴B=∅或B={-1}或B=
解析：{-1，0，1} 【分析】
由已知得B ⊆A ，从而B=∅或B={-1}，或B={1}，进而0a =,或1
a =-1或11a
=，由此能求出实数a 的取值集合．
【详解】
∵A={x|x 2=1}={-1，1}， A∩B=B ，∴B ⊆A ， ∴B=∅或B={-1}，或B={1}， ∴0a =，或
1
a =-1或11a
=， 解得a=0或a=-1或a=1． ∴实数a 的取值集合为{-1，0，1}． 故答案为：{-1，0，1}． 【点睛】
本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．
20．【分析】由题得集合A 里只有一个元素所以只有一个解令得到再检验得解【详解】因为集合只有二个子集所以集合A 里只有一个元素由题得只有一个解令令当时不等式（1）的解为不等式（2）解为不等式组的解集为不满足题 解析：2±
【分析】
由题得集合A 里只有一个元素.所以22+501
102x ax x ax ⎧+≥⎨++≤⎩（）（）
只有一个解，令12=00
∆∆=，
得到2a a =±=±，再检验得解. 【详解】
因为集合A 只有二个子集， 所以集合A 里只有一个元素.
由题得22+501102x ax x ax ⎧+≥⎨++≤⎩
（）（）只有一个解，
令21=200,a a ∆-=∴=±
令2
2=40,2a a ∆-=∴=±.
当a =1）的解为R ，不等式（2
）解为22x -≤≤
组的解集为{|22x x --≤≤，不满足题意；
当a =-1）的解为R ，不等式（2
）解为x -≤，不等式
组的解集为{|x x -≤≤，不满足题意；
当2a =时，不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解为1x =-，不等式组的解集为
{|1}x x =-，满足题意；
当2a =-时，不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解为1x =，不等式组的解集为
{|1}x x =，满足题意.
故答案为2a =±. 【点睛】
本题主要考查集合的子集的个数，考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题
21．（1）()11x
x
e f x e
-=+；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见详解；（3）{}1,0,1,2M =-.
【分析】
（1）当0x <时，0x ->，()1111x x
x x
e e
f x e e
-----==++，利用函数的奇偶性求解即可；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，利用定义证明函数的单调性即可；（3）把函数
()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题，利用函
数的奇偶性和单调性得到2ax x a =-+，两边平方，利用方程有唯一的解即可得出结果. 【详解】
（1）当0x <时，0x ->， 又函数()f x 为偶函数，
则()()1111x x
x x
e e
f x f x e e
-----===++， 所以函数()f x 的解析式为()11x
x
e f x e
-=+； （2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 设任意120x x <<，
则()()()()()
1221
2112212111111x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++， 因为x
y e =在R 上单调递增， 所以12x x e e <，即120x x e e -<， 所以()()21f x f x <，
所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减； （3）因为函数()f x 为偶函数， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减，
函数()()()2g x f ax f x a =--+的零点就是方程()()20f ax f x a --+=的解， 因为函数()g x 有唯一零点，
所以方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解， 因为函数()f x 为偶函数， 所以方程变形为：()()2f
ax f x a =-+，
因为函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以2ax x a =-+， 平方得：
()()()2
2
2
12220a x
a x a -+-+-=，
当210a -=时，即1a =±，经检验方程有唯一解； 当210a -≠时，()(
)()
2
2
2
424120a a a ∆=----=，
得()2
2200a a a -=⇒=或2a =， 综上可得：集合{}1,0,1,2M =-. 【点睛】
关键点睛：把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题是解决本题的关键.
22．（1）4a =；（2）上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．理由见解析；（3）85
3
分钟. 【分析】
（1）由5t =时对应的函数值为140，得a 的方程，解方程可得a 的值； （2）先求35t =时对应的函数值，再与140比较大小；
（3）实际上解不等式()140f t ≥，分三段依次求解，最后将三段解集求并集. 【详解】
（1）由题意得，当5t =时，(t)14C f =，
即5
1006014010
a
⋅-=，解得4a =． （2）因为(5)140f =，(35)1535640115f =-⨯+=，
所以(5)(35)f f >，
故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中． （3）①当010t <≤时，由（1）知，()10046014010
t
f t =⋅-≥，解得510t ≤≤； ②当1020t <≤时，()340140f t =>恒成立； ③当2040t <≤时，(t)15640140f t =-+≥， 解得100203t <≤
．综上所述，100
53
t ≤≤．
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持10085
533
-=分钟． 【点睛】
本题考查函数的应用，比较基础，第三问关键点是注意对t 的分类讨论，最后合成并集.
23．（1）()2232,0
32,0
ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩；（2）()
()()()3,21,00,12,3---.
【分析】
（1）根据已知和函数的奇偶性可得0x <的解析式从而求得()f x ； （2）当1a =时，分别解每一段小于1的不等式，最后求两段的并集可得答案. 【详解】
（1）设0x <，0x ->，()2
32f x ax ax -=++，又∵()f x 为偶函数，
()()f x f x -=，∴()232f x ax ax =++. 综上：()22
32,0
32,0
ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩. （2）当1a =时，可知：0x >，(
)
2
232log 1x x -<+，
原不等式等价于22320
322
x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得()
()0,12,3x ∈，
同理可知：0x <，(
)
2
232log 1x x +<+，
原不等式等价于22320
322x x x x ⎧++>⎨++<⎩
，解得()
()1,03,2x ∈---，
综上：实数x 的取值范围为()()()()3,21,00,12,3---.
【点睛】
求分段函数的解析式，要根据函数的奇偶性、对称性、周期性等结合已知条件进行求解，要注意定义域.
24．（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）}{
23x x <<. 【分析】
（1）求出函数定义域，求出()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-即可得到奇偶性； （2）任取1211x x -<<<，
则()()12f x f x -122111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⋅ ⎪+-⎝
⎭，得出与0的大小关系即可证明；
（3）根据奇偶性解()()()2522f x f x f x -<--=-，结合单调性和定义域列不等式组即可得解. 【详解】
（1）由对数函数的定义得1010x x ->⎧⎨+>⎩，得1
1x x <⎧⎨>-⎩
，即11x -<<
所以函数()f x 的定义域为()1,1-.
因为()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-， 所以()f x 是定义上的奇函数. （2）设1211x x -<<<，
则()()()()()()121122ln 1ln 1ln 1ln 1f x f x x x x x -=+---++-
122111ln 11x x x x ⎛⎫
+-=⋅ ⎪+-⎝
⎭
因为1211x x -<<<，所以12011x x <+<+，21011x x <-<-， 于是12
21
1101,0111x x x x +-<<<<+-. 则1221
110111x x x x +-<
⋅<+-，所以122111ln 011x x x x ⎛⎫+-⋅< ⎪+-⎝⎭
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，即函数()f x 是()1,1-上的增函数. （3）因为()f x 在()1,1-上是增函数且为奇函数.
所以不等式()()2520f x f x -+-<可转化为()()()2522f x f x f x -<--=-
所以1251121252x x x x -<-<⎧⎪
-<-<⎨⎪-<-⎩
，解得23x <<.所以不等式的解集为}{
23x x <<.
【点睛】
此题考查判断函数的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式，关键在于熟练掌握奇偶性和单调性的判断方法，解不等式需要注意考虑定义域. 25．（1）最大值为37，最小值为1；（2）(]
[),55,-∞-+∞；（3）
()22710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪
=--<<⎨⎪-≥⎩
，()max 2g a =.
【分析】
（1）利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值和最小值； （2）分析二次函数()y f x =图象的开口方向和对称轴，然后对函数()y f x =在区间上为增函数或减函数两种情况分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；
（3）对实数a 的取值进行分类讨论，分析二次函数()f x 在区间[]5,5-上的单调性，进而
可求得()g a 关于a 的表达式，并求出a 在不同取值下()g a 的取值范围，由此可得出()g a 的最大值.
【详解】
（1）当1a =-时，()()2
22211f x x x x =-+=-+.
所以，函数()f x 在区间[]5,1-上为减函数，在区间[]1,5上为减函数，
当[]5,5x ∈-时，()()min 11f x f ==， ()517f =，()537f -=，所以，()()max 537f x f =-=；
（2）二次函数()2
22f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-. ①若函数()y f x =在区间[]5,5-上是增函数，则5a -≤-，解得5a ≥；
②若函数()y f x =在区间[]5,5-上是减函数，则5a -≥，解得5a ≤-.
综上所述，实数a 的取值范围是(]
[),55,-∞-+∞； （3）二次函数()222f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-.
①当5a -≤-时，即当5a ≥时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为增函数，
则()()52710g a f a =-=-，此时()23g a ≤-；
②当55a -<-<时，即当55a -<<时，
函数()y f x =在区间[)5,a --上为减函数，在区间(]
,5a -上为增函数，
则()()22g a f a a =-=-，此时()(]2223,2g a a =-∈-；
③当5a -≥时，即当5a ≤-时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为减函数， 则()()52710g a f a ==+，此时()271023g a a =+≤-.
综上所述，()22710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩
，()max 2g a =. 【点睛】
方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
26．(1) a ＝2；(2) a ＝2
【详解】
解：(1)由题意得B ＝{x|x≥3或x≤1}，
由A∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，可知A ＝∁R B ＝(1,3)
∴⇒a＝2-
(2)∵B＝{x|x≥3或x≤1}，∴：x∈{x|1＜x＜3}．
∵是p的必要条件．即p⇒，
∴A⊆∁R B＝(1,3)
∴
⇒2≤a≤2⇒a＝2.
本试题主要考查了命题的真值，以及集合的运算的综合运用，以及二次不等式的求解问题．。