广东省佛山市三水中学高三数学5月临考集训试卷 理 新人教A版【会员独享】

三水中学2012届高三临考集训试卷
理科数学试题
一、选择题 （共8小题，每小题5分，共40分..） 1.设全集U=R,集合，
，若A 与B 的 关系如右图所示,则实数a 的取值范围是 （A ）
（B ） （C ） （D ）
2．在复平面内，复数1i
i
+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
3．函数)2
(cos 2
π
+=x y 的单调增区间是
（A ）]2,
[ππ
πk k +k ∈Z （B ）],2
[
ππππ
++k k k ∈Z
（C ）]2,2[πππ+k k k ∈Z （D ）]22,2[ππππ++k k k ∈Z
4.41(2)x x
-的展开式中的常数项为 （A ）24- （B ）6- （C ）6 （D ）24
5.若x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）
（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6
6．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.
给出下说法：
①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有说法正确的序号是 ． （A ）① ③ （B ）①④ （C ）② ③ （D ）②④
(1)
(2)
(3)
7. .如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为
A. 960.0
B.864.0
C. 720.0
D. 576.0
8.定义：()00>>=y ,x y )y ,x (F x ，已知数列{}n a 满足：()()
n ,F ,n F a n 22=
()n *∈N ，若对任意正整数n ，都有k n a a ≥()k *∈N 成立，则k a 的值为 （A ）
12 （B ）2 （C ）89 （D ）98
二、填空题 （本题共6小题，每小题5分，共30分.其中9—13题为必做题，14—15为选做题）
（一）必做题 9—13
11．已知非零向量，满足||3
3
2||||=
-=+， 则b a +与b a -的夹角为 ．
12．过点P )1,2(的双曲线与椭圆14
22
=+y x 共焦点，则其渐近线方程是 ． 13.已知函数sin 1()1
x x f x x -+=+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值
为 . (二)选做题14—15
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标下，曲线122:()x t a
C t y t =+⎧⎨
=-⎩
为参数，
曲线22cos :()12cos x C y θ
θθ
=⎧⎨
=+⎩为参数，若曲线C 1、C 2有
公共点，则实数a 的取值范围为 ． 15．（几何证明选讲）如图，点,,A B C 是圆O 上的点,
K
A 1
A 2
且2,120AB BC CAB ==∠=, 则AOB ∠对应的劣弧长为 ．
16．（本小题满分12分）已知2
3
cos 3cos sin )(2
-
+-=x x x x f ωωω的周期为2π （1）求()x f 的最大值以及取最大值时x 的集合 （2）已知()31=αf ，且α)2
,0(π
∈，求)265cos(
απ+
17.（本小题满分12分）如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
(1)
为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．
18.（本小题满分14分）已知DBC ∆∆和ABC 所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，
0120=∠=∠DBC CBA ，求：
⑴．直线AD 与平面BCD 所成角的大小； ⑵．直线AD 与直线BC 所成角的大小；
⑶．二面角A-BD-C 的余弦值．
19. （本小题满分14分）已知⊙O ：122=+y x ，M 为抛物线x y 82=的焦点，P 为⊙O
外一点，由P 作⊙O 的切线与圆相切于N 点，且2=PM
PN
（1）求点P 的轨迹C 的方程
（2）设A 为抛物线x y 82=准线上任意一点，由A 向曲线C 作两条切线AB 、AC ，
其中B 、C 为切点。

求证：直线BC 必过定点
20．（本小题满分14分）已知函数2
1()ln (1)(0).2
f x x ax a x a R a =-+-∈≠且
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点．
如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①12
02
x x x +=
；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）存在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由
21. （本小题满分14分）
已知数列{}n a 满足*1|1|()n n a a n N +=-∈, （1）若15
4
a =
，求n a ； （2）是否存在*1010,(,)a n a R n N ∈∈,使当*0()n n n N ≥∈时，n a 恒为常数。

若存在求10,a n ，否则说明理由；
三水中学2012届高三临考集训 数 学（理科）答题卷
______ ___________班别：___________姓名：_______ _______考号：_________
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15是选做题
9． 。

10． 。

11． 。

12．___________， 13． ；14． ．15． ． 三、解答题：共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
17．（本小题满分12分）
18．（本小题满分14分）
19（本小题满分14分）（20,21题写在背面）
三水中学2012高三热身考试理科数学答案
一、CAAD ACBC
二、9、12 10、),1[+∞ 11、0
60 12、02=±y x 13、2
14、[-2,4] 15、
π2
2 16.解（1）()x x x f ωω2cos 232sin 2
1+
-=⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=322sin πωx …………2分 πωπ222==
T ∴21=ω……………….3分 ∴()x f ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=32sin πx ……………….4分 ∴()x f 的最大值是1…………….5分∴当()x f =1时，2
232π
ππ+=+
k x ，Z k ∈ ∴()x f 的最大值是1，此时x 的集合为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈-
=Z k k x x ,62π
π (2) ()31
3
2sin =⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+
=πααf ,又α)2,0(π∈∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈+πππα,3232………………8分 ∴32232cos -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
πα……….9分 ∴924342sin -=⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+πα………….10分 ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
3422cos 2342cos 652cos παπππαπα 924342sin -
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=πα………………..12分 17.解 (1)A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1,2.
用频率估计相应的概率可得P (A 1)＝0.1＋0.2＋0. 3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P (A 1)>P (A 2)，∴甲应选择L 1；……………..3分
P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P (B 2)>P (B 1)，∴乙应选择L 2…………..5分
(2)A ，B 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P (A )＝0.6，P (B )＝0.9，又由题意知，A ，B 独立，X 的可能取值为0,1,2……….6分 ∴P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.4×0.1＝0.04，
P (X ＝1)＝P (A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42， P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.6×0.9＝0.54…………….9分.
∴X 的分布列为
………10分
∴E (X )＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5(人)．………….12分 18.⑴如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ， 则AH ⊥平面DBC ，∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角
由题设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH =DH ，∴∠ADH =45°…………….5分
⑵∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影， ∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90° ……9分
⑶过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —
BD —C 的平面角的补角 设BC =a ,则由题设知，AH =DH =
2,23a BH a =,在△HDB 中，HR =4
3
a ，∴tan ARH =
HR
AH
=2 故二面角A —BD —C 的余弦值的大小为5
5
-
…………14分 19解：（1）抛物线x y 82=的焦点M （2，0）………….1分 设),(y x p
2=PM
PN ∴
()
221
2
2
22=+--+y
x y x ………4分 化简得方程
09822=+-+x y x
∴P 点轨迹为⊙C: 09822=+-+x y x …………6分
(2)抛物线x y 82=准线方程为2-=x …………..7分 设A ()m ,2-)(R m ∈ ⊙C: 09822=+-+x y x 化为7)4(22=+-y x ……….. ①
∴C(4,0),半径72=r …………..8分 由已知得29222
2+=-=m r AC AB
以A 为圆心,AB 为半径的圆的方程为29)()2(2
2
2
+=-++m m y x 即025242
2
=--++my x y x ………..②……………10分 由于
BC
为两圆公共弦所在直线 由②－①得
BC
直线方程
0176=+-my x ……………..12分
R m ∈∴⎩⎨
⎧=-=01760x y 得⎪⎩
⎪⎨⎧
==0617y x ∴直线BC 过定点)0,617(…………14分
20解：（Ⅰ） 函数()f x 的定义域是(0,)+∞. ………1分
由已知得，1
(1)()
1'()1a x x a f x ax a x x
-+=-+-=-. ………2分 ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ 当0a <时， ①当11a -
<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得1
0x a
<<-或1x >;
∴函数()f x 在1
(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增
②当1
1a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a
>-
∴函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-+∞上单调递增 。

6分 综上所述:⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增 ⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-
+∞上单调递增 ………….7分 (Ⅱ)假设函数()f x 存在“中值相依切线”.
设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点，且120x x <<， 则211111ln (1)2y x ax a x =-
+-，222221
ln (1)2
y x ax a x =-+-. 2121
AB y y k x x -=
-2221212121
1
(ln ln )()(1)()
2x x a x x a x x x x ---+--=
-211221ln ln 1
()(1)2
x x a x x a x x -=
-++-- …9分
曲
线
在
点
00(,)
M x y 处的切线斜率
0()k f x '=12(
)2x x f +'=12122
(1)2
x x a a x x +=-⋅+-+， 依题意得：
211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122
(1)2
x x a a x x +=-⋅+-+.
化简可得： 2121ln ln x x x x --122
x x =+， 即21ln x x =21212()x x x x -+21
2
1
2(1)1
x
x x x -=+. ….11分 设
2
1
x t x = (1t >)，上式化为：2(1)4ln 211t t t t -=
=-++, 4ln 21t t +=+. 令4()ln 1g t t t =++,214'()(1)g t t t =-+=
2
2
(1)(1)t t t -+. 因为1t >,显然'()0g t >，所以()g t 在(1,)+∞上递增, 显然有()2g t >恒成立. 所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4
ln 21
t t +
=+成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数()f x 不存在“中值相依切线”. …..14分 21解：（1）12345131
,,,,4444
a a a a =
===2分
15,24a n ∴=≥时，1,24
3
,21
4
n n k a n k ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，其中*
k N ∈` ………….6分
(2)因为存在11,1|1|1,1
n n n n n n a a a a a a +-≥⎧=-=⎨-+<⎩，所以当
1n a ≥时，1n n a a +≠
①若101a <<，则213211,1a a a a a =-=-=，此时只需：211111,2
a a a a =-=∴= 故存在*111
,,()22
n a a n N =
=∈ ……………..8分 ②若11=a 不符合题意………………9分
③若11>=b a ，不妨设*
[,1),b m m m N ∈+∈,易知1[0,1)m a b m +=-∈，
21111()m m m a a b m a b m +++∴=-=--==-
111
,,122
b m a m n m ∴=+∴=+≥+时，*1,()2n a m N =∈…………….11分
④若10a c =<，不妨设*
(,1),c l l l N ∈--+∈，易知
2321(,1],1,,a c l l a a c =-+∈+∴=-=-2(1)(0,1]l a c l +=---∈
*111,(),2,22
c l a l l N n l ∴=-+∴=-+∈≥+则12n a = ………..13分 故存在三组1a 和0n ：
112a =时，01n =； 112a m =+时，01n m =+； 112a m =-+时，02n m =+其中*m N ∈…………14分。