安徽省六安一中2015-2016学年高一下学期开学数学试卷Word版含解析

2015-2016学年安徽省六安一中高一（下）开学数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知M={x|x﹣a=0}，N={x|ax﹣1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为（）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或1或﹣1
2．已知函数的定义域是（）
A．[﹣1，1] B．{﹣1，1} C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
3．a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9的大小关系是（）
A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a
4．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）
A．B．C．D．
7．方程（x﹣）=0表示的曲线为（）
A．一条直线和一个圆 B．一条射线与半圆
C．一条射线与一段劣弧D．一条线段与一段劣弧
8．直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）
A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或1
9．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）
A．2B．8 C．4D．10
10．对于平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“折线距离”：d（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．则下列命题正确的是（）
①若A（﹣1，3），B（1，0），则；
②若A为定点，B为动点，且满足d（A，B）=1，则B点的轨迹是一个圆；
③若点C在线段AB上，则d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．
A．①②B．②C．③D．①②③
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
11．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=．
12．设函数f（x）=，则函数的零点个数为个．
13．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为．
14．求函数的最小值为．
三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点A（﹣3，﹣1）和点B（5，5）．
（Ⅰ）求过点A且与直线AB垂直的直线l的一般式方程；
（Ⅱ）求以线段AB为直径的圆C的标准方程．
16．已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈[0，]时，f（x+3）＜2x+a恒成立，求a的范围．
17．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B 和B′C′的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．
（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（1）证明BE⊥DC；
（2）求二面角E﹣AB﹣P的值；
（3）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．
19．设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x﹣1，其中实数k1，k2满足k1k2+1=0．
（1）证明：直线l1与l2相交；
（2）试用解析几何的方法证明：直线l1与l2的交点到原点距离为定值；
（3）设原点到l1与l2的距离分别为d1和d2，求d1+d2的最大值．
2015-2016学年安徽省六安一中高一（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知M={x|x﹣a=0}，N={x|ax﹣1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为（）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或1或﹣1
【考点】交集及其运算．
【分析】根据题意，M={a}，若M∩N=N，则N⊆M，对N是不是空集进行分2种情况讨论，分别求出符合条件的a的值，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，分析可得，
M是x﹣a=0的解集，而x﹣a=0⇒x=a；
故M={a}，
若M∩N=N，则N⊆M，
①N=∅，则a=0；
②N≠∅，则有N={}，
必有=a，
解可得，a=±1；
综合可得，a=0，1，﹣1；
故选D．
2．已知函数的定义域是（）
A．[﹣1，1] B．{﹣1，1} C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由函数解析式可得，通过解不等式组可得x的范围，即得函数的定义域．
【解答】解：∵，
∴，
∴1≤x2≤1
∴x2=1即x=±1
∴函数的定义域为：{﹣1，1}
故选B
3．a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9的大小关系是（）
A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】由指数函数，对数函数的单调性，确定0＜a=log0.70.8＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1．
【解答】解：0＜a=log0.70.8＜1，
b=log1.10.9＜0，
c=1.10.9＞1．
故选A．
4．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）
A．3 B．6 C．9 D．12
【考点】函数的值．
【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．
【解答】解：函数f（x）=，
即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，
f（log212）==12×=6，
则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．
故选C．
5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B 的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；
B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；
C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．
D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；
故选C．
6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）
A．B．C．D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．
【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．
故选：C．
7．方程（x﹣）=0表示的曲线为（）
A．一条直线和一个圆 B．一条射线与半圆
C．一条射线与一段劣弧D．一条线段与一段劣弧
【考点】曲线与方程．
【分析】根据（x﹣）=0，可得x=或=0，从而可得结论．
【解答】解：∵（x﹣）=0，
∴x=或=0（﹣2≤y≤4），
∴x2+（y﹣1）2=9（x≥0）或x=y（﹣2≤y≤4）．
故选D．
8．直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）
A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或1
【考点】直线的截距式方程．
【分析】先求出直线在两个坐标轴上的截距，由在两个坐标轴上的截距相等解方程求得a的值．【解答】解：由直线的方程：ax+y﹣2﹣a=0得，
此直线在x轴和y轴上的截距分别为和2+a，
由=2+a，
得a=1 或a=﹣2，
故选D．
9．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）
A．2B．8 C．4D．10
【考点】两点间的距离公式．
【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．
【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，
∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，
∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，
令x=0，可得y2+4y﹣20=0，
∴y=﹣2±2，
∴|MN|=4．
故选：C．
10．对于平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“折线距离”：d（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．则下列命题正确的是（）
①若A（﹣1，3），B（1，0），则；
②若A为定点，B为动点，且满足d（A，B）=1，则B点的轨迹是一个圆；
③若点C在线段AB上，则d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．
A．①②B．②C．③D．①②③
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】利用“折线距离”：d（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|，逐一判断命题①②③即可得到答案．
【解答】解：①∵A（﹣1，3），B（1，0），则d（A，B）=|1﹣（﹣1）|+|0﹣3|=2+5=5，故①错误；
②不妨令点A为坐标原点，B（x，y），则d（A，B）=|x|+|y|=1，B点的轨迹是一个正方形，而不是圆，故②错误；
③设直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），设C点坐标为（x0，y0），
∵点C在线段AB上，
∴x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，不妨令x1＜x0＜x2，y1＜y0＜y2，
则d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|
=x0﹣x1+y0﹣y1+x2﹣x0+y2﹣y0
=x2﹣x1+y2﹣y1
=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|
=d（A，B）成立，故③正确．
∴正确的命题是③．
故选：C．
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
11．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=1．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），
∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），
∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，
∴ln（+x）（﹣x）=0，
∴lna=0，
∴a=1．
故答案为：1．
12．设函数f（x）=，则函数的零点个数为3
个．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】问题等价于函数y=f（x）与函数y=﹣图象的公共点个数，作出函数的图象可得．
【解答】解：函数的零点个数等价于函数y=f（x）与函数y=﹣图象的公共
点个数，
作出它们的图象可得公共点个数为3，
故答案为：3
13．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】先连BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角转化为直线BC1与DM 所成的角．结合M、N分别是棱BB1、B1C1的中点
及三垂线定理得出直线BC1与DM所成的角90°，从而求得异面直线AD1与DM所成的角．【解答】解：连BC1，则BC1∥AD1
则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM所成的角．
∵M、N分别是棱BB1、B1C1的中点
∴BC1∥MN，
∵∠CMN=90°，
∴直线BC1⊥MC，
又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，
∴DM⊥BC1
，
直线BC1与DM所成的角90°，
则异面直线AD1与DM所成的角为90°．
故答案为：90°．
14．求函数的最小值为5．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】根据其几何意义即可求出答案．
【解答】解：函数
=+=+
表示x轴上动点P（x，0）到A（4，1）和B（0，﹣2）的距离和，当
P为AB与x轴的交点时，函数取最小值|AB|==5，
故答案为：5
三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点A（﹣3，﹣1）和点B（5，5）．
（Ⅰ）求过点A且与直线AB垂直的直线l的一般式方程；
（Ⅱ）求以线段AB为直径的圆C的标准方程．
【考点】圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）求出过点A且与直线AB垂直的直线l的斜率，根据点斜式得直线l的方程，整理得直线l的一般式方程；
（Ⅱ）确定圆心坐标与半径，即可求以线段AB为直径的圆C的标准方程．
【解答】解：（Ⅰ）由条件知，则
根据点斜式得直线l的方程为，
整理得直线l的一般式方程为4x+3y+15=0．…
（Ⅱ）由题意得C（1，2），
故以线段AB为直径的圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．…
16．已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈[0，]时，f（x+3）＜2x+a恒成立，求a的范围．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（1）令x=1，y=0得f（0）的方程，解方程即可得出；
（2）y=0，可得f（x）的方程，即可解出f（x）的解析式；
（3）f（x+3）＜2x+a可化为a＞x2+5x在x∈[0，]恒成立，转化为a＞（x2+5x）max，求最
值即可．
【解答】解：（1）令x=1，y=0得f（1+0）﹣f（0）=2，
又f（1）=0，可得f（0）=﹣2，
（2）令y=0，可得f （x ）﹣f （0）=x （x +1），
所以f （x ）=x 2+x ﹣2，
（3）x ∈[0，]时，f （x +3）＜2x +a 恒成立，即x ∈[0，]时，a ＞x 2+5x +10恒成立． ∴a ＞（x 2+5x +10）max ，
因为x 2+5x +10在[0，]单调增，所以最大值为
．
所以a 的范围是a ＞．
17．如图，直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′，∠BAC=90°，
，AA ′=1，点M ，N 分别为A ′B
和B ′C ′的中点．
（Ⅰ）证明：MN ∥平面A ′ACC ′；
（Ⅱ）求三棱锥A ′﹣MNC 的体积．
（椎体体积公式V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高）
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（Ⅰ）证法一，连接AB ′，AC ′，通过证明MN ∥AC ′证明MN ∥平面A ′ACC ′．
证法二，通过证出MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′．证出MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′，即能证明平面MPN ∥平面A ′ACC ′后证明MN ∥平面A ′ACC ′．
（Ⅱ）解法一，连接BN ，则V A ′﹣MNC =V N ﹣A ′MC =V N ﹣A ′BC =V A ′﹣NBC =．
解法二，V A ′﹣MNC =V A ′﹣NBC ﹣V M ﹣NBC =V A ′﹣NBC =．
【解答】（Ⅰ）（证法一）
连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC=90°，AB=AC ，三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′为直三棱柱，
所以M 为AB ′的中点，又因为N 为B ′C ′中点，所以MN ∥AC ′，
又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，所以MN ∥平面A ′ACC ′；
（证法二）
取A ′B ′中点，连接MP ，NP ．而M ，N 分别为AB ′，B ′C ′中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′．所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′；又MP ∩PN=P ，
所以平面MPN ∥平面A ′ACC ′，而MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面A ′ACC ′；
（Ⅱ）（解法一）连接BN ，由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′=B ′C ′，所以A ′N ⊥
平面NBC ，又A ′N=B ′C ′=1，故
V A ′﹣MNC =V N ﹣A ′MC =V N ﹣A ′BC =V A ′﹣NBC =．
（解法二）
V A ′﹣MNC =V A ′﹣NBC ﹣V M ﹣NBC =V A ′﹣NBC =．
18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点．
（1）证明BE ⊥DC ；
（2）求二面角E ﹣AB ﹣P 的值；
（3）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．
【分析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，只要证明
=0，即可得出⊥．
（2）设平面ABE 的法向量为=（x ，y ，z ），利用，可得取，取平面PAB 的法向
量为=（1，0，0），设二面角E ﹣AB ﹣P 的平面角为θ，利用cos =即可得出．
（3）=（﹣2，﹣1，0），=（0，﹣1，2），设平面PBD 的法向量为=（x ，y ，z ），利用
，即可得出，设直线BE 与平面PBD 所成角的为α，利用
sin α=|cos |=即可得出．
【解答】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
A （0，0，0），
B （0，1，0），P （0，0，2），
C （﹣2，2，0），
D （﹣2，0，0），
E （﹣1，1，1），
∴=（﹣1，0，1），=（0，2，0），
∴
=0，
∴⊥，
∴BE ⊥DC ．
（2）解： =（0，1，0），
设平面ABE 的法向量为=（x ，y ，z ），
则，即，取=（1，0，1），
取平面PAB 的法向量为=（1，0，0），
设二面角E ﹣AB ﹣P 的平面角为θ，
cos ===，
由图可知：二面角E ﹣AB ﹣P 的平面角θ为锐角， ∴．
（3）解： =（﹣2，﹣1，0），=（0，﹣1，2），
设平面PBD 的法向量为=（x ，y ，z ），则，化为，
取=（1，﹣2，﹣1），
设直线BE 与平面PBD 所成角的为α，
则sin α=|cos |===．
19．设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x﹣1，其中实数k1，k2满足k1k2+1=0．
（1）证明：直线l1与l2相交；
（2）试用解析几何的方法证明：直线l1与l2的交点到原点距离为定值；
（3）设原点到l1与l2的距离分别为d1和d2，求d1+d2的最大值．
【考点】过两条直线交点的直线系方程．
【分析】（1）假设l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+1=0，得k12+1=0，这与k1为实数的事实相矛盾，故l1与l2相交．
（2）由（1）知k1≠k2，联立方程组求得交点坐标，然后由两点间的距离公式求得直线l1与l2的交点到原点距离为定值；
（3）利用点到直线的距离和不等式的性质进行解答．
【解答】证明：（1）反证法：假设l1与l2不相交，
则l1与l2平行，有k1=k2，
代入k1k2+1=0，得k12+1=0，
这与k1为实数的事实相矛盾，
∴k1≠k2，
故l1与l2相交．
（2）由（1）知k1≠k2，
由方程组解得交点P的坐标（x，y）为，而
x2+y2=+===1．即l1与l2的交点到原点距离为1．
解：（3）
d1+d2=+=+=+==
==，
当|k1|=1即k1=±1时，d1+d2的最大值是．
2016年11月2日。