2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题(解析版)

2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题
一、单选题
1．要得到函数y x =的图象,只需将函数)4
y x π
=-的图象上所有的点
（ ）
A ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动
8
π
个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动
4
π
个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的
1
2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4
π个单位长度 D ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8
π
个单位长度 【答案】B
【解析】))424y x x πππ=-=+-，即)4
y x π
=+，所以要
得到函数y x =的图像，先将横坐标伸长到原来的1
2，变为)4
y x π=+；
再向右平移
4
π
个单位即可得到y x =，应选答案B ． 2．已知集合{}{}0,1,|,,A B z z x y x A y A ===+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A ．3 B ．4
C ．7
D ．8
【答案】D
【解析】分析：先求出集合B 中的元素，从而求出其子集的个数． 详解：由题意可知，
集合B={z|z=x+y ，x ∈A ，y ∈A}={0，1，2}， 则B 的子集个数为：23=8个， 故选D ．
点睛：本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n 个元素，其子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个.
3．已知角α的终边经过点()5,12P --，则3sin 2πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值等于( ) A ．5
13
-
B ．1213
-
C ．
513
D ．
1213
【答案】C
【解析】首先求得cos α的值，然后结合诱导公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由三角函数的定义可得：
()()
22
5
cos 13512α==-
-+-，
则32sin πα⎛⎫
+
⎪⎝⎭
5cos 13α=-=.
本题选择C 选项. 【点睛】
本题主要考查终边相同的角的三角函数定义，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．函数()22x
f x lo
g x =+的零点个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】画出2x
y =-与2y log x =的图象(如图所示)，它们有2个交点，所以函数()
f x 的零点个数为2.故选C ．
5．若f (x )=ln (x 2-2ax +1+a )在区间(),1-∞上递减,则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2) B ．[1,2]
C ．[1,)+∞
D ．[2,)+∞
【答案】B
【解析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在(),1-∞上的最小值大于0，由此联立不等式组求解． 【详解】
解：令2()21g x x ax a =-++，其对称轴方程为x a =， 外函数对数函数是增函数，
要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，
则1(1)1210a g a a ⎧⎨=-++≥⎩
…，即：12a ≤≤．
∴实数a 的取值范围是[]1,2．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
6．若4cos 5α=-
,α是第三象限的角,则
1tan
21tan 2
α
α+=-（ ） A ．1
2
-
B ．12
C ．2
D ．-2
【答案】A
【解析】试题分析：∵4cos 5α=-
，α为第三象限，∴3sin 5
α=-, ∵
2sin
2
11tan
cos cos sin (cos
sin
)22222
2
1tan
sin cos
sin
(cos
sin
)(cos
sin
)
2
22
2
2
2
2
2
1cos
2
αααααα
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
++++=
==
---+-
2231()
1sin 1sin 154cos 2cos sin 225
ααααα+-++====---． 【考点】同角间的三角函数关系，二倍角公式．
7．已知函数()x
e f x mx x
=- (e 为自然对数的底数)，
若()0f x >在()0,+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,)e -∞
C ．2,4e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭ D ．2,4e ⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
【答案】D
【解析】分析：不等式0x e mx x ->在()0,∞+上恒成立等价于2x
e m x <在()0,∞+上恒
成立，可利用导数求()2x
e g x x
=在()0,∞+上的函数的最小值.
详解：因为0x e mx x ->在()0,∞+上恒成立，故在()0,∞+上不等式2x
e m x
<总成
立，
令()2x
e g x x =，则()()3
2'x e x g x x
-=. 当()0,2x ∈时，()'0g x <，故()g x 在()0,2上为减函数； 当()2,x ∈+∞时，()'0g x >，故()g x 在()2,+∞上为增函数； 所以()()2min
24e g x g ==，故2
4
e m <，故选D.
点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.
8．非零向量a b
r r ，满足：a b a -=r r r ，()
0a a b ⋅-=r r r ，则a b -r r
与b r 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60° D ．45°
【答案】A
【解析】先化简()
0a a b ⋅-=r r r 得2=a a b ⋅r r r
，再化简a b a -=r r r 得b =r ，最后求
a b -r r 与b r 的夹角.
【详解】
因为()
0a a b ⋅-=r r r ，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅r r r r r r ，，
因为a b a -=r r r ，所以2222a a a b b =-⋅+v v v v v ，
整理可得22b a b =⋅v
v
v ，
所以有b =r ，
设a b -r r
与b r 的夹角为θ，
则(
)
2
cos a b
b a b b a b
b a b θ-⋅⋅-===-r r r r r r r r
r r r 22
222||
a =-r r r ，
又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段,AC CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段的比
例中项，即满足
51
0.618AC BC AB AC -==≈．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点.在ABC ∆中，若点,P Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在
ABC ∆内任取一点M ，则点M 落在APQ ∆内的概率为（ ）
A ．
512
B 52
C ．
51
4
D ．
52
2
【答案】B
【解析】根据几何概型概率求解.测度为面积. 【详解】
由题意得所求概率为几何概型概率，测度为面积.
即所求概率为5151
(12252,
APQ
ABC
BC BC
S PQ BQ BP
S BC BC
BC
∆∆-----=
=== 选B. 【点睛】
本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．在ABC ∆中，36AB AC ==
，tan A =D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且3DE =，记ADE ∆，四边形BCED 的面积分别为1S ，2S ，则1
2
S S 的最大值为（ ） A ．
14
B ．38
C ．
13
D ．
512
【答案】C
【解析】分析：设AD x =，(06,02)AE y x y =<≤<≤
，又tan A =0120A =，利用余弦定理和基本不等式求得3xy ≤，再利用三角形的面积公式，即可求
解结果．
详解：设AD x =，(06,02)AE y x y =<≤<≤，
因为tan A =0120A =，
所以2220
2cos12023DE x y xy xy xy xy =+-=+=，
又3DE =，所以3xy ≤
，当且仅当x y ==
所以01021
sin1201112
11212123
26sin1201123
xy S xy S xy xy ===≤=-⨯⨯⨯--，故选C ． 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
11．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，
()02018f =，则不等式()2017x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为
（ ）
A ．()(),00,-∞⋃+∞
B ．()(),0217,-∞+∞U
C ．()2017,+∞
D ．()0,∞+
【答案】D
【解析】构造函数()()x
x
g x e f x e =-，通过求导及已知不等式，可得出()g x 为递增
函数，再将原不等式化为()()0g x g >可解得． 【详解】
解：令()()x
x
g x e f x e =-，则
()()()()()()1x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，
∵()()1f x f x '+>，∴()()10f x f x -'+>， ∴()0g x '>，()g x 在R 上为单调递增函数， ∵()()001201812017g f =-=-= ∴原不等式可化为()()0g x g >， 根据()g x 的单调性得0x > 故选：D ． 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解题的关键，属中档题．
12．已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且3CP =u u u r
，则()
PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A ．[]0,12
B ．30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,6
D ．[]0,3
【答案】A
【解析】
以点B 为坐标原点， BC 所在直线为x 轴，过点B 与BC 垂直的直线为y 轴，建立平面
直角坐标系，则()00B ，、(3A ，、()20C ， 设() P x y ，因为3CP =u u u v P 点轨
迹为
()
2
223x y -+=
令233x cos y sin θθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩则()
1333PA cos sin θθ=--u u
u v ，
()
2,PB θθ=-u u u v
()
PC θθ=u u u v
则(
)
16666cos 226PC PA PB cos sin πθθθ⎛⎫⎛
⎫⋅+=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v 由66cos 66πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 得066cos 126πθ⎛
⎫≤++≤ ⎪⎝
⎭ 故选A
点睛：本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标系的方法，先根据题目条件得出点P 点轨迹，然后利用三角函数换元，求得各向量的表示方法，借助辅助角公式进行化简，本题较为综合，运用了较多知识点。

二、填空题 13．已知实数0,0a b >>
8a 与2b 的等比中项，则
12
a b
+的最小值是______．
【答案】5+【解析】
8a 与2b 的等比中项得到31a b +=，利用均值不等式求得最小值. 【详解】
实数00a b >>，是8a 与2b 的等比中项，
3822,22a b a b +∴⋅=∴=，解得31a b +=．
则
(
)121263555b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭
b =
时，即123
a b =-
=时取等号． 故答案为
:5+． 【点睛】
本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键. 14．已知函数()22
|log ,0{
?2,0
x x f x x x x =--≤，关于x 的方程()()f x m m R =∈有四个不同
的实数解1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围为__________． 【答案】()0,1 【解析】【详解】
作出()22
|log ,0{
?2,0
x x f x x x x =--≤的图象如下：
结合图像可知， 2324log log x x -=，故34=1x x ⋅
令220x x --=得： 0x =或2x =-，令221x x --=得： 1x =- ，且122x x +=-
1212()22()()x x x x +-⋅--=≥-等号取不到，
故
，故填 ()
0,1.
点睛：一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高. 15．如图,AB 是圆O 的直径,C,D 是圆O 上的点,60CBA ∠=o ,
45ABD ∠=o
,CD xOA yBC =+u u u r u u u r u u u r
,则x y +=_________
【答案】3-
【解析】试题分析：如图，过C 作CE ⊥OB 于E ，因为AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，∠CBA=60°所以E 为OB 的中点，连结OD ，
则
31
22 CE OD CE CB BE BC OA
=∴=+=-+
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
1
11
2
333
CD CO OD AO BC BC OA BC OA
⎛⎫
⎫
∴=+=-++-+=-+-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
3
11
33
CD xOA yBC x y
⎛⎫
=+∴+=-+-=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u r u u
Q
u r u u u r
【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义
16．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝22，PC5
=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为______．
【答案】10π
【解析】由O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，可得球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC 外接圆的圆心，
在△PBC中，由余弦定理、正弦定理可得R.
【详解】
因为O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，
根据球的性质，球心一定在垂线l上，
∵球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，
在△PBC中，由余弦定理得cos B
2222
22
PB BC PC
BP BC
+-
==
⋅
，⇒sin B
2
2
=，
由正弦定理得：2PC R sinB =，解得
R =， ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为s ＝4πR 2＝10π，
故答案为10π．
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
三、解答题
17．等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设()()
1111n n n n a b a a ++=--，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（Ⅰ）a n =1
()2n （n ∈N ）（Ⅱ）1-n 11
21+-
【解析】(Ⅰ)根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可，(Ⅱ)先化简n b ，再根据裂项相消法求结果.
【详解】
解：（Ⅰ）设公比为q ，则0,q >因为52a ，4a ，64a 成等差数列，
所以24a =52a +64a ，即2
11202
q q q q =+>∴=Q 因为2434a a =，所以111111114()()2222n n n a q a a -=∴=∴=⋅= （Ⅱ）b n =()()
1111n n n a a a ++-- =()()
n
n n 122121+--
=n 121--n 1121
+-，n ∈N ， ∴数列{b n }的前n 项和S n =2112121⎛⎫-
⎪--⎝⎭+23112121⎛⎫- ⎪--⎝⎭+…+n n 1112121+⎛⎫- ⎪--⎝⎭ =1-n 11
21+-，n ∈N ．
【点睛】
本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且PA =AD ．
（Ⅰ）求证：AF ∥平面PEC ；
（Ⅱ）求证：平面PEC ⊥平面PCD ．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，AF ∥平面PCE ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得EG ∥AF ，只需证明AF ⊥面PDC ，即可得到平面PEC ⊥平面PCD ．
【详解】
证明：（Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，
∴FG 为△CDP 的中位线，FG ∥CD ，FG =12
CD ． ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，∴AE ∥CD ，AE =
12CD ． ∴FG =AE ，FG ∥AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形，
∴AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，
∴AF ∥平面PCE ；
（Ⅱ）∵P A =AD ．∴AF ⊥PD
P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，
又因为CD ⊥AB ，AP ∩AB =A ，∴CD ⊥面APD
∴CD ⊥AF ，且PD ∩CD =D ，∴AF ⊥面PDC
由（Ⅰ）得EG ∥AF ，∴EG ⊥面PDC
又EG ⊂平面PCE ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．
【点睛】
本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．
19．己知直线l 的参数方程为132x t y t =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()13P ，．
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）求11PA PB
+的值． 【答案】（1）21y x =+ ，216y x = ；（2810 . 【解析】（1）直线的参数方程消去t 可求得普通方程．由直角坐标与极坐标互换公式
222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，求得曲线C 普通方程．
（2）直线的参数方程改写为5152535x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），由t 的几何意义求值．
【详解】
()1直线l 的参数方程为1(t 32x t y t
=+⎧⎨=+⎩为参数)，消去参数，可得直线l 的普通方程y 2x 1=+，
曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ16cos θ0-=，即22
ρsin θ16ρcos θ=，曲线C 的直角坐标方程为2y 16x =， ()2直线的参数方程改写为512535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），
代入2y 16x =
，24t 705-=
，12t t +=1235t t 4=-，
1212t t 11PA PB t t -+==． 【点睛】
由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩
，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐
标的相互转化．
20．已知函数(
)2
22sin f x x x =+ （1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）将函数()f x 的图象向左平移
12π个单位，再向下平移1个单位后得到函数()g x 的图象，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，求函数()g x 的值域． 【答案】（1）,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈；（2
）2⎡⎤⎣⎦ 【解析】利用倍角公式降幂后，再由两角差的正弦公式化简．
（1）由相位在正弦函数的增区间内求得x 的取值范围，可得函数()f x 的单调增区间；
（2）由函数的伸缩和平移变换求得()g x 的解析式，结合x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数()g x 的值域．
【详解】
解：(
)2
22sin f x x x =+
21cos 2x x =+-
122cos 212x x ⎫=-+⎪⎪⎝⎭
2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭． （1）由222262k x k πππππ-
+≤-≤+，k Z ∈， 解得63k x k π
π
ππ-+≤≤+，k Z ∈．
∴函数()f x 的单调增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈； （2）将函数()f x 的图象向左平移
12π个单位， 得2sin 212sin 21126y x x ππ⎡⎤
⎛
⎫=+-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 再向下平移1个单位后得到函数()2sin 2g x x =， 由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，
∴sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
则函数()g x 的值域为2⎡⎤⎣⎦
【点睛】
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查()sin y A ωx φ=+型函数的图象和性质，属中档题．
21．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为2，离心率为2
，右顶点为A . （I ）求该椭圆的方程；
（II ）过点D 作直线PQ 交椭圆于两个不同点P Q 、，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值.
【答案】（I ）2
212
x y +=.（II ）见解析.
【解析】分析：（I ）由椭圆的焦距和离心率可得1c =， a =1b =，从而可得
椭圆的方程．（II ）讨论直线PQ 的斜率，当斜率存在时设其方程为y kx =--与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及题意可求得
1AP AQ k k +=，即得结论成立．
详解：（I ）由题意可知22c =，故1c =， 又c e a =
，
∴a =
∴1b =，
∴椭圆方程为
2
21
2
x
y
+=．
（II）由题意得，当直线PQ的斜率不存在时，不符合题意；
当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ
的方程为(
y k x
=
，即
y kx
=
由2
21
2
y kx
x
y
⎧=-
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
消去y整理得(
))
2222
124820
k x k k x k k
+-++++=，
∵直线与椭圆交于两点，
∴()
4810
k
∆=-+>，
解得
1
8
k<-．
设()
11
,
P x y，()
22
,
Q x y，
则
)
2
122
12
k k
x x
k
+
+=
+
，
2
122
482
·
12
k k
x x
k
++
=
+
，
又)
A，
∴
12
21 AP AQ
k x k x
k k k
+==== .
即直线AP，AQ的斜率之和为定值.
点睛：求定值问题常见的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．如图所示，直角梯形ABCD中，//
AD BC，AD AB
⊥，22
AB
BC AD
===，
四边形EDCF为矩形，CF=EDCF⊥平面ABCD．
(1)求证：DF P 平面ABE ；
(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．
(3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 3存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（I ）见解析（II 531（III ）2BP =u u u r 【解析】试题分析：
（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，
由题意可得平面ABE 的法向量)3,0,1n =r ，且(1,3DF =-u u u v ，据此有0DF n ⋅=u u u v r ，则//DF 平面ABE ．
（Ⅱ）由题意可得平面BEF 的法向量()
23,3,4m =r ，结合(Ⅰ)的结论可得531cos m n m n θ⋅==⋅r r r r ，即平面ABE 与平面EFB 531． （Ⅲ）设(),23DP DF λλλλ==-u u u v u u u v ，[]0,1λ∈，则()
1,23BP λλλ=---u u u v ，而平面ABE 的法向量)
3,0,1n =r ，据此可得3sin cos ,BP n θ==u u u v r ，解方程有12λ=或14λ=．据此计算可得2BP =u u u v ． 试题解析：
（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，
如图，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，(3E ，(3F -，∴(1,3BE u u u v =--，()0,2,0AB =u u u v ，
设平面ABE 的法向量(),,n x y z =r ，∴230,20,x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设()
3,0,1n =r ，又
()1,2,3DF =-u u u v ， ∴330DF n u u u v r ⋅=-+=，∴DF
n u u u v r
⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴//DF 平面ABE ． （Ⅱ）∵()1,2,3BE u u u v =--，()
2,0,3BF =-u u u v ，设平面BEF 的法向量(),,m x y z =r ， ∴230,230,
x y z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设()
23,3,4m =r ，
∴531cos 31231m n m n θ⋅===⋅⋅r r r r ， ∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为53131
． （Ⅲ）设()1,2,3DP DF u u u v u u u v λλ==- ()
,2,3λλλ=-，[]0,1λ∈，∴()
,2,3P λλλ-， ∴()1,22,3BP λλλ=---u u u v ，又∵平面ABE 的法向量()
3,0,1n =r ， ∴()()2223333sin cos ,2
1223BP n λλθλλλ--+==
=++-+u u u v r ，∴28610λλ-+=，∴12λ=或14
λ=． 当12λ=时，33,1,22BP u u u v ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，∴2BP =u u u v ；当14λ=时，533,,424BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，∴2BP =u u u v ．
综上，2BP =u u u v ．。