2021学年高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时作业含解析人教A版必修4.docx

课时作业17向量数乘运算及其几何意义
基础巩固类
一、选择题
1(30+3+C)—(2G+*—C)等于(A )
A. a—，+2c
B. 5a—^0+2c
C. a2c
D. 5a~\~~^b
解析：(3a+9+c)—(2a+jz>—c) = (3a—2a)+G方一，6)+ (c+c)=a—§Z>+2c,故选 A.
2.若5疝+3反)=0,且\AD\ = \BC\，则四边形43。

£>是(D )
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.等腰梯形
解析：由5AB+3Cb=。

知，AB//CD^AB\^\CD\, .L此四边形为梯形.5C|AD| = |BC|, 梯形ABCD为等腰梯形.
3.在八ABC中，AB=c, AC=b.若点D 满足BD=2DC,则及)=(A )
A.|z>+|-c
B.|-c—
2 1 1 2
C^b—^c D^b+^c
_2 _2 ―> ―> 2 2 1 解析：如图，AD=AB+BD=AB+^BC=AB+^(AC—AB) = c+^b—c)=^b+-jc.
4.已知向量a与》不共线，且疝=如+殆16R), AC=a+^b(/i^R),则A、B、C三点共线应满足
(D )
A. 2+/z=2
B. A——/< = 1
C. A/z = — 1
D. A/z = 1
解析：若A, B, C三点共线，则AB=MC(A-GR),
即Aa+b=k[a+iub'),所以2a+b=ka+wkb,
\A = k,
所以< 消去R得初=1,故选D.
11= A
5.设D ^jAABC所在平面内一点，BC=3CD,贝M A )
A.AD= —^AB+|A C
B.AD=|A B—^AC
C.AD=^AB+^AC
D.AD=^AB—^4C
解析：AD=AB+Bb=AB+|BC=AB+|(AC-AB)
=—■|A B+|A C,选 A.
6.点尸是八ABC所在平面内一点，若CB=XPA+RB，其中2GR,则点F一定在（B ）
A. △ABC内部
B. AC边所在的直线上
C.AB边所在的直线上
D. BC边所在的直线上
解析：VCB=2B4+PB, :.CB~PB=XPA.
:.&=XPA.：.P, A、C三点共线.
点F一定在AC边所在的直线上.
二、填空题
2 1 ?
7 ・化简手。

—b）—2（2a+4b） + 话（2G +13b）=0.
解析:
^+||)ft = 0a+06 = 0+0=0.
8.设向量0与万不共线，若庙=3。

+方，BC=a+mb, CD=2a~b,且A, C, D三点共线，则
m=—3 .
解析：AC=AB+BC=4«+(m+ l)ft, CD=2a-b.
*：a,力不共线，.-.CD^O,又A, C,。

三点共线，
.\AC= nCD(n R),即4a+(m+ l)b = 2na—nb f
[4=2〃，
I •*.m=—3.
[m+1 = —n,
如图所示，在口ABCD中，AB=a, AD=b, AN=3N<J, M 为B C 的中点，则MN=^(b —G)(用1,万表示).
=b. b.解析：MN=MB+BA+AN^-|BC+BA+|AC
=—^AD—AB+^(AB+AD) = —^b—a+^a+b)
=护土=打-a).
三、解答题
10.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、AB边上的点，/=警=*记BC=a, CA
证明：因为AE=^AB=^(CB—CA)
———112 1
所以DE=AE—AD= —^a—^b~\-^b=^b—d).
11.如图所示，在AABC中，D, F分别是BC, AC的中点，AE=|xb, AB=a, AC=
(1)用a, b 表示向量AB, AE, AF, BE, BF.
(2)证明：B, E, F三点共线.
解：(1)如图所示，延长AD到G, <AZ)=|A G,连接BG, CG,则四边形ABG C是平
行四边形，则AG=AB+A<J=a+b,
一i — i i
所以人。

=尹6=尹+砂，
AE=^AD=^a+^b.
— 1 — 1 因为尸是AC的中点，所以AF=^AC=^b.
——— 1 1 2
所以BE=AE—AB=^a-\-b)—a=^b—^a,
BF=AF—AB=^b—a.
―A I―A I―A 2 -A ―A ―A
(2)证明：由(1)可知BE=-^b-2a), BF=^(b-2a),所以BE=-^BF,即BE, BF是共线向
量，且有公共点B,所以B, E, F三点共线.
能力提升类
12.已知△ ABC和点M满足MA+MB+MC=O.若存在实数m使^AB+AC=mAM^立, 则m=( B )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
解析：
如图，在△ABC中，以BM,CM为邻边作平行四边形MBDC,依据平行四边形法则可^MC+MB=MD,又MA+MB+MC=O,则AM=MD,两向量有公共点M,则A, M, D 三点共线，结合机（是平行四边形MBQC的对角线，可知M是ZvlBC的重心.以AB, AC 为邻
-> ―► ―►―> 3 边作平行四边形ABFC,由向量加法的平行四边形法则，可得AB+AC=AF=2AE=2X3
AM=3AM,则AB+AC=3AM.
13.已知点F在正三角形ABC所确定的平面上，且满足PA+RB+PC=AB,贝IJAABP 的面积与△BCF的面积之比为（B ）
A. 1 1
B. 1 2
C. 1 3
D. 1 4
解析：'：PA+PB+PC=AB, ：.I^+PC=AB-i^=AP, :.PC=2AP,即点P为线段AC的靠近点A 的三等分点，/. AABP的面积与△BCF的面积之比为1 2,故选B.
14.如图所示，在AABC中，点。

是BC的中点，过点。

的直线分别交直线AB, AC于不同的两点M, N, ^AB=mAM, AC=nAN,则m+n的值为2
解析：AO=^(AB+A<J)=^AM+^AN, M, O, N三点共线,
,m . n 1_
. . 2 I 2 I，• • I 〃 2.
15.已知e, f为两个不共线的向量，且四边形ABCZ)满足疝=e+?f, BC=~4e~f, CD = ~5e~3f.
(1)将屈用e, y表示；
(2)证明：四边形ABCZ)为梯形.
解：(l)Ab=疝+无+d)=(e+狷+ (_4e—i/) + (_5e_3/) = (l_4_5)e+(2_l_3)/> = -8e-2f.
(2)证明：因为AD=-8e-2f^2^-4e-f)=2BC,所以届与万&同向，且屈的模为万&模的2倍，所以在四边形ABCD中，AD//BC,且AQNBC,所以四边形ABCD是梯形.。