九年级数学与等腰或直角三角形存在性相关的代几综合(教师版)

如图，已知抛物线4

3

412++=

x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左边），交y 轴于点C ，点C 关于抛物线对称轴的对称点为点D 。直线y ＝kx －k 交y 轴于点E ，若3BDE ABD S S △△＝，求k 的值。

【例题精讲一】等腰三角形的存在性问题

方法点睛：等腰三角形的存在性问题常先需要根据不同线段作为底进行分类讨论，再根据腰相等作为等量关系列方程求得未知数的值，进而解决其他问题。

例1. 1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx －4（a ≠0）的图象与x 轴交于A (－2，0)、C (8，0)两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D 。连接BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：由二次函数42

3

412--=

x x y 可知对称轴x ＝3 ∴D(3，0) ∵C(8，0) ∴CD ＝5

由二次函数423412--=x x y 可知B(0，－4) 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ∴⎩⎨⎧-==+408b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧

-==

4

21b k ，

∴直线BC 的解析式为421-=x y 设E(m ，2

1

m －4)

① 当DC ＝CE 时，EC 2＝(m －8)2＋(2

1

m －4)2＝CD 2

即(m －8)2＋(2

1

m －4)2＝52，解得m 1＝8－25，m 2＝8＋25（舍去） ∴E(8－25，－5)

② 当DC ＝DE 时，ED 2＝(m －3)2＋(21m －4)2＝CD 2 即(m －3)2＋(2

1

m －4)2＝52，解得m 3＝0，m 4＝8（舍去）

∴E(0，－4)

③ 当EC ＝DE 时，(m －8)2＋(21m －4)2＝(m －3)2＋(21m －4)2，解得m 5＝5.5 ∴E(4

5

211-，

) 综上，存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形 所有符合条件的点E 的坐标为(8－25，－5)、(0，－4)、(4

5

211-，)

（二中月考二）2、在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)、B (3，0)，与y 轴交于点C 。直线x ＝a 上存在点P ，使△PBC 为等腰三角形。若这样的点P 有且只有三个，求a 的取值范围。

分析：根据等腰三角形存在性问题的方法“两圆一中垂”作图，“两圆一中垂”与直线x ＝a 有且只有三个交点时得到a 的取值范围是333

3233263233232

a a a a a ±<<+≠-=

-<<-≠-且或或且

【课堂练习】

1、如图，抛物线L ：2y ax bx c ＝＋＋与x 轴交于A 、B （3，0）两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，3），对称轴为直线x ＝1。设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x ＝﹣3上，△BPQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由。

2、如图，已知抛物线c bx x y ＋＋＝﹣2

3

2与y 轴交于点C ，与x 轴交与A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且OA ＝1，OC ＝2。

（1）点E 是抛物线在第一象限内的一点，且tan ∠EOB ＝1，求点E 的坐标；

（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PBE 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

（备用图）

【例题精讲二】直角三角形的存在性问题

方法点睛：①根据直角构造三垂直得全等三角形，找到点的坐标计算解析式；

②根据勾股定理列方程，求未知数的值或得到未知数间的数量关系，进而求出点的坐标或解析式。 例2. （元调改）1、已知抛物线3

5

3191929122++-+-=m m mx x y 的顶点P 在一条定直线l 上运动。

（1）求直线l 的解析式； （3分）

（2）抛物线与直线l 的另一个交点为Q ，当∠POQ ＝90°时，求m 的值。 （5分） 解：（1）顶点P 的坐标为（m ，13 m ＋53 ）， ∴点P 在直线y ＝13 x ＋5

3

上运动

（2）∵ 点P ，Q 为直线l 与抛物线的交点， ∴ 13 x ＋53 ＝﹣19 (x －m ) 2＋13 m ＋5

3

．

解得，x 1＝m ，x 2＝m －3． ∴ P 的坐标为（m ，13 m ＋5

3 ），Q 的坐标为（m －3 ，32+m ）．… ……9分

将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°得到OK ，则点K 的坐标为：（－13 m －5

3

，m ）；

∴ 直线OK 的解析式为：y ＝﹣3m

m ＋5

x ②； ………… ……10分

∵ 当∠POQ ＝90°时，点Q 在直线OK 上 ∴ 13 (m ＋2)＝﹣3m

m ＋5

(m －3) 解得m ＝1 …… ……12分

2．如图，抛物线C 1：y ＝ax 2＋c 交x 轴于A 、B ，交y 轴负半轴于C ，OC ＝2OB ＝4。过点P (－2，－2)的直线l 交抛物线C 1于D 、E 两点，若△DEC 是以DE 为斜边的直角三角形，求出满足条件的直线l 的解析式。