九年级数学与等腰或直角三角形存在性相关的代几综合(教师版)

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学习目标
熟练运用等腰三角形（等腰直角三角形）、勾股定理、三垂直、一次函数、二次函数求
最值和根系关系等知识、方法解决等腰三角形、直角三角形的代几综合问题。
与等腰或直角三角形存在性相关的代几综合

如图，已知抛物线43412xxy与x轴交于A、B两点（A点在B点左边），交y轴于点C，点C关于抛物线对称
轴的对称点为点D。直线y＝kx－k交y轴于点E，若3BDEABDSS△△＝，求k的值。

【例题精讲一】等腰三角形的存在性问题
方法点睛：等腰三角形的存在性问题常先需要根据不同线段作为底进行分类讨论，再根据腰相等作为等量关系列方
程求得未知数的值，进而解决其他问题。
例1. 1、如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－4（a≠0）的图象与x轴交于A(－2，0)、C(8，0)
两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D。连接BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角
形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由。

解：由二次函数423412xxy可知对称轴x＝3 ∴D(3，0) ∵C(8，0) ∴CD＝5
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由二次函数423412xxy可知B(0，－4) 设直线BC的解析式为y＝kx＋b ∴408bbk，解得421bk，
∴直线BC的解析式为421xy 设E(m，21m－4)
① 当DC＝CE时，EC2＝(m－8)2＋(21m－4)2＝CD2
即(m－8)2＋(21m－4)2＝52，解得m1＝8－25，m2＝8＋25（舍去） ∴E(8－25，－5)
② 当DC＝DE时，ED2＝(m－3)2＋(21m－4)2＝CD2 即(m－3)2＋(21m－4)2＝52，解得m3＝0，m4＝8（舍去）
∴E(0，－4)
③ 当EC＝DE时，(m－8)2＋(21m－4)2＝(m－3)2＋(21m－4)2，解得m5＝5.5 ∴E(45211，)

综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形 所有符合条件的点E的坐标为(8－25，－5)、(0，－4)、(45211，)

（二中月考二）2、在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C。直
线x＝a上存在点P，使△PBC为等腰三角形。若这样的点P有且只有三个，求a的取值范围。
分析：根据等腰三角形存在性问题的方法“两圆一中垂”作图，“两圆一中垂”与直线x＝a有且只有三个交点时得

到a的取值范围是
3333233263233232aaaaa
且或或且

【课堂练习】
1、如图，抛物线L：2yaxbxc＝＋＋与x轴交于A、B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，
3），对称轴为直线x＝1。设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x＝﹣3上，△BPQ能否成为以点P为直角
顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由。

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2、如图，已知抛物线cbxxy＋＋＝﹣232与y轴交于点C，与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且OA
＝1，OC＝2。
（1）点E是抛物线在第一象限内的一点，且tan∠EOB＝1，求点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBE为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由。

（备用图）
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【例题精讲二】直角三角形的存在性问题
方法点睛：①根据直角构造三垂直得全等三角形，找到点的坐标计算解析式；
②根据勾股定理列方程，求未知数的值或得到未知数间的数量关系，进而求出点的坐标或解析式。

例2. （元调改）1、已知抛物线353191929122mmmxxy的顶点P在一条定直线l上运动。
（1）求直线l的解析式； （3分）
（2）抛物线与直线l的另一个交点为Q，当∠POQ＝90°时，求m的值。 （5分）

解：（1）顶点P的坐标为（m ，13 m＋53 ）， ∴点P在直线y＝13 x＋53 上运动
（2）∵ 点P，Q为直线l与抛物线的交点， ∴ 13 x＋53 ＝﹣19 (x－m) 2＋13 m＋53 ．
解得，x1＝m，x2＝m－3． ∴ P的坐标为（m ，13 m＋53 ），Q的坐标为（m－3 ，32m）．… ……9分
将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到OK，则点K的坐标为：（－13 m－53 ，m）；
∴ 直线OK的解析式为：y＝﹣3mm＋5 x ②； ………… ……10分
∵ 当∠POQ＝90°时，点Q在直线OK上 ∴ 13 (m＋2)＝﹣3mm＋5 (m－3) 解得m＝1 …… ……12分

2．如图，抛物线C1：y＝ax2＋c交x轴于A、B，交y轴负半轴于C，OC＝2OB＝4。过点P(－2，－2)的直线l交抛
物线C1于D、E两点，若△DEC是以DE为斜边的直角三角形，求出满足条件的直线l的解析式。
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分析：设出直线解析式与抛物线解析式联立，由根系关系得到线段长的平方，在直角三角形中用勾股定理列出方
程，解得k＝12﹣。

【课堂练习】
1、已知抛物线2yaxbxc＝＋＋的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C，AB＝6，OA＝OC，点P（﹣6，m）、Q都在抛物线上，当∠PAQ＝90°时，求△ACQ的面积。

（江岸期中）2、如图，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a，m为常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交
于点A、B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C(0，-3)，点D在二次函数图象上，且CD∥AB，连AD；过点
A作射线AE交二次函数于点E，使AB平分∠DAE。设该二次函数图象顶点为F，试探究：在x轴上是否存在点
P，使以PF、AD、AE为边构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的
横坐标，如果不存在，请说明理由。

解：F(m，－4)、E(4m，5)、A(－m，0)、D(2m，－3)
设P(b，0)
∴PF2＝(m－b)2＋16，AD2＝9m2＋9，AE2＝25m2＋25
∴(m－b)2＋16＋9m2＋9＝25m2＋25，解得b1＝－3m，b2＝5m
∴P(－3m，0)或(5m，0)
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（元调改）1、已知抛物线y＝21x2＋mx－2m－2与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C。P为
抛物线上A、B之间一点（不包括A、B），PM⊥x轴于点M，求PMBMAM•的值。 （4分）
解：点A的坐标为：（﹣2m－2，0），点B的坐标为：（2，0）．
设点P的坐标为（p，q）． 则AM＝p＋2m＋2，BM＝2－p．
AM·BM＝(p＋2m＋2)( 2－p)＝﹣p2－2mp＋4m＋4．……………………………10分
PM＝﹣q．

因为，点P在抛物线上， 所以，q＝12 p2＋mp－2m－2．

所以，AM·BM＝2 PM．即，AM·BMPM＝2．……………………………12分
2、如图，已知抛物线2yxbxc＝＋＋与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称
轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D。点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交y轴于点F，交抛
物线于P、Q两点，且点P在第三象限。若以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点P的坐标。

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3、如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分
1
C

与经过点A、D、B的抛物线的一部分2C组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”。已知点C的坐

标为（0，32﹣），点M是抛物线2C：223ymxmxm＝－－（m＜0）的顶点。当△BDM为直角三角形时，求m的
值。

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4、如图，二次函数cbxxy＋＋＝234的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C。若点P，Q同
时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运
动。当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A、E、Q为顶点的三角形为等
腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由。

（备用图）

（江岸期中）5、已知，抛物线C1：21212mmxxy

（1） ①无论m取何值，抛物线经过定点P__________；
② 随着m的取值的变化，顶点M(x，y)随之变化，y是x的函数，则点M满足的函数C2的关系式为
__________________； 如图1，抛物线C1与x轴仅有一个公共点，请在图1画出顶点M满足的函数C2的大
致图象，平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B．若△PAB为等腰直角三角形，判断直线l满足的条件，并说
明理由；如图2，二次函数的图象C1的顶点M在第二象限、交x轴于另一点C，抛物线上点M与点P之间一点D
的横坐标为－2，连接PD、CD、CM、DM．若S△PCD＝S△MCD，求二次函数的解析式。
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（1）①（－1，0 ） ..................................2分 ②2)1(21xy ..................................4分
（2）画图 .................................5分
抛物线1C与x轴仅有一个公共点，则=0，1m

1C：2)1(21xy 2C：2)1(21xy
抛物线1C、2C关于x轴对称，PAB为等腰直角三角形
则PA=PB PA⊥PB，x轴垂直平分线段AB .......................6分

则PBBxxy，即)1()1(212xx
解得1x、3x、1x（不能构成三角形，舍去）
则直线l为1x或3x ..................8分

（3）根据题意得：D)23,2(m、C)0,12(m、M))1(21,(2mm
作MN⊥CP于点H，交CD于点T
直线CD的解析式为2121mxy， 则T)2121,(mm

∵MCDPCDSS，即)(2121CDDxxMTyCP••
∴)23)(121(21mm=)12(2)1(21)1(21212mmm ...............10分
)32)(1(mm=)32)(2)(1(21mmm 0)4)(32)(1(mmm
∴11m、232m、43m

又∵顶点M在第二象限，点D在点M与点P之间 ∴11m、232m舍去 ∴43m .............12分