高中数学选择填空压轴题精选(解析几何1)

已知椭圆E ：22
142
x y +=,O 为坐标原点,A 、B 是椭圆E 上两点,且
△AOB
,则11||||
OA OB +的最小值是 . 解法一（利用椭圆参数方程）
设(2cos ), (2cos )A B ααββ,
因为AOB S ∆=,
所以12211
||2
AOB S x y x y ∆=-=,
cos sin sin cos |αβαβ-=
|sin()|1βα∴-=, cos()0βα∴-=,()2
k k Z π
βαπ=++
∈,
222222||||4cos 2sin 4cos ()2sin ()622
OA OB ππ
αααα∴+=+++++=.
下面求11||||
OA OB +的最小值,有如下方法： ①均值不等式
22
||||||||32
OA OB OA OB +⋅≤=,
11||||3OA OB ∴
+≥≥=. ②平方平均大于等于调和平均
211
11a b a b
≥⇒+≥+,
11||||OA OB +≥== ③权方和不等式
333222
111222
22
2
2
111
1
(11)
||||
(||)(||)(||+||)
OA OB OA OB OA OB ++=+
≥
=
=
当且仅当||||OA OB ==,等号成立,
min 11(
)||||3
OA OB ∴+=. ④权方和不等式+柯西不等式
2211423||||||+||3122(||+||)
OA OB OA OB OA OB +≥≥==. 点评:本解法利用椭圆的参数方程,得到了一个很重要的中间结论：|sin()|1βα-=. 一般地, 有如下结论：
若11(,)A x y ,22(,)B x y 为椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>上的动点, 且
满足2
AOB ab
S ∆=,则有：
（1）22212x x a +=, 222
12y y b +=；
（2）22OA OB
b k k a
⋅=-. 解法二：（利用柯西不等式）
设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由12211
||22
AOB S x y x y ∆=-=得 222222222
1221121212128()()()[82()]()x y x y x x y y y y y y =-≤++=-++,
（当且仅当12120x x y y +=时等号成立）.
22212(2)0y y ∴+-=,22122y y ∴+=
又221124x y +=,222224x y +=,则22221122228x y x y +++=,22124x x ∴+=, 进而222212126x x y y +++=,
221123
||||33||||
2
OA OB OA OB ∴
+≥==+ 当且仅当||||3OA OB ==,
11
||||
OA OB +取得最小值233.
点评:本解法利用柯西不等式,实现等与不等的相互转化,相当精彩！
解法三：（利用仿射变换,椭圆变圆）
设伸缩变换2:2x x y τ'=⎧⎪⎨'
=⎪⎩,则22
1x y ''+=,
在该变换下,1122(,),(,)A x y B x y 的对应点分别为1122(,),(,)A x y B x y '''''', 而12211||2A OB S x y x y ''∆'''=-,122112211||2|2
AOB S x y x y x y x y ∆'''=-=-, 所以12222
AOB A OB A OB S S S ''''∆∆∆===,OA OB ''∴⊥,
21||||x y ''∴=,21||||y x ''= ,2221x y ''∴=,2221y x ''=,
22222222112211||||42426()6OA OB x y x y x y ''''''∴+=+++=+=,
333222
111222
22
2
2
11
1
1
(11)
||||
3(||)(||)(||+||)
OA OB OA OB OA OB +∴
+=+
≥
=
=
当且仅当||||OA OB ==,
11
||||
OA OB +
取得最小值3.
点评:本解法利用仿射变换,椭圆变圆,关键是发现OA OB ''⊥ .游数玩形,
妙在转化！
解法四：（齐次化）
由12211
||2
AOB S x y x y ∆=-=及221124x y +=,222224x y +=,
得22222122111222()(2)(2)x y x y x y x y -=++.
(1)当直线OA 与OB 的斜率都存在时,两边同时除以2212x x ,
得2222()(12)(12)OA OB OA
OB k k k k -=++, 化简得2(21)0OA OB k k +=,12OA OB k k ∴=-,
设:OA y kx =,则1:2OB y x k
=-
, 由2222222
44,121224A A y kx k x y k k x y =⎧⇒==⎨+++=⎩,22
244||12k OA k +∴=+, 同理（将k 换成12k
-）,得22
228||21k OB k +=+,22|||| 6.OA OB ∴+=
(2)当直线OA 或OB 的斜率为0或不存在时,也有22|||| 6.OA OB +=
于是
11||||3OA OB +≥==,
当且仅当||||OA OB ==,等号成立, 因此
11
||||
OA OB +
的最小值为3.
点评:本解法利用齐次化,得出OA 与OB 的斜率关系,接下来便顺理成
章了.
解法五：常规思路
当直线OA 与OB 的斜率都存在时,
设直线1:OA y k x =,直线1:OB y k x =,1122(,),(,)A x y B x y ,
由22
1
142x y y k x
⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2121412x k =+,同理2
222412x k =+.
点B 到直线OA 的距离1222122
2
11|||()|11k x y x k k d k k --==++, 因为2AOB S ∆=,所以
22121112122
1|()|11
11|||()|2221AOB x k k S OA d k x x x k k k ∆-=⋅=+⋅=-+,
即122212
122
||221212k k k k -=++,即221212
2||(12)(12)k k k k -=++, 所以2
12
(21)0k k +=,即1212
k k =-. 下同解法四.
点评:与上述方法相比,本解法相对复杂一些,熟悉以下二级结论的话,过程会大大简化.
【结论】椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>,A ,B 为椭圆C 上的动点,11(,)A x y ,
22(,)B x y ,且满足2
2OA OB
b k k a
⋅=-,则有： （1）22212x x a +=,222
12y y b +=,
2222||||OA OB a b +=+；
（2）2
AOB ab S ∆=
； （3）若M 为椭圆上一点,且OM OA OB λμ=+,则221λμ+=.
相似题1(2011年山东卷理22题)
已知动直线l 与椭圆22
:132
x y C +=交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点,且
OPQ △
的面积2
OPQ
S ∆=,其中O 为坐标原点.
（Ⅰ）证明2212x x +和22
12y y +均为定值；
（Ⅰ）（Ⅰ）略.
答案：22123x x +=,22
122y y +=.
相似题2已知椭圆E ：22
12412
x y +=,O 为坐标原点,A 、B 是椭圆E 上两
点,OA ,OB 的斜率存在并分别记为,OA OB k k ,且1
2
OA OB k k ⋅=-,则
11||||
OA OB +的最小值是（ ）
A.6
B.1
3
C.3
D.2
答案：C.
相似题3已知A ,B 是椭圆C ：22
1259
x y +=上关于原点对称的两个点,P 、
M 、N 是椭圆上异于AB 的点,且//AP OM ,//BP ON ,则MON ∆的面积为（ ）
A.
3
2 B. 32 C. 152 D.252
答案：C.
相似题4：
如图所示,12,A A 分别是椭圆2
212
x y +=,的长轴的左右端点,O 为坐标原点,
,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点,直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行
四边形OPQR ,则22||||OS OT +等于（ ）
A. 4
B. 3
C.
32 D.52
答案：B.
相似题5：
在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>,其焦点到
相应准线的距离为3,离心率为1
2
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图所示,A ,B 是椭圆C 上两点,且射线OA ,OB 的斜率满足
3
4OA OB k k =-,延长OA 到M ,使得OM ＝3OA ,且MB 交椭圆C 于Q ,设
OQ OA OB λμ=+,求证：
①2
2
1λμ+=；②BM
BQ 为定值.
答案：5.。