立体几何的向量解法

所以直线SA与OB所成角大小为 arccos 10 5
z
S
O
Cy
B
优游开户 http://www.youbozaixianyule.com 优游开户 hnq781dgk 正式报到上班，单位办公室的汪清秀把俩人带到人保科，张之文拿出早已开好的介绍信递给他俩。刘丽娟被分到质量科化验室，马启 明则被分到了生产科。汪清秀将马启明带到生产科，介绍给生产科科长吴明。吴明是一位态度温雅的中年人，个子有1.75米左右，最 引人注目的是他的头发有点自来卷，头顶上正中央一块秃秃的、光光的，好像半块西瓜皮倒扣在脑袋上，他把周围稀稀拉拉的头发拉 来搞赞助，地方保护中央,却怎么也拉不上去，最后，只有三四根长长的、弯弯扭扭的头发趴在头顶的阵地上坚守阵地。一看到他的头， 马启明方才明面什么是“耀眼光芒”的含义了，暗笑晚上要是跟着吴明上街，你绝不担心他会走丢了，他走到那里，光明就会带到那 里。吴明安排马启明在酿造车间负责工艺技术，汪清秀又将马启明带往酿造车间。刚到酿造车间门口，就看见一位四十岁左右的中年 男子正从车间里出来，穿着一身褪了色的黄军袄和黄军裤，脚上还穿着黑色高筒雨鞋，像是刚从寒冷的冬季穿越过来。他走路的姿态 跟抗美援朝保家卫国的战士一样雄赳赳气昂昂的，目不斜视地看着前方。汪清秀赶忙给马启明介绍道：“马启明，这是酿造车间的张 钢铁主任。”又转头给张钢铁说：“张主任，这是刚从外地招人来的大学生马启明。”马启明感到钢铁是目前世界上最坚硬的东西之 一，他名字叫“钢铁”，也许他的性格也像他的名字一样强硬、坚强。张钢铁的目光仿佛一张无形的网笼罩着自己，马启明觉得自己 立即被热情包裹起来了，浑身自在。仔细打量了一下满脸笑容的张钢铁：高高的个子，宽宽的肩膀，坚硬的胸膛，身体一看就知道很 健壮，头发有点发白，古铜色的脸上一双明亮的大眼睛非常醒目，此刻眼神里满是热情，额头上略一抬眉便显出几道皱纹，脸上细看 也有密密的细纹，写满了沧桑。张钢铁用穿透力很强的声音笑着说道：“早听吴科长讲过了，我换一下衣服，你先到办公室坐一下， 我马上就过来。”马启明赶紧说：“好的！张主任，我等你。”等张钢铁换好衣服，走进办公室后便详细地询问起了马启明的情况。 然后又告诉马启明现在啤酒厂效益和收入在本地企业是最好的之一，当地人都抢着托人找关系、哭着喊着想进啤酒厂。过去效益最好 时，啤酒根本来不及生产，拉酒的车天天排得满满的，大年三十还在加班加点地生产，各种说不清名目的奖金发个不停，外面的人羡 慕得不得了。最后，张钢铁站起身，对马启明说：“走，我带你到车间去看一看，熟悉一下车间的情况。”“谢谢您，张主任。”马 启明暗自庆幸自己确实遇到了一位古道热肠的领导，急忙快走几步跟上风风火火走路的张钢铁。路上，张钢铁介绍道：“我们糖化有 老式的，也有新式的，都是三锅两槽，发酵有传统发酵，也就是我刚出来的那个
一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°角。
由定义知，直线与平面所成的角θ∈[0，

]
3．二面角的大小：
2
二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说
这个二面角是多少度。 二面角的范围是[0，π]
⑴求异面直线所成角的公式： cos cos a, b 其中 a ,b 是异面直线 a,b上的方向向量。
又∵所求二面角为< n1, n2 >的补角，
故二面角B1―A1C―C1的大小为arccos
22 5
注意：在求平面法向量过程中，若根据已知条件 很容易找出平面的法向量时，就无需列方 程组求了。
如例3中，易见 B1D1是面A1C1C的法向量；
评注：用向量法求二面角的大小：
设平面 , 的法向量分别是 n1 , n2 , 则求二面角 l 的大小可以转化为求
又∵OC⊥面AOS，∴OC 是面AOS的法向量，
令 n2 OC (0,1,0)
则有 cos n1, n2 n1 n2 n1 n2

1 6
A
由于所求二面角的大小等于 n1, n2
x
∴二面角B－AS－O的大小为 arccos 6
6
⑶.cos SA,OB SAOB 2 10 SA OB 5 2 5
因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。
附 1定 2在、、的唯：共共实一线面数确向向λ定量量，的定定使实理理数：a：x、非不y零共，b向线使量的p向b与量x向aa量、ybba与共向线量的充p 共要面条的件充是要存条在件唯是一确存 p3可 z，、以使向表量p示基为本xaa定、理by、：bc 已的z知线c性不组共合面，的即向存量在a、一b组和唯c一，确则定空的间实任数一x、向y、量
⑶注意建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。
例题
例1：如右图，直三棱柱A1B1C1─ABC中，∠BCA=90°，点D1、F1
分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所
源自文库
成的角的余弦值
z
解： 如图建立空间直角坐标系，取BC=CA=CC1=1
则B（1,0,0)
A（0，1，0）；
D1
(1 2
,
1 2
,1)
;
F1
(0,
1 2
,1)
B1
C1
F1
A1
··D1
uuuur BD1

(
1 2
,
1 2
,1)
;
uuur AF

(0,
1
,1)
;
2
uuuur uuur
cos cos BD1, AF1
30 10
所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值
30 10
C B
A y
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线 a//a, b//b ，
我们把直线 a和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
异面直线所成角的范围是

0,

2

。
2．直线和平面所成角的定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个
平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；
A B
D1
C1
E D y
C
n n

A1B1 0
B1C

0
uur
3x 3y

0 4z

0

x 0 3y 4z
x
令z=3，则 n =（0，4，3），
又因为DE =（3，0，2）；
设DE与面A1B1C所成角为 ，则
Sin
uuur uur DE n =|cos<DE, n >|=
B1 A1
C1 D1
B G
E A
F
C
D
例6、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分
别是棱AB、BC的中点，试在棱BB1上找出一点M，当
B1B MB
的值为多少时，能使D1M垂直平面B1EF? 请给出证明。
D1
C1
A1
B1
D
A
E
M C
F B
●用向量计算空间的角
1、异面直线所成角的定义
DE n
6 13 65
z A1 B1
D1 C1
∴ =arcsin 6 13
65
即
ED与平面A1B1C所成角的大小为arcsin
6
13 65
A B
uur
注：直如线图A，O设与平平面面β所的成法的向角量为为n
， ；
x
E D y
C
A
θ
uur n
则sin cos cos OA, n OA n
x
注：由向量知识知两条异面直线所成的角θ，与这两条直线的两个方向
向量的夹角有如下关系 cos cos a, b a b
rr
ab
（其中 a, b分别是直线 a,b上的向量）
例2：已知：如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点E是
CC1的中点 。 求：ED与平面A1B1C所成角的大小
P
（2）证明PB⊥平面EFD
（3）求二面角C－PB－D的大小。
FE
D
C
A
B
注：证明线面平行问题可以有以下三种办法
（ （ （p123a））a利 与b用∥线、α线a共平n面 行（0证直, 明线线na（、面b平∈为行α平;）面证α明的线法面向平量行）；
例3、已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC,∠A1AB=∠A1AC， 求证：A1A⊥BC
CC1 =（0，0，4） 于是n2 A1C1 0 n2 CC1 0
x
3x 3y 0

4z 0


x y z 0 令y=－1，则x=1，
y C
∴ n2 =（1，－1，0）于是cos n1, n2 n1 n2
n1 n2
4 2 2 52 5
n1 , n2 , 的夹角或其补角。
如图1中，cosθ=
cos< n1, n2 > =
nn11

nn22
图2中, cosθ=
n1
n2
z
A1 B1
D1 C1
A B
E D y
C
x
cos< n1, n2 > =
nn11

nn22
n1
n2
θ l
图1
θ l
图2
练 习：
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC， ∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求： ⑴OS与面SAB所成角α ⑵二面角B－AS－O的大小 ⑶异面直线SA和OB所成的角
z
解：如图，建立空间直角坐标系，由题意知：
A （0，0，0）；B （3，0，0）；
C （3，3，0）；D （0，3，0）；
B1（3，0，4）；A1（0，0，4）； E （3，3，2）。
uuur
A1B1
=（3，0，0）；
B1C
(
uur
0
,
3
,

4
)
设平面A1B1C的法向量为 n =（x，y，z）则
A1 B1
A1
C1
B1
A
C
B
例4、如图，正方体的棱长为a, F是CC1的中点，D是下底 面的中心， 求证：A1O⊥平面BDF
D1
C1
A1
B1 F
D
O A
C B
例5、（2003北京春）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 底面边长为2 2 ，侧棱长为4，E、F分别是棱AB、BC的中 点, EF与BD交与G 求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1
例1、（1994全国）已知ABC―A1B1C1是正三棱柱， D是AC的中点，
求证 AB1∥平面DBC1
A1
C1
B1
D
A
C
l
B
例2、（2004天津）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱
PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
（1 证明PA∥平面EDB
用空间向量解立几问题，其基本思路是选择向量的基底或建立
空间直角坐标系，分析已知向量和需要求解向量的差异，运用向量 代数的运算或坐标运算，依据有关的定理或法则，从已知向求解转 化。用空间向量解决的立体几何问题主要有
――平行或共面问题 ――垂直问题 ――空间角问题 ――空间距离问题
●用向量处理平行问题
秭归县屈原高中 张鸿斌
专题 立几问题的向量解法
高考复习建议 传统的立几问题是用立几的公理和定理通过从“形”到“式”
的逻辑推理，解决线与线、线与面、面与面的位置关系以及几何体 的有关问题，常需作辅助线，但有时却不易作出，而空间向量解立 几问题则体现了“数”与“形”的结合，通过向量的代数计算解决 问题，无须添加辅助线。
空间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面
与平面平行，它们都可以用向量方法来研究。
（那1）么设aa∥、bb是两a∥条b不 重合a的 直kb线(k，它R们, k的方0向) 向量分为
a、b
，
（2）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。
（ 或3直）线直a线平与行平平面面平表行示可以转a 化为为方直向线向的量方的向直向线量与与平平面面平的行法或向在量平垂面直内。，
A
解：如图建立直角坐标系， x
则A（2，0，0）； B（1，1，0）；
C（0，1，0）； O（0，0，0）；
S（0，0，1）， 于是我们有
SA =（2，0，-1）；AB =（-1，1，0）；
OB =（1，1，0）；OS =（0，0，1）；
z
S
O
Cy
B
⑴设面SAB的法向量 n (x, y, z)
求线面角大小的公式：sin cos OA, n OA n
其中 n 是平面的法向量。
OA n
求二面角大小的公式：cos cos n1, n2 或cos cos n1, n2
其中 n1, n2 分别是二面角的两个半平面的法向量。
⑵用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、 二面 角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更 体现了“借数言形”的数学思想。
OA n

o
β
例3：在例2中，长方体AC1的棱AB=BC=3，BB1=4，
z
点E是CC1的中点 。 求:二面角B1―A1C―C1的大小。 A1
D1
解：如图，建立空间直角坐标系，
B1
C1
由例2知面A1B1C的法向量为 n1 =（0，4，3）
下面我们来求面A1 C1C的法向量 n2
A
E D
设 n2 =（x，y，z），由于 A1C1=（3，3，0）, B
显然有 n AB, n SA
x y 0

2x

z

0
A
令x=1，则y=1，z=2；从而 n (1,1,2) x
z
S
O
Cy
B
sin cos OS, n OS n 2 6
OS n 1 6 3
arcsin 6
3
⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =（1，1，2）