高一数学三角函数章节测试卷(含详解)

高一三角函数章节测试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是( ) A. π
3
B. −π
3
C. π
6
D. −π
6
2. 《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最
具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π
4米，整个肩宽约为π
8米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：√2≈1.414;√3≈1.732) ( )
A. 1.612米
B. 1.768米
C. 1.868米
D. 2.045米
3. 已知θ是第四象限角，M (1,m )为其终边上一点，且sinθ=√5
5
m ，则2sinθ−cosθ
sinθ+cosθ的值( ) A. 0
B. 4
5
C. 4
3
D. 5
4. sin15∘cos75∘−cos15∘sin105∘=( ) A. −1
2
B. 1
2
C. −√32
D. √32
5. 终边为一、三象限角平分线的角的集合是( ) A. {α|α=2kπ+π
4,k ∈Z} B. {α|α=kπ+π
2,k ∈Z} C. {α|α=2kπ+π2,k ∈Z}
D. {α|α=kπ+π
4,k ∈Z}
6. 已知4sin α−2cos α
5cos α+3sin α=5
7，则sinα⋅cosα的值为( ) A. −10
3
B. 10
3
C. −3
10
D. 3
10
7. 设a =cos π
12,b =sin 41π
6
,c =cos 7π
4，则( )
A. a >c >b
B. c >b >a
C. c >a >b
D. b >c >a
8. 为了得到函数y =4sinxcosx ，x ∈R 的图象，只要把函数y =√3sin2x +cos2x ，x ∈R 图
象上所有的点( )
A. 向左平移π
12个单位长度 B. 向右平移π
12个单位长度 C. 向左平移π
6个单位长度
D. 向右平移π
6个单位长度
二、多选题（本大题共4小题，共20分）
9. 下列化简结果正确的是( ) A. cos22∘
sin52
∘
−sin22
∘
cos52
∘
=1
2
B. sin15
∘
sin30
∘
sin75
∘
=1
4
C. cos15
∘
−sin15∘
=
√2
2
D. tan24∘+tan36∘
1−tan24
∘tan36∘
=√3
10. 对于函数f (x )=sinx +cosx ，下列说法正确的有( ) A. 2π是一个周期
B. 关于(π
2,0)对称 C. 在[0,π
2]上的值域为[1,√2]
D. 在[π
4,π]上递增
11. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，
将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π
6个单位长
度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A. g(x)的最小正周期为2π
3 B. g(x)在区间[π9,π
3]上单调递增 C. g(x)的图象关于直线x =
4π
9
对称 D. g(x)的图象关于点(π
9,0)成中心对称
12. 绍兴市柯桥区棠棣村是浙江省美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道
独特的风景．假设水轮半径为4米(如图所示)，水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时
针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时(图中P 0)开始计时，则( )
A. 点P 第一次达到最高点，需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米
C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米
D. 点P 距离水面的高度ℎ(米)与t(秒)的函数解析式为ℎ=4sin (π
30t −π
6)+2
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 函数f (x )=tan (πx −π
4)的定义域为______．
14. 要得到函数y =cos (x 2−π4)的图象，只需将y =sin x
2的图象向左平移 个单位；
15.
1sin10
∘
−
√3
sin80
∘的值为
16. 已知cosα=13，且−π
2<α<0，则
cos (−α−π)sin (2π+α)tan (2π−α)
sin (3π
2−α)cos (π
2+α)
= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. (本小题10分)已知sin x 2−2cos x
2=0．
(1)求tanx 的值；(2)求cos2x
cos(5π4
+x)sin(π+x)的值．
18. (本小题12分)已知函数f(x)=sin (π4+x)sin (π
4−x)+√3sin xcos x ．
(1)求f(π
6)的值；
(2)在△ABC 中，若f(A
2
)=1，求sinB +sinC 的最大值．
19. (本小题12分)设函数f(x)=√32
cos x +12
sin x +1．
(1)求函数f(x)的值域和单调递增区间;
(2)当f(α)=9
5，且π
6<α<2π
3时，求sin(2α+2π
3)的值．
20. (本小题12分)已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图
所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若ℎ(x)=f(x)⋅f(x −π
6)，x ∈[0,π
4]，求ℎ(x)的取值范围．
21. (本小题12分)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x.
(1)求函数y=f(x)周期及其单调递增区间;
(2)当x∈[0,π
2
]时，求y=f(x)的最大值和最小值．
22. (本小题12分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单
位圆交点为P(−4
5,3
5 )．
(1)求cos(α+π
4
)和sin2α的值；
(2)求的值．
答案和解析
1.解：将时钟拨快10分钟，则分针顺时针转过60°，∴将时钟拨快10分钟，分针转过的弧度数是−π
3．故选B ．
2.解：由题得：弓所在的弧长为：l =π4+π4+π
8=
5π
8
；
所以其所对的圆心角α=
5π854
=π2；∴两手之间的距离d =2Rsin π
4=√2×1.25≈1.768．故选B ．
3.解：∵θ是第四象限角，M(1,m)为其终边上一点，则有m <0，∴|OM|=√1+m 2，
则sin θ=
√1+m
2
=√5
5m ，即m =−2，∴tanθ=−2，则2sinθ−cosθsinθ+cosθ
=2tanθ−1tanθ+1=−4−1
−1=5．故选D ． 4.解：sin15∘cos75∘−cos15∘sin105∘=sin15°cos75°−cos15°sin75°=sin (15°−75°)=−sin60°=
−
√3
2
．故选C ．
5.解：设角的终边在第一象限和第三象限角的平分线上的角为α，当角的终边在第一象限角的平分
线上时，则α=2kπ+π
4，k ∈Z ，当角的终边在第三象限角的平分线上时，则α=2kπ+5π
4
，k ∈Z ，
综上，α=2kπ+π
4，k ∈Z 或α=2kπ+5π
4，k ∈Z ，即α=kπ+π
4，k ∈Z ，
终边在一、三象限角平分线的角的集合是：{α|α=kπ+π
4,k ∈Z }．故选D ．
6.解：由4sinα−2cosα5cosα+3sinα=57，得4tanα−25+3tanα=57，解得tanα=3，∴sinα⋅cosα=sinα⋅cosαsin 2α+cos 2α=tanα
1+tan 2α=
31+32
=
3
10
．故选D ．
7.解：b =sin
41π
6=sin(6π+5π
6)=sin⁡5π
6=sin⁡π
6=cos⁡π
3,c =cos⁡7π
4=cos⁡π
4，
因为 π 
2> π 
3> π 
4> π 
12>0，且y =cos x 在(0,π
2)是减函数，所以cos⁡π
12>cos⁡π
4>cos⁡π
3，即a >c >b ．故选A ．
8.因为y =4sinxcosx =2sin2x ，y =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6)=2sin2(x +π
12)，
所以为了得到函数y =4sinxcosx ，x ∈R 的图象，只要把函数y =√3sin2x +cos2x ，x ∈R 图象上所有的点向右平移π
12个单位长度即可，故选：B
9.解：A 中，cos 22
∘
sin 52
∘
−sin 22
∘
cos 52
∘
=sin30°=1
2，则A 正确，
B 中，sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°sin (90°−15°)=sin15°cos15°sin30°=1
2
sin30°sin30°=
1
8
，则B 错误，C 中，cos 15∘
−sin 15
∘
=√2cos(45°+15°)=√2
2，则C 正确；
D 中，
tan 24∘+tan 36∘1−tan 24∘tan 36∘
=tan60°=√3，则D 正确．故选ACD ．
10.解：因为函数f (x )=sinx +cosx =√2sin (x +π
4)，故它的一个周期为2π，故A 正确；
令x =π2，得f (x )=√2sin (π2+π4)=√2sin 3π4=1，所以函数f (x )不关于(π
2,0)对称，故B 不正确；
当0≤x ≤π2时，π4≤x +π4≤3π
4，所以√2×√22≤√2sin (x +π4
)≤√2×1，即f (x )的值域为[1,√2]，
故C 正确；当π4≤x ≤π时，π2
≤x +π4
≤5π
4
，所以函数f (x )在[π
4,π]上单调递减，故D 不正确．
11.解：根据函数的图象：周期12T =5π12−(−π12)=π
2，解得T =π，故ω=2．
由图可得A =2，当x =5π12时，f(5π12
)=2sin(
5π
6
+φ)=−2，即
5π
6
+φ=
3π
2
+2kπ，k ∈Z ，
由于|φ|<π，所以φ=
2π
3
，所以f(x)=2sin(2x +2π
3)，
函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23
，纵坐标不变，得到函数y =2sin(3x +2π
3
)的图象，再将所得函数图象向右平移π
6个单位长度，得到函数g(x)=2sin(3x +π
6)的图象， 故对于A ：函数g(x)的最小正周期为T =
2π
3
，故A 正确；对于B ：由于x ∈[π9,π
3]，所以3x +π
6∈[π2,
7π
6
]， 故函数g(x)在区间[π9,π
3]上单调递减，故B 错误；对于C ：当x =4π
9时，g(4π
9)=2sin(4π
3+π
6)=−2， 故函数g(x)的图象关于直线x =4π
9
对称，故C 正确；对于D ：当x =π9时，g(π
9
)=2，故D 错误． 故选：AC ．
12.解：设点P 距离水面的高度为ℎ(米)和t(秒)的函数解析式为ℎ=Asin(ωt +φ)+B(A >0,ω>
0,|φ|<π
2)，由题意，ℎmax =6，ℎmin =−2，∴{A +B =6−A +B =−2，解得{A =4B =2
，
∵T =2πω=60，∴ω=2πT =π30，则ℎ=4sin(π
30t +φ)+2．当t =0时，ℎ=0，∴4sinφ+2=0，
则sinφ=−12
，又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．ℎ=4sin(π30t −π
6)+2，故D 正确；
令ℎ=4sin(π
30t −π
6)+2=6，0⩽t ⩽60，∴sin(π
30t −π
6)=1，得t =20秒，故A 正确； 当t =155秒时，ℎ=4sin(π
30×155−π
6)+2=4sin5π+2=2，故B 正确； 4sin(
π
30
×t −π6)+2>2，令0<
π
30
×t −π6
<π，解得5<t <35，
故有30秒的时间，点P 距水面超过2米，故C 错误．故选：ABD ．
13.解：由πx −π4≠π2+kπ，k ∈Z ，可得x ≠k +3
4,k ∈Z ，
即定义域为{x|x ≠k +34
,k ∈Z}．故答案为{x|x ≠k +34
,k ∈Z}．
14.解：将函数y =sin x 2的图象上所有点向左平移π
2个单位纵坐标不变，可得函数
y =sin 12
(x +π2
)=sin(x 2
+π4
)=cos(π4
−x 2
)=cos(x 2
−π4
)的图象．故答案为： π
2．
15.解：原式=
1sin10∘
−
√3
cos10∘
=
cos10∘−√3sin10∘sin10∘cos10∘
=
4(12cos10∘−√3
2sin10∘)2sin10∘cos10∘
=
4cos(60∘+10∘)sin20∘
=
4cos70∘sin20∘
=
4sin20∘sin20∘
=4，故答案为4．
16.解：
cos(−α−π)sin(2π+α)tan(2π−α)
sin(3π
2−α)cos(π
2+α)=
(−cosα)sinα(−tanα)(−cosα)(−sinα)
=tanα，
∵cosα=1
3，且−π
2<α<0，∴sinα=−2√2
3
，则原式=tanα=sinα
cosα
=−2√2．故答案为−2√2． 17.解：(1)∵f(x)=sin (π 4+x)sin (π 
4−x)+√3sin xcos x
=sin (π4+x)sin [π2−(π4+x)]+√3sinxcosx =sin (π4+x)cos (π4
+x)+√3sinxcosx =1
2
cos2x +
√3
2sin2x =sin (2x +π6
)，∴f (π6)=sin (2×π6+π
6)=1． (2)由f (A
2)=sin (A +π
6)=1，而0<A <π，可得A +π
6=π
2，即A =π
3， ∴sinB +sinC =sinB +sin (2π3−B)=32sinB +√32cosB =√3sin (B +π
6)， ∵0<B <2π3，∴π
6
<B +π6<5π6，12<sin (B +π
6)≤1，
则
√3
2
<√3sin (B +π
6)≤√3，故当B =π
3时，sinB +sinC 取最大值，最大值为√3． 19.【答案】解：(1)由图象有A =√3，最小正周期T =43(7π
12+π
6)=π，
所以ω=2π
T
=2，所以f(x)=√3sin(2x +φ)．
由f (7π
12)=−√3，得2·
7π
12
+φ=3π2+2kπ，k ∈Z ，所以φ=π
3+2kπ，k ∈Z ．
又因为0<φ<2π，所以φ=π
3.所以 f(x)=√3sin(2x +π
3) ．
(2)由(1)可知f(x)=√3sin (2x +π3)，ℎ(x)=f(x)⋅f(x −π6)=√3sin (2x +π
3)×√3sin2x =
3sin2x(1
2sin2x +√3
2cos2x)=32sin 22x +3√3
2sin2xcos2x =32·
1−cos4x 2
+3√3
4sin4x =3
2sin(4x −
π6)+3
4
．因为x ∈[0,π
4]，所以4x −π
6∈[−π6,5π
6
]，所以sin(4x −π
6)∈[−1
2,1]，
所以ℎ(x)的取值范围为[0,9
4
]. 20.解：(1)因为f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x =2+sin2x +cos2x =√2sin(2x +π
4)+2
所以f(x)=√2sin(2x +π
4)+2；所以f(x)的最小正周期为2π
2
=π；
令−π2+2kπ≤2x +π4≤π
2+2kπ，k ∈Z ，所以−
3π
8+kπ≤x ≤π8+kπ，k ∈Z 所以f(x)的单调递增区间为[−3π
8+kπ,π
8+kπ]k ∈Z;
(2)因为x ∈[0,π
2]，所以2x +π4
∈[π4,5π
4
]，所以sin(2x +π4
)∈[−√22
,1]
所以f(x)∈[1,2+√2]，所以f(x)的最大值为2+√2，最小值为1．
21.解：(1)由sin x 2−2cos x
2
=
0，知cos
x
2
≠0，∴
tan
x 2
=2，∴tanx =
2tan x
2
1−tan 2x
2
=
2×21−4
=−4
3． (2)由(1)，知tanx =
−4
3，∴cos2x cos(5π
4+x)sin(π+x)
=
cos2x −cos(π
4+x)(−sinx)=
22(√2
2cos x−√2
2sin x)sin x
=
√2
2
(cos x−sin x)sin x
=√2×
cos x+sin x sin x
=√2×1+tan x
tan x =√2
4
． 22.解：(1)由题意，|OP|=1，则sinα=3
5，cosα=−4
5，∴cos(α+π
4)=cosαcos π
4−sinαsin π
4
=−4
5
×
√2
2
−35
×
√2
2
=−
7√2
10
，sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−24
25．
(2)由(1)知，tanα=sinαcosα
=
−3
4
，则3sin (π−α)−2cos (−α)5cos (2π−α)+3sin α=
3sinα−2cosα5cosα+3sinα
=
3tanα−25+3tanα
=
3×(−3
4)−25+3×(−3
4)
=
−17
11．。