高考数学一轮复习单元双优测评卷__第八单元立体几何初步A卷含解析

第八单元 立体几何初步
A 卷 基础过关必刷卷
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．关于直线m 、n 与平面α、β,有以下四个命题： ①若//m α,βn//且//αβ,则//m n ； ②若m α⊥,n β⊥且αβ⊥,则m n ⊥； ③若m α⊥,βn//且//αβ,则m n ⊥； ④若//m α,n β⊥且αβ⊥,则//m n . 其中真命题的序号是（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③
2．某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的半圆的直径为2,则该几何体的表面积为（ ）
A ．32π+
B ．42π+
C ．33π+
D ．43π+
3．已知点,,,A B C D 在球O 的表面上,AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥,若2,4,AB BC AC
==与平面ABD 所成角的正弦值为10
5
,则球O 表面上的动点P 到平面ACD 距离的最大值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．菱形ABCD 中,2AB =,120DAB ∠=︒,将CBD 沿BD 折起,C 点变为E 点,当四面体
E ABD -的体积最大时,四面体E ABD -的外接球的面积为（ ）
A ．20π
B ．40π
C ．60π
D ．80π
5．如图,已知等边ABC 与等边ABD △所在平面成锐二面角3
π
,E ,F 分别为AB ,AD 中
点,则异面直线EF 与CD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
23
3
B ．
32
C ．
34
D ．
43
3
6．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球,小球可在正方体容器内任意运动,则其不能到达的空间的体积为（ ） A ．22323
π-
B ．4812π-
C ．4283
π-
D ．13203
π-
7．如图,一个四棱柱形容器中盛有水,在底面ABCD 中,//AB CD ,3AB =,1CD =,侧棱
14AA =,若侧面11AA B B 水平放置时,水面恰好过1111,,,AD BC B C A D 的中点,那么当底面
ABCD 水平放置时,水面高为（ ）
A ．2
B ．
52
C ．3
D ．
72
8．某中学开展劳动实习,学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片,如图所示,裁掉阴影部分,然后按虚线处折成高为3的正六棱柱无盖包装盒,则此包装盒的体积为（ ）
A．144B．72C．36D．24
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
9．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点．则（）
A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为9
8
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
10．沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部
在上部时,其高度为圆锥高度的2
3
(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的
沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）
A ．沙漏中的细沙体积为
31024cm 81
π
B ．沙漏的体积是3128cm π
C ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D ．该沙漏的一个沙时大约是1565秒()3.14π≈
11．如图,圆柱的轴截面是四边形ABCD ,E 是底面圆周上异于,A B 的一点,则下列结论中正确的是（ ）
A ．AE CE ⊥
B ．BE DE ⊥
C ．DE ⊥平面CEB
D ．平面AD
E ⊥平面
BCE
12．如图,在棱长均相等的四棱锥P ABCD -中,O 为底面正方形的中心,M ,N 分别为侧棱PA ,PB 的中点,有下列结论正确的有：
A ．PD ∥平面OMN
B ．平面PCD ∥平面OMN
C ．直线P
D 与直线MN 所成角的大小为90 D ．ON PB ⊥
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．
13．已知球O的半径为4
,
3
点,,,
A B C D均在球面上,若ABC为等边三角形,且其面积为
3,则三棱锥D ABC
-的最大体积是___________.
14．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形,即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体,它们的各个面和多面角都全等．如图,正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体,共有12个顶点,30条棱,20个面,是五
个柏拉图多面体之一．如果把sin36︒按3
5
计算,则该正二十面体的表面积与该正二十面体的
外接球表面积之比等于___________．
15．如图,过球的一条半径OP的中点1O,作垂直于该半径的平面,所得截面圆的面积与球的表面积之比为________．
16．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点,这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．
其中正确结论的个数为________．
四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图,在Rt△AOB中,AO＝OB＝2,△AOC通过△AOB以OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC ＝120°）．点D为斜边AB上一点,点M为线段BC上一点,且CM＝OM．
（1）证明：OM 平面AOB；
（2）当D为线段AB中点时,求多面体OA CM D的体积．
18．如图：直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,E,F分别为边AD和BC上的点,且EF// AB,AD=2AE=2AB=4FC=4,将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置,使AD=AE.
（1）求证：BC//平面DAE；（2）求四棱锥D﹣AEFB的体积；
（3）求面CBD 与面DAE 所成锐二面角的余弦值.
19．如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点．
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ,使得//MC 平面PBD ,说明理由．
20．如图,在四棱锥M ABCD -中,四边形ABCD 为梯形,90ABC BAD ∠=∠=,
//BC AD ,22AD AB BC ==
（1）若E 为MA 中点,证明：BE //面MCD
（2）若点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上,1AB =,证明：CD ⊥面MAC .
21．如图,四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形,PA ⊥底面ABCD ,,E F 分别为
,AB PC 的中点.
（1）求证：EF //平面PAD ；
（2）若2PA =,试问在线段EF 上是否存在点Q ,使得二面角 Q AP D --的余弦值为5
5
？若存在,确定点Q 的位置；若不存在,请说明理由.
22．已知圆锥的侧面展开图为半圆,母线长为23.
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的体积
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．关于直线m 、n 与平面α、β,有以下四个命题： ①若//m α,βn//且//αβ,则//m n ； ②若m α⊥,n β⊥且αβ⊥,则m n ⊥； ③若m α⊥,βn//且//αβ,则m n ⊥； ④若//m α,n β⊥且αβ⊥,则//m n . 其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④
C ．①④
D ．②③
【答案】D
【解析】对于①,若//m α,βn//且//αβ,则m 与n 平行、相交或异面,①错误； 对于②,如下图所示：
设a αβ⋂=,因为αβ⊥,在平面β内作直线l a ⊥,由面面垂直的性质定理可知l α⊥,
m α⊥,//m l ∴,n β⊥,l β⊂,n l ∴⊥,因此,m n ⊥,②正确；
对于③,若m α⊥,//αβ,则m β⊥, 因为βn//,过直线n 作平面γ使得a β
γ=,由线面平行的性质定理可得//n a ,
m β⊥,a β⊂,则m a ⊥,因此m n ⊥,③正确；
对于④,若//m α,n β⊥且αβ⊥,则m 与n 平行、相交或异面,④错误. 故选：D.
2．某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的半圆的直径为2,则该几何体的表面积为（ ）
A ．32π+
B ．42π+
C ．33π+
D ．43π+
【答案】A
【解析】
这个几何体是由一个底面半径为1且高为1的半圆柱,和一个半径为1的半球的前半部分组成,所以它的下底面为半圆,面积为
2
π
,后表面为一个矩形加半圆,面积为212π⨯+,前表面为半
个圆柱侧面加14个球面,面积为1
114124
πππ⨯⨯+⨯⨯=,所以其表面积为32π+, 故选：A.
3．已知点,,,A B C D 在球O 的表面上,AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥,若2,4,AB BC AC
==与平面ABD 所成角的正弦值为10
5
,则球O 表面上的动点P 到平面ACD 距离的最大值为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】
如图,因为AB ⊥平面BCD ,BC CD ⊥,所以AD 为球的直径 由2,4AB BC ==得25AC =
作CE BD ⊥,则CAE ∠即为AC 与平面ABD 所成角 所以105n 25
si CE CE
AC CAE ∠=
==
,得22CE = 设CD x =由等面积法得242216x x =+,解得4x =
所以22224161636AD AB BC CD =++=++=,即26R =,3R = 又平面ACD 过球心,所以P 到平面ACD 距离即为半径的长 所以P 到平面ACD 距离的最大值为3. 故选：B.
4．菱形ABCD 中,2AB =,120DAB ∠=︒,将CBD 沿BD 折起,C 点变为E 点,当四面体
E ABD -的体积最大时,四面体E ABD -的外接球的面积为（ ）
A ．20π
B ．40π
C ．60π
D ．80π
【答案】A
【解析】由题意,三棱锥E ABD -的底面ABD △的面积为定值,当平面EBD ⊥平面ABD 时,此时点E 到底面ABD 的距离最大,此时三棱锥E ABD -的体积取得最大值, 因为四边形ABCD 为菱形,且120DAB ∠=︒,连接AC 交BD 与点M , 可得CD CA CB ==,所以C 为ABD △的外心,
过点C 作平面ABD 的垂线l ,可得l 上点到,,A B D 三点的距离相等,
设l 存在点O 点,使得OE OA OB OD ===,即点O 为三棱锥E ABD -的外接球的球心, 设OC x =,可得2
2
2
2
()AC OC CM EM OC +=++, 即2
241(1)x x +=++,解得1x =, 所以外接球的半径为2222215r AC OC =
+=+=,
所以外接球的表面积为2244(5)20S r πππ==⨯=. 故选：A.
5．如图,已知等边ABC 与等边ABD △所在平面成锐二面角3
π
,E ,F 分别为AB ,AD 中
点,则异面直线EF 与CD 所成角的余弦值为（ ）
A
．
23
3
B
．
32
C ．
34
D ．
43
3
【答案】C
【解析】连接CE ,DE ,等边ABC 与等边ABD △所在平面成锐二面角
3
π
,
可得3
DEC π
∠=
,
设等边ABC 与等边ABD △的边长为a , 则3
2
DE CE a ==
,即DEC 为等边三角形, 所以32
DC a =
, 因为E ,F 分别为AB ,AD 中点,
所以//EF BD ,异面直线EF 与CD 所成角即为,BD CD 所成的角,
在BCD △中,2
22
323cos 43
22
a a a BDC a a
⎛⎫+- ⎪⎝⎭∠==⋅. 故选：C
6．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球,小球可在正方体容器内任意运动,则其不能到达的空间的体积为（ ） A ．22323
π-
B ．4812π-
C ．4283
π-
D ．13203
π-
【答案】A
【解析】由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分,其体积为3
344
21833
ππ-
⨯=-, 小球在12条边活动不到的空间相当于高为2,底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为π,高为2的圆柱剩下的部分,且有3个,则其体积为()4223246ππ⨯-⨯=-, 则小球不能到达的空间的体积为()4228+2463233
πππ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 故选：A.
7．如图,一个四棱柱形容器中盛有水,在底面ABCD 中,//AB CD ,3AB =,1CD =,侧棱
14AA =,若侧面11AA B B 水平放置时,水面恰好过1111,,,AD BC B C A D 的中点,那么当底面
ABCD 水平放置时,水面高为（ ）
A ．2
B ．
5
2
C ．3
D ．
72
【答案】B
【解析】设四棱柱的底面梯形的高为2a ,
,AD BC 的中点分别为,F E ,
所求的水面高为h ,
则水的体积1(23)(13)2422
ABEF ABCD a a
V S AA S h h ++=⋅=
⋅=⋅=⋅, 所以5
2
h =
, 故选：B ．
8．某中学开展劳动实习,学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片,如图所示,裁掉阴影部分,然后按虚线处折成高为3的正六棱柱无盖包装盒,则此包装盒的体积为（ ）
A ．144
B ．72
C ．36
D ．24
【答案】B
【解析】
如图：由正六边形的每个内角为
23
π, 按虚线处折成高为3的正六棱柱,即3BF =,
所以1tan 60
BF
BE =
=
可得正六棱柱底边边长6214AB =-⨯=, 所以正六棱柱体积：13
64437222
V =⨯⨯⨯⨯
⨯=.
故选：B
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
9．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F ,G 分别为BC ,CC 1,BB 1的中点．则（ ）
A ．直线D 1D 与直线AF 垂直
B ．直线A 1G 与平面AEF 平行
C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为9
8
D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC
【解析】根据题意,假设直线D 1D 与直线AF 垂直,又1DD AE ⊥,,,AE
AF A AE AF =⊂平
面AEF ,所以1DD ⊥平面AEF ,所以1DD EF ⊥,又11//DD CC ,所以1CC EF ⊥,与
4
EFC π
∠=
矛盾,所以直线D 1D 与直线AF 不垂直,所以选项A 错误；
因为A 1G ∥D 1F ,A 1G ⊄平面AEFD 1,1D F ⊂平面AEFD 1,所以A 1G ∥平面AEFD 1,故选项B 正确． 平面AEF 截正方体所得截面为等腰梯形AEFD 1,由题得该等腰梯形的上底2
,2
EF =
下底12AD =,腰长为52,所以梯形面积为9
8
,故选项C 正确；
假设C 与G 到平面AEF 的距离相等,即平面AEF 将CG 平分,则平面AEF 必过CG 的中点,连接CG 交EF 于H ,而H 不是CG 中点,则假设不成立,故选项D 错误． 故选：BC ．
10．沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的
2
3
(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm 3的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）
A ．沙漏中的细沙体积为
31024cm 81
π
B ．沙漏的体积是3128cm π
C ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D ．该沙漏的一个沙时大约是1565秒()3.14π≈ 【答案】AC
【解析】A .根据圆锥的截面图可知：
细沙在上部时,细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比, 所以细沙的底面半径28
433
r cm =
⨯=, 所以体积
23121641610243339381
h V r cm πππ=⋅⋅=⋅⋅=
B.沙漏的体积
2
23 11256 2248
3233
h
V h cm
πππ
⎛⎫
=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
⎪
⎝⎭
；
C.设细沙流入下部后的高度为
1
h,
根据细沙体积不变可知：
2
1 10241
8132
h
h π
π
⎛⎫
⎛
⎫
=⨯⨯
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
,
所以
11
102416
, 2.4
813
h h cm
ππ
=≈
所以；
D.因为细沙的体积为3
1024
81
cm
π
,沙漏每秒钟漏下3
0.02cm的沙,
所以一个沙时为：
1024
81
0.02
π
1024 3.14
501985
81
⨯
=⨯≈秒.
故选：AC.
11．如图,圆柱的轴截面是四边形ABCD,E是底面圆周上异于,A B的一点,则下列结论中正确的是（）
A．AE CE
⊥B．BE DE
⊥C．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE
【答案】ABD
【解析】由AB是底面圆的直径,得90
AEB︒
∠=,即AE EB
⊥,∵圆柱的轴截面是四边形ABCD, BC⊥底面AEB,BC AE
∴⊥,又EB BC B
=,BC,BE⊂平面BCE,
AE
∴⊥平面BCE,AE CE
∴⊥,故A正确；
同理可得,BE DE
⊥,故B正确；
若DE⊥平面CEB,则DE BC
⊥,//
BC AD,DE AD
∴⊥,在ADE中AD AE
⊥, DE AD
∴⊥不成立,DE
∴⊥平面CEB不正确,故C不成立,
由A的证明可知AE⊥平面BCE,AE⊂平面ADE,所以平面BCE⊥平面ADE.
可得,,
A B D正确.
故选：ABD.
12．如图,在棱长均相等的四棱锥P ABCD
-中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论正确的有：
A．PD∥平面OMN B．平面PCD∥平面OMN
C．直线PD与直线MN所成角的大小为90D．ON PB
⊥
【答案】ABD
【解析】选项A,连接BD,显然O为BD的中点,又N为PB的中点,所以PD∥ON,由线面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN；选项B, 由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,得MN∥AB,又底面为正方形,所以MN∥CD,由线面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又选项A 得PD∥平面OMN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN；选项C,因为MN∥CD,所以∠ PDC为直线PD与直线MN所成的角,又因为所有棱长都相等,所以∠ PDC= 60,故直线PD与直线MN所成角的大小为60；选项D,因底面为正方形,所以222
AB AD BD
+=,又所有棱长都相等,所以222
PB PD BD
+=,故PB PD
⊥,又
PD∥ON,所以ON PB
⊥,故ABD均正确.
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．
13．已知球O的半径为4
,
3
点,,,
A B C D均在球面上,若ABC为等边三角形,且其面积为
3,则三棱锥D ABC
-的最大体积是___________.
【答案】23 3
14．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形,即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体,它们的各个面和多面角都全等．如
图,正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体,共有12个顶点,30条棱,20个面,是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36︒按3
5
计算,则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．
【答案】
553
36π
【解析】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球, 设外接球半径为R ,正五边形的外接圆半径为r ,正二十面体的棱长为l ,
则3sin 365
2
l
r =︒=,得56l
r =, 所以正五棱锥的顶点到底面的距离是2
22251166l h l r l l ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
,
所以2
2
2
()R r R h =+-,即2
2
2
51166l R R l ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,解得311
11R l =． 所以该正二十面体的外接球表面积为2
2
2
31136441111S R l l πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
球,
而该正二十面体的表面积是2
1
20sin 60532
S l l l =⨯⨯⨯⨯︒=正二十面体,
所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于
553
36π
． 故答案为：
553
36π
. 15．如图,过球的一条半径OP 的中点1O ,作垂直于该半径的平面,所得截面圆的面积与球的表面积之比为________．
【答案】
3 16
【解析】截面圆半径为r,球半径为R,
则由题意得
2
2
13
22
r R R R
⎛⎫
=-=
⎪
⎝⎭
,
所以截面圆面积与球表面积比为
2
2
1
22
3
3
4
4416
R
S r
S R R
π
π
ππ
⨯
===．
故答案为：
3 16
．
16．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点,这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．
其中正确结论的个数为________．
【答案】4
【解析】（1）如图所示：四边形ABCD为矩形,故（1）满足条件；
（2）四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体,故（2）满足条件；
（3）四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体,故（3）满足条件；
（4）四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体,故（4）
满足条件；
故正确的结论有4个． 故答案为：4．
四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图,在Rt △AOB 中,AO ＝OB ＝2,△AOC 通过△AOB 以OA 为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC ＝120°）．点D 为斜边AB 上一点,点M 为线段BC 上一点,且CM ＝OM ．
（1）证明：OM ⊥平面AOB ；
（2）当D 为线段AB 中点时,求多面体OA CM D 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）
43
9
． 【解析】（1）证明：在△OBC 中,由题意可得OB ＝OC ,∠OCB ＝30°, ∵CM＝OM ,∴∠COM ＝∠O CM ＝30°, 又∵∠BOC ＝120°,∴OM OB ⊥,
根据题意,OA ⊥OB ,OA ⊥OC ,OB ∩OC ＝O ,∴OA ⊥平面OBC , 而OM ⊂平面OBC ,∴OA OM ⊥, 又OA ∩OB ＝O ,∴OM ⊥平面AOB ； （2）解：由（1）得,23
3
OM =
, ∵D 为线段AB 的中点,∴11323
2223223
A BOC V -=
⨯⨯⨯⨯⨯=
, 112323213239
D OMB V -⨯⨯⨯⨯=
＝． ∴多面体OACMD 的体积为：---232343
399
O ACMD A BOC D OBM V V V =-=
-=
．
18．如图：直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,E,F分别为边AD和BC上的点,且EF// AB,AD=2AE=2AB=4FC=4,将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置,使AD=AE.
（1）求证：BC//平面DAE；
（2）求四棱锥D﹣AEFB的体积；
（3）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）43
3
；（3）
5
5
.
【解析】（1）证明：∵直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,E,F分别为边AD和BC上的点,且EF//AB,
∴CF//DE,CF⊂面CBF,DE⊄面CBF,则DE//面CBF；
FB//AE,FB⊂面CBF,AE⊄面CBF,则AE//面CBF；
又∵AE∩DE=E,DE､AE⊂面DAE
∴面CBF//面DAE
又BC⊂面CBF,所以BC//平面DAE
（2）取AE的中点H,连接DH
∵EF⊥ED,EF⊥EA,ED∩EA=E
∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE,
∴EF⊥DH
∴AE=ED=DA=2,
∴DH⊥AE,DH =3, 又AE∩EF =E
∴
DH⊥面AEFB…
所以四棱锥D ﹣AEFB 的体积
143
322
33
V=⨯⨯⨯=
（3）如图以AE中点为原点,AE为x轴建立空间直角坐标系
则A(﹣1,0,0),D(0,0,3),B(﹣1,﹣2,0),E(1,0,0),F(1,﹣2,0)
因为
1
2
CF DE
=,所以C(
1
2
,﹣2,
3
2
)
易知BA是平面ADE的一个法向量,BA=
1
n=(0,2,0)
设平面BCD的一个法向量为
2
n=(x,y,z)
由
33
22
230
x z
x y z
⎧
+=
⎪
⎨
⎪++=
⎩
令x=2,则y=2,z=﹣23,∴
2
n=(2,2,﹣23),
∴cos<
1
n,
2
n>=5
5
所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为
5
5
19．如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点．
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ,使得//MC 平面PBD ,说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在,理由见解析．
【解析】（1）∵平面CMD ⊥平面ABCD ,平面MDC ⋂平面ABCD CD =,
BC CD ⊥,BC ⊂平面ABCD ,∴BC ⊥平面CMD ,DM ⊂平面CMD ,∴BC DM ⊥,
∵CD 为直径,∴CM DM ⊥,BC
CM C =,,BC CM ⊂平面BMC ,
∴DM ⊥平面BMC ,DM ⊂平面AMD , ∴平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）存在．当P 为AM 中点时,//MC 平面PBD , 证明如下：连AC ,BD ,AC
BD O =,
∵ABCD 为正方形,∴O 为AC 中点, 连接OP ,P 为AM 中点,∴//MC OP , ∵MC ⊄平面PBD ,OP ⊂平面PBD , ∴//MC 平面PBD ．
20．如图,在四棱锥M ABCD -中,四边形ABCD 为梯形,90ABC BAD ∠=∠=,
//BC AD ,22AD AB BC ==
（1）若E 为MA 中点,证明：BE //面MCD
（2）若点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上,1AB =,证明：CD ⊥面MAC . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）取MD 中点为F ,连接EF ,CF , 则EF 为△MAD 中位线,∴1//
2EF AD 且1
=2
EF AD , 又四边形ABCD 是直角梯形,22AD AB BC ==
1//2BC AD ∴,1
=2
BC AD
//BC EF ∴且=BC EF ,
∴四边形BCFE 为平行四边形,所以//BE CF ,
因为BE ⊄面MCD ,CF ⊂面 MCD ,所以//BE 面MCD .
（2）在四棱锥M ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形,222AD AB BC ===,
90ABC BAD ∠=∠=,
22112AC CD ∴==+=
222AC CD AD ∴+=,AC CD ∴⊥,
设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上,设为点H ,
MH ∴⊥面ABCD ,CD ⊂面ABCD ,
MH CD ∴⊥,
又
AC CD ⊥,AC MH H ⋂=, CD
面MAC .
21．如图,四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形,PA ⊥底面ABCD ,,E F 分别为
,AB PC 的中点.
（1）求证：EF //平面PAD ；
（2）若2PA =,试问在线段EF 上是否存在点Q ,使得二面角 Q AP D --的余弦值为5
5
？若存在,确定点Q 的位置；若不存在,请说明理由.
【答案】（1）证明详见解析；（2）满足条件的Q 存在,是EF 中点. 【解析】证明：（1）取PD 中点M,连接MF 、MA,
在△PCD 中,F 为PC 的中点,∴
1//2
MF DC =,
正方形ABCD 中E 为AB 中点,∴1
//
2
AE DC =
,∴=//AE MF , 故四边形EFMA 为平行四边形,∴EF∥AM , 又∵EF ⊄平面PAD,AM ⊂平面PAD, ∴EF∥平面PAD ；
（2）结论：满足条件的Q 存在,是EF 中点．理由如下： 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系,
则P （0,0,2）,B （0,1,0）,C （1,1,0）,E （
0,12,0）,F （12,1
2
,1）, 由题易知平面PAD 的法向量为n =（0,1,0）, 假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ=, ∵1
(,0,1)2
EF =,∴1
(
,,)22Q λλ=,1
(,,)22
AQ λλ=,λ∈[0,1], 设平面PAQ 的法向量为(,,)x y z ∏=,
由1
0{2
20
x y z z λ
λ+
+==,可得(1,,0)λ∏=-, ∴2cos ,1m n m n m n λ
λ
⋅-=
=+, 由已知：
2
55
1λλ-=
+,解得：12λ=,
所以满足条件的Q 存在,是EF 中点．
22．已知圆锥的侧面展开图为半圆,母线长为23.
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的体积. 【答案】（1）3π；（2）
98
π. 【解析】解：（1）沿母线AB 剪开,侧展图如图所示：
设OB R =,在半圆⊙A 中,23AB =, 弧长'23BB π=, 这是圆锥的底面周长,所以223R ππ=, 所以3R =,
故圆锥的底面积为2
3S R ππ==圆锥； （2）设圆柱的高1OO h =,OD r =, 在Rt AOB 中,223AO AB OB =
-=,
11
AO D △AOB ,所以
111
AO O D AO OB
=,
即3
3h -=,3h =, 222(33)23(3)S rh r r r r πππ==-=--圆柱侧面积,
2
3332322r ππ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
, 所以,当3
2
r =
,32h =时,圆柱的侧面积最大,
此时
29
8V r h ππ
==圆柱。