重积分习题与答案

第九章重积分A
1、填空题
1）交换下列二次积分的积分次序
（1）
______________________________________________ （2）
______________________________________________ （3）
_______________________________________________ （4）
___________________________________________ （5）
______________________________________________ （6）
________________________________________
2）积分
的值等于__________________________________
3)设
，试利用二重积分的性质估计
的
值则。

4)设区域
是有
轴、
轴与直线
所围成，根据二重积分的性质，试比较积分
与
的大小________________________________
5）设
，则积分
___________________________________________
6)已知
是由
所围，按先
后
再
的积分次序将
化为累次积分，则
7）设
是由球面
与锥面
的围面，则三重积分
在球面坐标系下的三次积分表达式为
2、把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值
1）
2）
3、利用极坐标计算下列各题
1）
，其中
是由圆周
及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.
2）
，其中
是由圆周
及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.
3）
，其中
是由圆周
及直线
所围成的在第一象限的闭区域.
4、选用适当的坐标计算下列各题
1)
,其中
是直线
及曲线
所围成的闭区域.
2）
，其中
是顶点分别为
和
的梯形闭区域.
3）
，其中
是圆周
所围成的闭区域.
4）
，其中
是圆环形闭区域
.
5、设平面薄片所占的闭区域
由螺线
上一段弧
与直线
所围成，它的面密度为
，求这薄片的质量（图9-5）.
6、求平面
，
，
，以及球心在原点、半径为
的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.
7、设平面薄片所占的闭区域
由直线
，
和
轴所围成，它的面密度
，求该薄片的质量.
8、计算由四个平面
，
，
，
所围成的柱体被平面
及
截得的立体的体积.
9、求由平面
，
，
所围成的柱体被平面
及抛物面
截得的立体的体积.
10、计算以
面上的圆周
围成的闭区域为底，而以曲面
为顶的曲顶柱体的体积.
11、化三重积分
为三次积分，其中积分区域
分别是
1）由双曲抛物面
及平面
所围成的闭区域.
2）由曲面
及
所围成的闭区域.
12、设有一物体，占有空间闭区域
，在点
处的密度为
，计算该物体的质量.
13、计算
，其中
是由曲面
，与平面
和
所围成的闭区域.
14、计算
，其中
为球面
及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.
15、算
，其中
是由锥面
与平面
所围成的闭区域.
16、利用柱面坐标计算三重积分
，其中
是由曲面
及
所围成的闭区域.
17、利用球面坐标计算三重积分
，其中
是由球面
所围成的闭区域.
18、选用适当的坐标计算下列三重积分
1）
，其中
为柱面
及平面
，
，
所围成的在第一卦限内的闭区域.
2）
，其中
是两个球
和
的公共部分.
3）
，其中
是由曲面
及平面
所围成的闭区域.
4）
，其中闭区域
由不等式
，
所确定.
19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积
1）
及
.
2）
及
(含有
轴的部分).
20、球心在原点、半径为
的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.
21、求球面
含在圆柱面
内部的那部分面积.
22、求锥面
被柱面
所割下部分的曲面面积.
23、求由抛物线
及直线
所围成的均匀薄片（面密度为常数
）对于直线
的转动惯量.
24、设薄片所占的闭区域
如下，求均匀薄片的质心
是半椭圆形闭区域
.
25、设平面薄片所占的闭区域
由抛物线
及直线
所围成，它在点
处的面密度
，求该薄片的质心.
25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度
）
1）
，
2）
，
,
26、求半径为
高为
的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度
）.
B
1、根据二重积分的性质，比较下列积分的大小
1）
与
，其中积分区域
是由圆周
所围成.
2）
与
，其中
是三角形闭区域，三顶点分别为
，
.
2、计算下列二重积分
1）
，其中
2）
，其中
是由直线
，
及
所围成的闭区域
3），
，其中
3、化二重积分
为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域
1）由
轴及半圆周
所围成的闭区域
2）环形闭区域
4、求由曲面
及
所围成的立体的体积.
5、计算
，其中
为平面
，
，
，
所围成的四面体.
6、计算下列三重积分
1)
，其中
是两个球：
和
的公共部分.
2)
，其中
是由球面
所围成的闭区域.
3)
，其中
是由
平面上曲线
绕
轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域.
7、设球体占有闭区域
，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.
8、一均匀物体（密度
为常量）占有的闭区域
由曲面
和平面
，
所围成
1）求物体的体积;
2）求物体的质心;
3）求物体关于
轴的转动.
C
1、利用二重积分的性质，估计积分
，其中
是由圆周
所围成.
2、用二重积分计算立体
的体积
，其中
由平面
，
，
，
和
所围成
.
3、计算二重积分
，其中
是由直线
，
以及曲线
所围成的平面区域.
4、设
在积分域上连续，更换二次积分
的积分次序.
5、计算二重积分
，其中积分区域
是由
和
确定.
6、求二重积分
的值，其中
是由直线
，
及
围成的平面区域.
7、计算
,其中
由曲面
及
围成.
8、计算
，其中
是由曲面
与平面
及
所围成的闭区域.
9、设有一半径为
的球体，
是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到
的距离的平方成正比（比例常数
），求球体的重心的位置.
10、设有一高度为
（
为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程
（设长度单位为cm，时间单位为h），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数
），问高度为130（cm）的雪堆全部融化需多少时间？
第九章重积分答案
习题答案
（A）
1、填空题
1）①
②
③
④
⑤
⑥
2）
3)
4)
5)
6)
7)
2、1）
2）
3、1）
2）
3）
4、1）
2）
3）
4）
5、
6、
7、
8、
9、
10、
11、1）
2）
12、
13、
14、
15、
16、
17、
18、1）
2）
3）
4）
19、1）
2）
20、
21、
22、
23、
24、
25、
，
26、
27、
（
为圆柱体的质量）
（B）
1、 1）
2）
2、1）
2)
3)
3、1）
，
2）
4、
5、
； 6、1）
2）
3）
； 7、
8、1）
2）
3）
（C）
1、解：令
，关键是求
在
上的最大值和最小值，在
内部，
，
，因此
在
内部无驻点，最值点一定在边界上取得，作
由方程组
解得驻点为
，
，比较可得最小值
，最大值为
，而
的面积为
，由估值定理得。

2、解：
3、解：区域
和
如图所示，有
在极坐标系下，有
，因此
，于是
4、解：由已知的积分上、下限，可知积分域的不等式组为
画出草图，如图，则
5、解：由于绝对值符号内的函数在
内变号，即当
时，
；
时，
，因此用曲线
将
分为
和
两部分，如图所示：
6、解：平面区域
可表示为：
：
则
其中
（被积函数是
的奇函数）
所以
7、解法1：利用柱面坐标系，把
的边界曲面化为
，
，它们的交线在
平面上的投影方程为
，于是
解法2：利用球面坐标，把
的边界化为球面坐标，得：
，
，它们的交线为圆
，则
解法3：“先二后一”的方法，用平行于
的平面横截区域
，得
故
8、解：积分区域用不等式组表示为
：
则：
9、解：记所考虑的球体为
，以
的球心为原点
，射线
为正
轴，建立直角坐标系，则点
的坐标为
，球面方程为
体密度为
设
的重心坐标为
，由对称性
，
而
=
故
，因此，球体
的重心坐标为
10、解：记
为雪堆体积，
为雪堆的侧面积，则（
：
）
（
：
）
由题意知
所以
，因此
由
得
，令
，得
因此，高度为
的雪堆全部融化所需时间为。