平面向量-2019年高考数学二轮复习精品资料(解析版)-14页word资料

【高效整合篇】
一．考场传真
1. 【2019年全国高考新课标（I ）】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____.
2.【2019年普通高等学校统一考试江苏卷】设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12
AD AB =，23BE BC =. 若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是 .
3. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）】已知点()()1,3,4,1A B -，则与AB 向量同方向的单位向量为（ ）
（A ）3
455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭
， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 4. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】 已知,a b 是单位向量，0=⋅若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）
A ．⎤⎦
B ．⎤⎦
C ．1⎡⎤⎣⎦
D ．1⎡⎤⎣⎦
5. 【2019年高考新课标Ⅱ数学卷】 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅ =_______.
若非零向量,a b 满足
3
2a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为7.【2019年全国高考统一考试天津数学卷】在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E
为CD 的中点.
若·
1AC BE =, 则AB 的长为 . 8.【2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈、 若12,e e 的夹角为6π，则||||
x b 的最大值等于_______.
9.【2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）】设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ； ②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ； ③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二．高考研究
1. 考纲要求:掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要
条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。

2.命题规律：平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的
线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.
一．基础知识整合
1.平面向量的线性运算
2.平面向量基本定和平面向量的坐标表示
(1) 平面向量基本定
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2) 平面向量的坐标运算
向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.
(3) 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
3.平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积，记作
a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（2）数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，二．高频考点突破
考点1 平面向量的线性运算
∆中，点D是BC边上【例1】【广东省珠海市2019届高三9月摸底考试】如图，在ABC
靠近B的三等分点，则AD=（）
A ．
2133AB AC - B ．1233
AB AC + C ．2133AB AC + D ．1233AB AC -
【规律方法】向量加法：“尾首相接，首尾相连”，向量减法：“共起点，连终点，指向被减向量”.
【举一反三】【2019年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________. 考点2 向量共线的充要条件
【例2】【南充市2019届高考适应性考试（零诊）试卷】已知向量(3,4)OA =-，
(6,3)OB =-，(2,1)OC m m =+，若//AB OC ，则实数m 的值为（ ）
A ．15
B ．-3
C ．35-
D ．17
- 【规律方法】向量,(0)a b a ≠r r r r 共线的充要条件是b a λ=r r ，R λ∈，用坐标表示就是
1122(,),(,)a x y b x y ==r r 共线的充要条件是12210x y x y -=.
【举一反三】【江苏省扬州中学2019—2019学年度第一学期月考高三数学】 已知向量(12,2)a x =-,
(2,1)b =-,若b a //,则实数x =__ ___.
考点3 平面向量的数量积
【例3】【无锡市市北高中2019届高三期初考试】已知,,a b c 都是单位向量，且a b c +=，则a c ⋅的值为 ．
【规律方法】向量||||c o s ,a b a b a b ⋅=<>，若1122
(,),(,)a x y b x y ==
r r ，则112a b x y x y ⋅=-r r . 【举一反三】【扬州中学2019—2019学年高三开学检测】 已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为 .
考点4 求两向量的夹角
【例4】【广东省韶关市20914届高三摸底考试】若||2||||a b a b a =-=+，则向量a b +与a 的夹角为（ ）
A ．6π
B.3π
C.32π
D.6
5π
【规律方法】cos ,||||
a b a b a b ⋅<>=，22||a a =. 【举一反三】【江苏省南京市2019届高三9月学情调研】 已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是CD 的中点．若AEF ∠为钝角，则线段BE 长度的取值范围是 .
12x <<；
考点5 平面向量和三角函数的综合问题
【例5】【江苏省盐城市2019届高三年级第一学期期中考试】在ABC ∆中，若22()||5
CA CB AB AB +⋅=，则tan tan A B = . 【解析】 试题分析：
【规律方法】通过平面向量的坐标表示将向量问题转化为三角函数问题，或利用向量的夹角和向量数量积的定义将向量问题转化为三角函数问题.
【举一反三】【江苏省扬州中学2019—2019期中考试模拟】设向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中πβα<<<0，若|2||a b a b +=-，则βα-= .
考点6 平面向量和平面几何的综合问题
【例6】【江苏省兴化市2019~2019学年度第一学期期中考试高三】已知在ABC ∆中，3==BC AB ，4=AC ，设O 是ABC ∆的内心，若n m +=，则=n m : ．
【规律方法】平面向量本身就具有代数和几何的双重特征，与平面几何的综合问题是最自然最常见的问题，在解题过程中要抓住图形的几何特征，充分利用几何元素的几何性质解决问题.
【举一反三】【河北衡水中学2019～2019学年度上学期二调高三数学试卷】在△ABC 所在
平面上有三点P Q R 、、，满足
PA PB PC AB ++=，
QA QB QC BC ++=,RA RB RC CA ++=，则PQR ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）
A ．1:2
B ．1:3
C ．1:4
D ．1:5
【解析】
三．错混辨析
1.误把两向量数量积大于（小于）0当作两向量夹角为锐角（钝角）的充要条件
【例1】已知||2,||3a b ==，,a b 的夹角为45︒，当向量a b λ+与a b λ+的夹角为锐角时，求实数λ的取值范围.
2.忽视两向量夹角的概念导致错误
【例2】在ABC ∆中, AB =,(3,0)BC =,则角B 的大小为 .
2.忽视变量取值范围导致错误
【例3】如图在△ABC 中,∠BAC =120︒,AB =1,AC =2,D 为BC 边上一点, DC BD λ=则AD BC ⋅的取值范围为_____________.
7221
λ-→-+取最小值32，所以AD BC ⋅的取值范围为(2,5]- 一．原创预测
1.已知ABC ∆是边长为4的正三角形，,D P 是ABC ∆内部两点，且满足
1()4AD AB AC =+，18
AP AD BC =+，则APD ∆的面积为 ．
2．若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若303
aGA bGB cGC ++
=，则角A =（ ）
A 、90
B 、60
C 、45
D 、30
【解析】
由
3．已知点O 为锐角ABC ∆的外心，6AB =，10AC =，AO x AB y AC =+，且2105x y +=，则cos BAC ∠=
4.已知)2s i n ,2(),sin ,1(2x x ==，其中()0,x π∈，若a b a b ⋅=⋅，
则t a n x = . 【解析】
5．在ABC ∆中，已知9=⋅，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且||||CB y CA x CP +=xy 的最大值为 _ ．
6．如图，矩形ORTM 内放置5个大小相同的正方形，其中A 、B 、C 、D 都在矩形的边
上，若向量BD x AE y AF =+，则22x y += .。