学案7：1.1.2 弧度制

1.1.2 弧度制
【课前准备】
1．课时目标
（1）理解弧度的概念，能正确进行弧度与角度的互化；（2）熟记特殊角的弧度数；（3）熟悉在弧度制下，终边相同的角，象限角，轴上角的表示方式及其应用；（4）了解角的集合与实数集R 之间可以建立一一对应的关系；（5）掌握在弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式及应用．
2．基础预探
（1）把长度等于半径长的弧所对的________叫做1弧度的角，用符号________表示，读作________．
（2）正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．
（3）如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|=________．
（4）换算公式
1︒=________rad ≈0.01745rad ，1rad=（________）º≈57.30º=57º18′． 一般互化公式：π180︒
=________． （5）弧长公式：l =________；扇形面积公式：S =________=________．其中α为圆心角的弧度数．
【知识训练】
1．若角α终边在第二象限，则π－α所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．半径为π cm ，中心角为120o 的弧长为（ ）
A ．31πcm
B ．31π2cm
C ．32πcm
D ．3
2π2cm 3．把－4
11π表示成θ+2kπ（k ∈Z ）的形式，且使得|θ|最小的θ的值是________． 4．弧长为3π，圆心角为135º的扇形半径为 ；面积为________．
5．集合M ＝{x |x ＝k π2+π4，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k π4+π2
，k ∈Z }，则集合M 与N 的关系为________．
6．设角α1=－570º，α2=750º，β1=53π弧度，β2=－3
7π弧度. （1）将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；
（2）将β1、β2用角度制表示出来，并在－720º～0º之间找出与它们有相同终边的所有角．
【学习引领】
弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及 运算．
1．注意弧度制与角度制与对应关系
我们已经知道，圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，所以弧又与圆心角有联系：弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角与弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角之分，弧也就有正弧、零弧、负弧之分；从“数”上讲，圆心角与弧的度数都有正数、0、负数之分．这样，圆心角、弧都被赋予了方向，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反过来也对．这就是说，圆心角与弧是一一对应的．
2．注意弧度制与实数的对应关系
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系．对于角度制：说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角可以取度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的；但是对于弧度制：说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数只可以取弧度数，即每一个角都有惟一的一个实数（弧度数）与之对应．反过来，不论是角度制，还是弧度制，每一个实数（可以弧度数，也可以是度数、分数、秒数）也都有惟一的一个角与它对应．
3．注意角度制与弧度制之间的换算关系
如果圆心角所对的弧长l =2πr （即弧是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数1r ＝2πr r
＝2π，即
一个周角的角度数为360︒＝2π弧度，即180︒=π弧度，由此可得角度制与弧度制之间的换算
公式：1︒＝π180弧度≈0.0174，1弧度＝180︒π
≈57.30︒＝57︒18'． 4．注意弧度制与角度制的单位区别
弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；同时，不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．
5．注意弧度制与角度制的进位制区别
分析角度制和弧度制下度量角的方法，我们看出，在用角度制表示角的时候，人们总是十进制、六十进制，不便于计算，而在用弧度表示角的时候，人们只用十进制，所以弧度制更容易找出与角对应的实数．另外，在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单．
6．注意弧度制与角度制在同一表达式混合使用
由于有弧度制与角度制两种单位制，在表示与角时，若涉及到几项的和差形式，则要求所所
有项选用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360°－π3
（k ∈Z ）或者2k π－60°（k ∈Z ）一类的写法．
【典例导析】
题型一：有关弧度的概念问题
例1．下列各命题中，假命题是（ ）
A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B ．1度的角是周角的3601，1弧度的角是周角的12π
C ．根据弧度的定义，180º一定等于π弧度
D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径的长短有关
点评：本题主要考查了弧度了基本概念．对于概念类的题目，要从定义入手，仔细分析每一句话，并注意与概念叙述的异同点．
变式练习1：下列诸命题中，真命题是（ ）
A ．1弧度是1︒的圆心角所对的弧
B ．1弧度是长度为半径的弧
C ．1弧度是1︒的弧与1︒的角之和
D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
题型二：弧度数与角度数的相互转换问题
例2．将下列各角化成2k π+α（k ∈Z ），且0≤α<2π的形式，并指出它们是第几象限角：
（1）－1725º；（2）
364π．
点评：用弧度制表示终边相同角2k π+α（k ∈Z ）时，2k π是π的偶数倍，而不是整数倍．同时，α为弧度，不能写成2k π+（ ）º（k ∈Z ）的形式．
变式练习2：已知α＝1690º，
（1）把α写为2kπ＋β，k ∈Z ，β∈[0，2π）的形式；
（2）求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈（－4π，－2π）．
题型三：单角与相关倍数角的象限判定问题
例3．已知α是第二象限角，则
3
是第几象限角？
点评：其实，对于单角与其他倍数角的关系的快捷正确判断，都可以利用先确定单角的取值范围，再利用其他倍数角的取值情况加以分类讨论，特别要注意分类讨论时取整数k 的取值的讨论．
变式练习3：已知α是第二象限角，则
2
是第几象限角？
题型四：有关扇形的公式问题
例4．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
点评：本题考查弧长公式及扇形面积公式的运用，考查弧度制下的弧长公式和扇形面积公式及应用，考查平面几何知识在三角问题中的应用．这里我们要注意的是在使用有关的公式时，圆心角的单位必须是弧度，如果是用角度表示的，则应先换算成弧度，再代入公式．
变式练习4：一个扇形的周长等于它所在圆的周长，那么这个扇形的圆心角是多少？如果其半径等于2，那么它的面积等于多少？
【随堂练习】
1．把－1125°化成α＋2k π（0≤α＜2π，k ∈Z ）的形式是（ ）
A ．－π4 －6π
B ． 7π4 －6π
C ．－π4 －8π
D ．7π4
－8π 2．角α的终边落在区间（－3π，－52
π）内，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）
A ．4 cm 2
B ．2 cm 2
C ．4πcm 2
D ．2πcm 2
4．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是________．
5．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤（2k +1）π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于________．
6．在直径为10cm 的轮上有一长为6cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5秒钟后点P 转过的弧长．
【课后作业】
1．下列各角中与240°角终边相同的角为（ ）
A ．2π3
B ．－5π6
C ．－2π3
D ．7π6
2．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为（ ）
A ．70 cm
B ．670cm
C ．（25π-3
cm D ．35π3cm 3．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为________．
4．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从A （1，0）出发依逆时针方向等速沿圆周旋转，已知点P 在1秒内转过的角为θ（0<θ<π），经过2秒到达第三象限，经过14秒后，恰好回到A 点，则θ的值为________．
5．已知π＜α＋β＜4π3，－π＜α－β＜－π3
，求2α－β的取值范围． 6．有两种正多边形，其中一正多边形的一内角的度数与另一正多边形的一内角的弧度数之比为144：π，求适合条件的正多边形的边数．
参考答案
【课前准备】
2．基础预探
（1）圆心角 rad 弧度
（2）正数 负数 0
（3）r l （4）π180 180π
这个角的角度数这个角的弧度数 （5）αR
21lR 21αR 2； 【知识训练】
1． A
【解析】取一个特殊角α=32π，则π－α=31
π，其为第一象限角.
2． D
【解析】由于α=120o =32π，则l =αr =32
π2.
3． －3π
4 【解析】由于－411π=－2π－3π4=－4π+5π4，那么满足条件的θ的值是－3π4
. 4．4 6π
【解析】弧长l ＝3π，圆心角α＝3π4，由弧长公式l ＝α·r 得：r ＝l α＝3π3π4
＝4，面积S ＝12
lr ＝6π. 5．M ⊂
≠N
【解析】在M 中，x ＝2k ＋14π，其中2k ＋1是奇数，在N 中，x ＝k ＋24
π，其中k ＋2是整数，所以M ⊂≠N ；或用列举法：M ＝{…，－π4，π4，3π4，5π4，…}，N ＝{…，π4，π2，3π4
，π，…}，由此可知M ⊂≠N .
6．【解】（1）∵180º＝π弧度，∴－570º＝－180
570π＝－619π，∴α1=－2×2π+65π， 同理α2=2×2π+6
1π，∴α1在第二象限，α2在第一象限； （2）∵53π=5
3×180º＝108º，设θ＝k ·360º+β1（k ∈Z ），由－720º≤θ<0º， ∴－720º≤k ·360º+108º <0º，∴ k ＝－2或k ＝－1，
∴在－720º～0º间与β1有相同终边的角是－612º和－252º，
同理β2=－3
7π=－360º－60º=－420º，且在－720º～0º间与β2终边相同的角是－420º和－60º． 【典例导析】
例1：D
【解析】角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就象度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，
又长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，
∴360︒=2π rad ，∴180︒=π rad ，故选择答案：D ．
变式练习1：D
【解析】根据弧度的定义可以判断，1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.
例2：【解】（1）∵－1725º=－5×360º+75º=－10π+12
5π， ∴－1725º与125π角的终边相同，又∵12
5π是第一象限角，∴－1725º是第一象限角； （2）∵364π=20π+34π，∴364π与3
4π角的终边相同，
又∵34π是第三象限角，∴3
64π是第三象限角． 变式练习2：【解】（1）由于α的弧度数为π180×1690＝169π18，∴169π18＝8π＋25π18
， ∴α＝4×2π＋25π18（k ＝4，β＝25π18
）； （2）由（1）可知－4π＜2k π＋25π18＜－2π，k ∈Z ，得k ＝－2，θ＝－4π＋25π18＝－47π18． 例3：【解】因为α是第二象限角，所以2k π+π2
<α<2k π+π，k ∈Z ， 即2π3k +π6<3α<2π3k +π3
，k ∈Z ， 当k =3n （n ∈Z ）时，2n π+π6<3α<2n π+π3，n ∈Z ，即3
α是第一象限角； 当k =3n +1（n ∈Z ）时，2n π+5π6<3α<2n π+π，n ∈Z ，即3
α是第二象限角； 当k =3n +2（n ∈Z ）时，2n π+
3π2<3α<2n π+5π3，n ∈Z ，即3α是第四象限角； 综上所述：3
α是第一、二、四象限角． 变式练习3：【解】因为α是第二象限角，所以2k π+
π2<α<2k π+π，k ∈Z ， 即k π+π4<2α< k π+π2
，k ∈Z ， 当k =2n （n ∈Z ）时，2n π+π4<2α<2n π+π2
，n ∈Z ，即2α是第一象限角； 当k =2n +1（n ∈Z ）时，2n π+
5π4<2α<2n π+3π2，n ∈Z ，即2α是第三象限角； 综上所述：2
α是第一或第三象限角． 例4：【解】设扇形的圆心角为θ rad ，
∵扇形的弧长是rθ，∴扇形的周长是2r ＋rθ，
由题意可知2r ＋rθ＝πr ，∴θ＝π－2（弧度）≈180°－2×57°18′≈65°24′，
∴扇形的面积S =21r 2θ=2
1r 2（π－2）． 变式练习4：【解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，依题意有2r ＋rα＝2πr ，
即2＋α＝2π，所以α＝（2π－2）弧度； 如果其半径等于2，那么它的面积S ＝12r 2α＝12
×2×（2π－2）＝2π－2． 【随堂练习】
1． D
【解析】－1125°=－
180
1125π=－425π=－π4 －6π=7π4 －8π. 2． C 【解析】由于－3π=－4π+π，－52 π=－4π+2
3π，则区间（－3π，－52 π）表示的象限为第三象限，则角α所在象限是第三象限.
3． A
【解析】由于α=2，l =4，可得R =αl =2，则S =21
αR 2=4.
4．1或4
【解析】由扇形的弧长公式l ＝θ·r 和面积公式S ＝12θr 2知：2r ＋θr ＝6，12
θr 2＝2，联立后解得：θ＝1或θ＝4.
5．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
【解析】由数轴画图可知：对于集合A ：当k ＝－1或k ＝0时，有－2π≤α≤－π或0≤α≤π，从而A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}.
6．【解】∵轮子以每秒5弧度的角速度旋转，
∴P 点在以O 为圆心、半径为OP ＝4cm 的圆上以同样的角速度在旋转，5秒钟转的弧度数为5×5＝25 rad ，又r ＝4cm ，
∴l ＝∣α∣·r ＝25×4＝100（cm ）．
【课后作业】
1． C
【解析】由于240°=4π3，则与240°角终边相同的角的集合为{α|α=2k π+4π3
，k ∈Z }，当k =－1时，得α=－2π3
. 2． D
【解析】由于α=6035×2π=7π6 ，R =10，可得l =αR =35π3
. 3．22
【解析】设圆内接正方形的边长为a ，圆的半径为R ，则2R ＝2a ，则圆弧所对的圆心角为
α＝a R ＝2，故所对的圆周角为22
. 4．4π7或5π7
【解析】∵0<θ<π，又有2θ∈（2k π＋π，2k π＋3π2）（k ∈Z ），∴k ＝0，于是π2<θ<3π4
，又14θ＝2n π（n ∈Z ），∴θ＝n π7，π2<n π7<3π4，72<n <214，∴n ＝4或n ＝5，故θ＝4π7或θ＝5π7
； 5．【解】设2α－β＝A （α+β）+B （α－β）（A 、B 为待定系数），
则2α－β＝（A +B ）α+（A －B ）β，
两边比较系数得：A +B ＝2，A －B ＝－1，解之得：A ＝12，B ＝－32
， ∴2α－β＝12（α+β）－32
（α－β）， 又π2＜12（α+β）＜2π3，－3π2＜32（α－β）＜－π2，即π2＜－32（α－β）＜3π2
， ∴－π＜12（α+β）－32（α－β）＜π6，∴－π＜2α－β＜π6
． 6．【解】设符合条件的正多边形的边数分别为m 、n （m 、n ≥3，且m 、n ∈N ）， 则它们对应的正多边形的内角分别为m m ︒⋅-180)2(和n
n π)2(-rad ， 据题意：m m 180)2(-：2π(n )n
-=144：π， ∴2π(n )n
-×144=m m 180)2(-×π，∴4（1－n 2）=5（1－m 2），
4－n 8=5－m 10，m 10=1+n 8，m 10=n n 8+，10m =8+n n ，m =10（1－88+n ）=10－8
80+n ， ∵m ∈N ，∴
880+n 是自然数，n +8是80的约数，∵m ≥3，∴880+n ≤7，∴n +8≥780， 又n ≥3，且n +8是80的约数，∴n +8可取16、20、40、80，
当n +8=16时，n =8，m =5； 当n +8=20时，n =12，m =6；
当n +8=40时，n =32，m =8； 当n +8=80时，n =72，m =9；
故所求的正多边形有四组，分别是：正五边形和正八边形；正六边形和正十二边形；正八边形和正三十二边形；正九边形和正七十二边形．。