江苏决胜新高考2024届高三上学期10月大联考数学试题+答案

决胜新高考———2024届高三年级大联考
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”数学试卷注意事项：。

2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1. 已知复数z 满足z(1+3i)=2i, 则 |zz |=() AA .
√102 BB .√105 CC .√1010 DD .√10
15
2.设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(∁U A)∩B={4},(∁U A)∩(∁U B)={1,5}, 则 A. 3∉A, 且3∉B B. 3∈A, 且3∉B C. 3∉A,且3∈B D. 3∈A, 且3∈B
3. 已知不共线的两个非零向量a,b, 则“a+b 与a-b 所成角为锐角”是“|a|>|b|”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若x,y 满足x>0,y>0, xy=3x+y, 则x+3y 的最小值为 AA .10+2√6 BB .10+2√3 C. 12 D. 16
5. 函数 yy =
2sinxx xx 2+1
(xx ∈[−2,2])的图象大致为
6. 已知函数 ff (xx )=sin �ωωxx −ππ6�(ωω>0)在 �ππ
2,ππ�上单调递减， 则ω的取值范围是
AA .�0,43� BB .�43,53� CC .�0,12� DD .�5
3,1�
7. 已知 sin θθ+sin �θθ+ππ
3�=1, 则 cos �θθ−ππ
3�= A. 1
2 BB .
√33 c. 23 DD .√2
2
8. 已知 aa =3ˡⁿ³,bb =2+(ll ll 3)²,cc =3ll ll 3,则
A. a>c>b
B. c>a>b
C. a>b>c
D. b>c>a
二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得２分，有选错的得０分。

9. 已知a>b, 则
A. ln(a²+1)>ln(b²+1)
B. a³>b³ CC .1
aa <1
bb DD .�12�aa
<�12�bb
10. 已知函数f(x)=x-2sinx, 则
A. f(x)的图象关于点(π,0)对称
B. f(x)在区间 �−ππ3,ππ
3�上单调递减 C. f(x)在[0,2π]上的极大值点为 4ππ
3
D. 直线y=x+2是曲线y=f(x)的切线
11.某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻t(单位：s)时过山车(看作质点)离地
平面的高度h(单位: m)为h(t)=Asin(ωt+φ)+B, (A>0, ω>0, |φφ|<ππ
2).已知当t=4时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面50m ， 当t=10时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面 10m. 则 A. A=30 B. 6
π
ω=
C. 过山车启动时距地面 20米
D. 一个周期内过山车距离地平面高于 40m 的时间是4s 12. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x+2)+f(-x-2)=0, f(1+x)为偶函数, 则 A. f(-1-x)+f(-1+x)=0 B. f(1-x)=f(1+x) C. f(x-4)=f(x) D.f(2023)=0
三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。

13. 已知函数 ff (xx )=�
2−log 2xx ,xx ≥1xx 1
14.已知向量a=( cosα, -2), b=(1, sinα),且a⊥b,则sin2αα
2cos2αα+3=
15. 在锐角三角形ABC, AB=2, 且1tanAA+1tanBB=4tanCC ,则AB边上的中线长为 .
16. 如图，将矩形纸片 ABCD的右下角折起，使得点B落在CD边上点
B₁处,得到折痕MN. 已知AB=5cm,BC=4cm，则当tan∠BMN= 时，
折痕MN最短，其长度的最小值为 cm.(本题第一空2分，第二空3
分)
四、解答题：本题共６小题，共７0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (10分)
在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c. 已知aa=3,sin AA=√33,BB−AA=ππ2.
(1)求cosC的值;
(2)求△ABC的周长.
18. (12分)
已知函数ff(xx)=2sinωωxx cosωωxx+2√3cos2ωωxx−√3(ωω>0)的最小正周期为π。

(1)求ω的值;
(2)将函数f(x)的图象先向左平移π/6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数y=g(x)的图象. 若g(x)在区间[0,m]上有且仅有5个零点, 求m的取值范围.
19. (12分)
已知函数ff(xx)=13xx3+12(aa−1)xx2+aaxx.
(1) 若f(x)在xx=−13处取得极值，求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间(0，2)上存在极小值且不存在极大值，求实数a的取值范围.
20. (12分)
已知函数f(x)=x²-x·sinx-cosx.
(1)若曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀)处的切线与x轴平行,求该切线方程;
(2)讨论曲线y=f(x)与直线y=a的交点个数.
21. (12分)
在△ABC中, AABB=2√6,∠BB=ππ6, AD是∠BAC 的平分线.
(1)若AADD=2√2,求AC;
(2)若AACC=2√2,求AD.
22. (12分)
已知函数f(x)=lnx-ax+b(b>a>0)有两个零点x₁,x₂(x₁<x₂).
(1)若直线y=bx-a与曲线y=f(x)相切,求a+b的值;
(2) 若对任意aa>0,xx2xx1≥ee,求bb aa的取值范围.
决胜新高考——2024届高三年级大联考
数学参考答案与评分细则
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”注意事项：。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【答案】B
【简析】2i =
1+3i 5z
． 2．设全集 12345U ，，，，，若 2A B ， 4U A B ，
15U U A B ，
，则 A ．3A ，且3B B ．3A ，且3B C ．3A ，且3B D ．3A ，且3B
【答案】B
【简析】 =145U A ，，
， =23A ，， 24B ，． 3．已知不共线的两个非零向量，
a b ，则“+a b 与 a b 所成角为锐角”是“|||| a b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【简析】 133310316y x x y x y x y x y
≥．
5．函数 2
2sin 22
1x y x ，的图象大致为
A
【简析】该函数为奇函数，当 02x ，时，2
22sin 2111
x x y x x ≤． 6．已知函数π
()sin()(0)6f x x 在π
(π)2，上单调递减，则 的取值范围是 A ．403
， B ．45[33
，
C ．1(0]2
，
D ．5
[1]3
，
【答案】B
【简析】令ππ3π
2π+2π+262
k x k ≤≤，得
2π5π
2π+2π+33k k x
≤≤，
由2π
2π+π325π
2π+3πk k
≤≤
，解得4542π+33k k ≤≤，所以45
33 ≤≤．
7．已知πsin sin =3
1
，则
πcos =3
A ．
12
B ．
3
C ．
23
D ．
2
y
C ． x
y x
D ．
y
x
A ．
y
x
B ．
【答案】B
【简析】由πsin sin =13 ，得3sin =12 ，πsin 6
πcos =3
πsin 6
8．已知 2
ln332ln 33ln 3a b c ，，，则
A ．a c b
B ．c a b
C ．a b c
D ．b c a 【答案】A
【简析】因为1ln32＜＜，所以 2
ln 33ln 32ln 31ln 320b c ＜，即b c ＜， 因为 2
ln ln 3ln ln 3ln ln 3a c ，， 2
ln ln ln 3ln 3ln ln 3a c ，
设 2
ln 1f x x x x x ＞
，则 1211210x x f x x x x
＞，
所以 f x 单调递增，所以 ln 310f f ＞，所以ln ln a c ＞，即a c ＞， 综上a c b ＞＞．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9． 已知a b ，则
A ．
2
2
ln 1ln 1a b B ．33
a b C ．11
a b
D ．
1
12
2
a
b
【答案】BD
【简析】A ，C 举反例排除；B ，D 考查函数单调性． 10．已知函数()2sin f x x x ，则
【答案】BD
【简析】(π)()0f x f x ，A 错误；()12cos f x x ，当
ππ33
x ，时，()0f x ，
()f x 单调递减，B 正确；当5π
3
x
时，()f x 在 02π，
上取得极大值； 令()12cos 1f x x ，取π
2
x ，得()y f x 的切线方程为2y x ，D 正确．
11．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻t （单位：s ）时过山车（看作质
点）离地平面的高度h （单位：m ）为()sin()h t A t B ，（0A ，0 ，
时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面10 m ．则
【答案】BCD
【简析】5010A B A B ，解得2030A B
，A 正确；62T
，12T ，2ππ126 ，B 正确；
ππ
()20sin 3066
h t t ，所以(0)40h ，C 错误；令()40h t ，得
ππ1sin 662
t ，
122126k t k k Z ，，D 正确．
12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)0f x f x ，(1)f x 为偶函数，则
A ．(1)(1)0f x f x
B ．(1)(1)f x f x
C ．(4)()f x f x
D ．(2023)0f 【答案】BC
【简析】由(2)(2)0f x f x ，得()f x 为奇函数，由(1)f x 为偶函数，得()f x 的 对称轴为1x ，所以()f x 是周期函数，且周期为4（不一定是最小正周期），故 A D 错误，BC 正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】 1(2)1
2
f
f f
【简析】代入计算．
【答案】
423
【简析】由 a b ，得1tan 2 ，所以22sin22tan 4
2cos 353tan 23
． 15．在锐角三角形ABC ，2AB ，且114tan tan tan A B C
，则AB 边上的中线长为 .
【简析】由
114tan tan tan A B C ，得22232a b c ，222
2
2()24
a b c CD ，CD
16．如图，将矩形纸片ABCD 的右下角折起，使得点B 落在
CD 边上点1B 处，得到折痕MN ．已知5cm AB ，
4cm BC ，则当tan BMN
时， 折痕MN 最短，其长度的最小值为 cm ． （本题第一空2分，第二空3分）
【简析】设BMN ，MN 的长度为l ，则sin sin 24l l cos ，
244sin sin 2sin 1sin l cos ，构造函数3
()f x x x 即可．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3a ，sin 3
A
， π2
B A
． （1）求cos C 的值； （2）求ABC △的周长．
C D
B 1
N
A （第16题）
B
M
【解析】（1）在ABC △中，因为π2B A
，所以π
02
A ，
所以cos 3
A ． …… 2分 又因为2
B A
，所以
ππ
π222
C A A A
， 所以
πcos cos
2sin 22sin cos 23
C A A A A ． …… 5分 （2）由π
2B A
得，πsin sin()cos 23
B A A ，
2π1
sin sin
2cos 212sin 23
C A A A ．
…… 7分
1
333
c
，
解得b c ，
所以ABC △
的周长为3 ……10分 18．（12分）
所以
π ，1 ． …… 5分
19．（12分）
21．（12分）
在ABC △
中，AB ，6
B
，AD 是BAC 的平分线. （1
）若AD AC ；
（2
）若AC ，求AD .
【解析】（1）在ABD △
πsin 6
，
所以sin 2
ADB
， 因为(0π)ADB ，
，所以π3ADB 或
2π
3
. …… 2分 若π3ADB
，则πππ
π632
BAD ， 因为AD 是BAC 的平分线，
所以πBAC ，舍去. …… 3分 若2π3ADB
，则π2ππ
π636BAD
， 所以π3BAC
，π
2
BCA
， 1
sin 2
AC AB BAC . …… 5分 （2）在ABC △
sin 6
所以sin ACB
因为(0π)ACB ，
，所以π3ACB 或
2π
3
. …… 7分 若π3ACB
，则π
2
BAC ， 因为AD 是BAC 的平分线，
所以
BD AB DC AC ，
所以AD AB AC
，
所以
22
222348AD AB AC ，
所以 23AD . …… 10分 若2π3ACB
，则π
6
BAC ，则
由AD AC
，
得
2222312AD AB AC AC
，
所以AD …… 12分
综上， 23AD
或AD .
22．（12分）
已知函数 ln 0f x x ax b b a ＞＞有两个零点 1212x x x x ，
＜． （1）若直线y bx a 与曲线 y f x 相切，求a b 的值； （2）若对任意0a ＞，
2
1
e
x x ，求b a 的取值范围． 【解析】（1） f x 的定义域为 0 ，
， 1
f x a x
， 设切点为 000,ln x x ax b ，则切线斜率0
1
k a x
， 所以切线方程为 00001ln y a x x x ax b x
， 即001ln 1y a x x b x
， 所以00
1
ln 1a b x x b a ，，则
00
1
1ln a b x x
， …… 2分 设 1
ln 1F x x x
，则 01F x ，
211
F x x x
，令 0F x ，解得1x ， 当 01x ，
时， 0F x ， F x 在 01，上单调递减； 当 1x ，
时， 0F x ， F x 在 1 ，上单调递增， 所以 min 10F x F ，
所以01x ，
所以0
1
1a b x
． …… 5分 （2）设 1b ma m ＞
， 由 120f x f x ，得1122ln ln 0x ax ma x ax ma ，
整理得12
12ln ln 0x x a x m x m
＞， 设 ln x g x x m ，则
2
1ln m
x x g x x m
， 设 1ln m h x x x
，则 21
m h x x x
，令 0h x ，解得x m ， 当 0x m ，
时， 0h x ， h x 在 0m ，上单调递增； 当 x m ，
时， 0h x ， h x 在 m ，上单调递减， 所以 ln 0h x h m m ≤＜，
所以 0g x ＜，即 g x 在 0m ，
和 m ，均单调递减， …… 7分 因为11ln 0x a x m
＞，所以 101x ，，设21x t x ，则由题意可知，e t ≥， 所以111111ln ln ln ln x tx t x a x m tx m tx m
，整理得111ln ln 1
x x t
x m t ， 设 ln e 1t G t t t ≥，则
2
1
1ln 1t t G t t ，
设 11ln H x t t
，则 211
0H t t t
， 所以 H t 单调递减，所以 1
e 0e H t H ≤＜，即 0G t ＜，
所以 G t 单调递减，所以 1
e e 1
G t G ≤，
即111ln 1
e 1
x x x m ≤， …… 9分 由题意可知，
111ln 1
e 1
x x x m ≤对任意 101x ，恒成立， 整理得 111e 1ln x x x m ≥，
设
e 1ln 01x x x x x ，
，则 'e 1ln e 2x x ， 令 '0x ，解得2e
e 1
e
x ，
当
2e e 1
0e
x ，时， 0x ， x 在
2e
e 1
0e
，上单调递减；
当
2e e 1
e
x ，时， 0x ， x 在 m ，
上单调递增， 所以 2e 2e 2e 2e e 1e 1
e 1
e 1
min e 2e e
e
1e e
x =，
所以 2e
e 11e e
m ≥，即
2e e 1
e 1e
m ≥． …… 12分。