2020年九年级数学典型中考压轴题：圆专项训练题(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题：圆专项训练题
1、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．
2、如图，在⊙O中，AB为直径，D、E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．（1）求证：BC为⊙O的切线．（2）若sinA=，BC=6，求⊙O的半径．
3、如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE•PO．
（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．
4、如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长．
5、如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．
6、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．
7、如图，O是△AB C内一点，与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相
切于点D、E，DE∥BC。

连接DF、EG。

(1) 求证：AB=AC
(2) 已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时的半径.
8、如图，过⊙O上的两点A、B分别作切线，并交BO、AO的延长线于点C、D，连接CD，交⊙O于点E、F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为M点．
求证：（1）△ACO≌△BDO；（2）CE=DF．
9、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径为1，求EF的长．
10、如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB 为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．
11、在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．
12、如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F 两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．
（1）求⊙O的半径OA的长；
（2）计算阴影部分的面积．
13、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．
14、如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．
（1）求证：∠B=∠ACD．
（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．
（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；
（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．
15、如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．
（1）求证：∠BME=∠MAB；
（2）求证：BM2=BE•AB；
（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．
16、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．
（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；
（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．
17、如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
18、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．
①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；
②求⊙O的半径．
参考答案：
1、【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵BD是⊙O的切线，
∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，
∵E是BD中点，
∴CE=BD=BE，
∴∠BCE=∠CBE=∠A，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴∠ACO=∠BCE，
∴∠BCE+∠BCO=90°，
即∠OCE=90°，CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB===2，
∵tanA====，
∴BD=AB=，
∴CE=BD=．
2、【解答】（1）证明：∵∠A与∠E所对的弧都是，∴∠A=∠E，
又∵∠E+∠C=90°，
∴∠A+∠C=90°，
在△ABC中，∠ABC=180°﹣90°=90°，
∵AB为直径，
∴BC为⊙O的切线；
（2）解：∵sinA=，BC=6，
∴=，
即=，
解得AC=10，
由勾股定理得，AB===8，
∵AB为直径，
∴⊙O的半径是×8=4．
3、【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∵PC2=PE•PO，
∴PC：PO=PE：PC，
而∠CPE=∠OPC，
∴△PCE∽△POC，
∴∠PEC=∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，
∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP，
∴△OCE∽△OPC，
∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x，∴3x+6=9x，解得x=1，
∴OC=3，
即⊙O的半径为3．
4、【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，
∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：∵BD平分∠ABE，
∴∠1=∠2，
而∠2=∠AED，
∴∠AED=∠1，
∵∠FDE=∠EDB，
∴△DFE∽△DEB，
∴DE：DF=DB：DE，
∴DE2=DF•DB；
（3）连结DE，如图，
∵OD=OB，
∴∠2=∠ODB，
而∠1=∠2，
∴∠ODB=∠1，
∴OD∥BE，
∴△POD∽△PBE，
∴=，
∵PA=AO，
∴PA=AO=BO，
∴=，即=，
∴PD=4．
5、【解答】解：（1）连接OC．
∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，
∴∠A=∠B=∠1=∠2．
∵∠ACO=∠DCO+∠2，
∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，
又∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACO=90°，
又C在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）由题意可得△DCO是等腰三角形，
∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，
∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等边三角形．
∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，
在直角△BCD中，BC===2．又AC=BC，
∴AC=2．
作CE⊥AB于点E．
在直角△BEC中，∠B=30°，
∴CE=BC=，
=AB•CE=×6×=3．
∴S
△ABC
6、【解答】（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
∵CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，
∴•2=4CD，
∴CD=．
7、解析：
（1）证明：∵⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，
∴AD＝AE．
∴∠ADE＝∠AED．
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
（2）解：如图，连接AO，交DE 于点M，延长AO 交BC 于点N，连接OE、DG．设⊙O 的半径为r．
∵四边形DFGE 是矩形，[来源:学科网]
∴∠DFG＝90°．
∴DG 是⊙O 的直径．
∵⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC．
又OD＝OE，
∴AN 平分∠BAC．
又AB＝AC，
∴AN⊥BC，BN＝1
2
BC＝6．
在Rt△ABN 中，AN＝＝8．∵OD⊥AB，AN⊥BC，
∴∠ADO＝∠ANB＝90°．
又∠OAD＝∠BAN，
∴△AOD∽△ABN．
．
∵OD⊥AB，
∴∠GDB＝∠ANB＝90°．
又∠B＝∠B，
∴△GBD∽△ABN．
∴四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径为60 17
·
8、【解答】证明：（1）∵过⊙O上的两点A、B分别作切线，
∴∠CAO=∠DBO=90°，
在△ACO和△BDO中
∵，
∴△ACO≌△BDO（ASA）；
（2）∵△ACO≌△BDO，
∴CO=DO，
∵OM⊥CD，
∴MC=DM，EM=MF，
∴CE=DF．
9、【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，而OA=OC，
∴四边形AOCD是菱形，
∴△OAD和△OCD都是等边三角形，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∴∠FOB=60°，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
∴∠FDO=90°，
在△FDO和△FBO中
，
∴△FDO≌△FBO，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，而tan∠FOB=，
∴BF=1×tan60°=．
∵∠E=30°，
∴EF=2BF=2．
10、【解答】（1）证明：∵AE=AB，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠ABE=（180°﹣∠BAC=）=90°﹣∠BAC，
∵∠BAC=2∠CBE，
∴∠CBE=∠BAC，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣∠BAC）+∠BAC=90°，即AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴=，
∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，
∴AC==10，
∴，
解得：AD=6.4，
∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．
11、【解答】（1）证明：连接OD，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°，
则AC为圆O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∴BC=BG+GC=6+10=16，
∴△AOD∽△ABC，
∴=，即=，
解得：OA=，
∴AB=+10=，
连接EF，
∵BF为圆的直径，
∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠C=90°，
∴EF∥AC，
∴=，即=，
解得：BE=12．
12、【解答】解；（1）连接OD，
∴∠AOB=90°，
∵CD∥OB，
∴∠OCD=90°，
在RT△OCD中，∵C是AO中点，CD=，∴OD=2CO，设OC=x，
∴x2+（）2=（2x）2，
∴x=1，
∴OD=2，[来源:Z|xx|]
∴⊙O的半径为2．
（2）∵sin∠CDO==，
∴∠CDO=30°，
∵FD∥OB，
∴∠DOB=∠ODC=30°，
∴S
圆=S
△CDO
+S
扇形OBD
﹣S
扇形OCE
=×+﹣
=+．
13、【解答】解：（1）AB是⊙O切线．理由：连接DE、CF．
∵CD是直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DEC+∠ACE=180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，
∵∠DFC=90°，
∴∠FCD+∠CDF=90°，
∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AD，
∴AB是⊙O切线．
（2）∵∠CPF=∠CPA，PCF=∠PA C，∴△PCF∽△PAC，
∴=，
∴PC2=PF•PA，设PF=a．则PC=2a，∴4a2=a（a+5），
∴a=，
∴PC=2a=．
14、【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，
即∠ACD=∠OCB，
又∵点O是AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠ACD=∠B，
（2）（i）∵B C2=AB•BE，
∴=，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴tan∠ACD=tan∠B=，
设BE=4x，CE=3x，
由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，
∴（4x）2+（3x）2=100，
∴解得x=2，
∴CE=6；
（ii）过点A作AF⊥CD于点F，
∵∠CEB=90°，
∴∠B+∠ECB=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠ACE，
∴CA平分∠DCE，
∵AF⊥CE，AE⊥CE，
∴AF=AE，
∴直线CD与⊙A相切．
15、【解答】解：（1）如图，连接OM，∵直线CD切⊙O于点M，
∴∠OMD=90°，
∴∠BME+∠OMB=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°．
∴∠AMO+∠OMB=90°，
∴∠BME=∠AMO，
∵OA=OM，
∴∠MAB=∠AMO，
∴∠BME=∠MAB；
（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，
∵BE⊥CD，
∴∠BEM=∠AMB=90°，
∴△BME∽△BAM，
∴，[来源:学科网]
∴BM2=BE•AB；
（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，
∵sin∠BAM=，
∴sin∠BME=，
在Rt△BEM中，BE=，
∴sin∠BME==，
∴BM=6，
在Rt△ABM中，sin∠BAM=，
∴sin∠BAM==，
∴AB=BM=10，
根据勾股定理得，AM=8．
16、【解答】（1）解：连接OE，设圆O半径为人，在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，
根据勾股定理得：AB==12，
∵BC与圆O相切，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB=∠BAC=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BOE∽△BCA，
∴=，即=，
解得：r=；
（2）∵=，∠F=2∠B，
∴∠AOE=2∠F=4∠B，
∵∠AOE=∠OEB+∠B，
∴∠B=30°，∠F=60°，
∵EF⊥AD，
∴∠EMB=∠CAB=90°，
∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，
∴CB∥AF，
∴四边形ACEF为平行四边形，
∵∠CAB=90°，OA为半径，
∴CA为圆O的切线，
∵BC为圆O的切线，
∴CA=CE，
∴平行四边形ACEF为菱形．[来源:学|科|网]
17、【解答】解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；
（2）在Rt△AED中，
∵∠D=30°，AE=6，
∴AD=2AE=12，
在Rt
△OCD
中，∵∠D=30°，
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，
∴CD===4，
∴S
△OCD
===8，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°，
∴S
扇形OBC
=×π×OC2=，
∵S
阴影=S
△COD
﹣S
扇形OBC
∴S
阴影
=8﹣，
∴阴影部分的面积为8﹣．
18、【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB．
（2）①DF=DH，理由如下：
∵FH平分∠AFE，
∴∠AFH=∠EFH，
又∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA，即∠DFH=∠DHF，
∴DF=DH．
②设HG=x，则DH=DF=1+x，
∵OH⊥AD，
∴AD=2DH=2（1+x），
∵∠DFG=∠DAF，∠FDG=∠FDG，∴△DFG∽△DAF，
∴，
∴，
∴x=1，
∵DF=2，AD=4，
∵AF为直径，
∴∠ADF=90°，
∴AF=
∴⊙O的半径为．。