课件2：8.1.2 向量数量积的运算律

【答案】B
2.设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b 等于（ ）
A.1
B.2
C.3
D.5
【解析】∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
【答案】A
3.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a
解：A→E·B→D＝A→D＋12A→B·(A→D－A→B) ＝A→D2－12A→B2－12A→B·A→D ＝1－12×4－12×2×1×12＝－32.
探究二 求向量的模和夹角 例2.已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，则|3a＋b|＝____. 【解析】∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2 ＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b ＝25 ，∴a·b＝25. ∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋ 25＝400，故|3a＋b|＝20. 【答案】20
－b的夹角为______.
【解析】|a－b|＝ a－b2＝ a2＋b2－2a·b＝ 3，
设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝a|a·||aa－－bb| ＝22×2－13＝ 23，
又 θ∈[0，π]，所以 θ＝π6.
【答案】π6
4.已知向量a·b满足|a|＝3，|b|＝4，且|a＋b|＝|a－b|， 则|2a－3b|＝______. 【解析】∵|a＋b|＝|a－b|， ∴(a＋b)2＝(a－b)2，∴|2a－3b|＝ 2a－3b2 得a·b＝0，＝ 4a2－12a·b＋9b2＝ 4×9＋9×16＝6 5.
3 2.
又0°≤〈a，a－b〉≤180°， ∴〈a，a－b〉＝30°， 即a与a－b的夹角为30°.
探究三 与垂直有关的问题 例3.已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－ b)，求向量a与b夹角的大小.
解：设a与b的夹角为θ， 由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2 ＝3＋10cos θ－8＝0，
2.向量数量积的运算性质
多项式乘法 (a＋b)2＝a2＋2ab
＋b2 (a－b)2＝a2－2ab
＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2
－b2
向量数量积 _(_a_＋__b_)2_＝__a_2_＋__2_a_·b_＋__b_2_ _(_a_－__b_)_2＝__a_2_－__2_a_·_b_＋__b_2 _(_a_＋__b_)_·(_a_－__b_)_＝__a_2－__b_2_
思感悟
(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ a2 ，
勿忘记开方.
(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos
θ＝
a·b 求出夹角 |a||b|
的余弦值，再求角.注意向量夹角的范围是[0，π].
跟踪训练2.已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，求a 与a－b的夹角.
当堂检测
1.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b
＝－3e1＋4e2，则a·b等于（ ）
A.－2
B.－1
C.1
D.2
【解析】因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， 所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2 ＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
8.1.2 向量数量积的运算律
学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式. 2.会利用向量的数量积证明垂直、求向量的夹角、模(长度) 等.
知识梳理 知识点 向量数量积的运算律 1.向量数量积的运算律 (1)a·b＝ b·a (交换律). (2)(λa)·b＝_λ_(_a_·b_)_＝ a·(λb)(数乘结合律). (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c (分配律).
解：|a|＝|b|＝|a＋b|， ∴a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，∴a2＝b2＝－2a·b，
∴a·(a－b)＝a2－a·b＝a2－－12a2＝32a2. |a－b|＝ a－b2＝ a2－2a·b＋b2＝ 3a2＝ 3|a|，
∴cos〈a，a－b〉＝|aa·|·|aa－－bb|＝|a|·32a32 |a|＝
D.－94
【所解以析m】·n由＝题14|意n|2知＝，14nc2o，s〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝34m|n·n|2＝13，
因为n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝0， 所以tm·n＋n2＝0，即14tn2＋n2＝0，所以 t＝－4. 【答案】-4
课堂小结 1.知识清单： (1)向量数量积的运算律. (2)利用向量数量积证明垂直、求夹角、模. 2.方法归纳：数形结合，转化与化归. 3.常见误区：忽视向量数量积不满足结合律.
【答案】6 5.

思考 若a·b＝b·c(b≠0)，是否可以得出结论a＝c?
答案 不可以. 理由如下： 如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|， b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|. 所以a·b＝b·c，但是a≠c.
题型探究 探究一 求两向量的数量积 例1.已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°， 求(2a＋3b)·(3a－2b). 解：(2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72＝－268.
所以 cos θ＝12，
又0°≤θ≤180°， 所以θ＝60°， 即a与b的夹角为60°.
反思感悟 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0.
跟踪训练 3.已知非零向量 m，n 满足 4|m|＝3|n|，cos〈m，
n〉＝13，若 n⊥(t m＋n)，则实数 t 的值为（ ）
A.4
B.－4
9 C.4
反思感悟 求两向量的数量积的两种常见题型 (1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照 向量运算律展开即可求解. (2)在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好基底， 用基底表示所求向量，再进行基底之间的运算即可求解.
跟踪训练 1.在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1， ∠BAD＝60°，E 是 CD 的中点，求A→E·B→D的值.