高考数学理一轮复习 选考3-2 柯西不等式精品课件 新人教A版
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可能性.
[例 4]
1 (2010· 全国Ⅰ)已知数列{an}中,a1=1,an+1=c-a .
n
5 1 (1)设 c=2,bn= ,求数列{bn}的通项公式; an-2 (2)求使不等式 an<an+1<3 成立的 c 的取值范围.
an-2 5 1 1 2an 4 [解] (1)an+1-2=2-a -2= 2a , = = +2, an+1-2 an-2 an-2 n n 即 bn+1=4bn+2. 2 2 bn+1+3=4(bn+3),又 a1=1,
1 . x , y∈R , 且 x2 + y2 = 10 , 则 2x - y 的 取 值 范 围 为
________.
解析:(x2+y2)[22+(-1)2]≥(2x-y)2, ∴-5 2≤2x-y≤5 2.
答案:[-5 2,5 2]
2.若实数x,y,z满足x+2y+3z=a(a为常数),则x2+y2+z2
满足 b1<b2<…<bn,因为 b1,b2,…,bn 是互不相同的正整数,故 b1≥1, b2≥2,…,bn≥n. 1 1 1 又因为 1> 2> 2>…> 2, 2 3 n a2 a3 an b2 b3 bn 故由排序不等式,得 a1 + 2 + 2 + … + 2 ≥b1 + 2 + 2 + … + 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ≥1×1+2×22+3×32+…+n×n2=1+2+3+…+n. [思维拓展] 应用排序原理证明不等式的关键是找出两组有序
数组,通常可以从函数单调性去寻找.
bc ca ab 即时训练 设 a、b、c 都是正数,求证: + + ≥a+b+c. a b c
证明:不妨设 a≥b≥c>0, 1 1 1 ∴ab≥ac≥bc,c≥b≥a. 1 1 1 1 1 1 由排序原理,知 ab×c +ac×b+bc×a≥ab×b+ac×a+bc×c , ab ac bc 即 c + b + a ≥a+b+c.
热点之三
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明时,关键是利用 n = k的假设,且要注意 两边的项数,用数学归纳法证明等式 ( 或不等式 ) 是高考考查的热 点.
[例 3]
1 1 1 1 设 n>1(n∈N),证明:n+ + +…+n2>1. n+1 n+2
1 1 1 13 [课堂记录] (1)当 n=2 时,左边=2+3+4=12>1. ∴n=2 时不等式成立. (2)假设 n=k(k≥2,且 k∈N)时不等式成立,即 1 1 1 1 k +k+1+k+2+…+k2>1.
1 1 1+ + +…+ 2 3 k+k+1+1 < =2 k+1, k+1
∴当 n=k+1 时,不等式成立, 综合(1)(2),得当 n∈N*时, 1+ 1 1 1 + +…+ <2 n成立. 2 3 n
方法二:另从 k 到 k+1 时的证明还有下列证法: ∵2(k + 1) - 1 - 2 kk+1 = k - 2 kk+1 + (k + 1) = ( k - k+1)2>0, ∴2 kk+1+1<2(k+1).∵ k+1>0,
第二节 柯西不等式与排序不等式、 数学归纳法证明不等式
1.了解柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意 义,并会证明. 2.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般形式. 3.会用向量递归方法讨论排序不等式 4.会用数学归纳法证明贝努利不等式. 5.会用上述不等式证明一些简单问题.
1.柯西不等式
定理1 :(二维形式的柯西不等式)若a ,b ,c,d∈R,则(a2 + b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2 ,当且仅当ad=bc时,等号成立. 定理2:(柯西不等式的向量形式)设α,β是两个向量,则 |α·β|≤
6 x=25, 3x+4y=2, 解方程组x y 得 8 = , y= . 3 4 25 6 8 4 因此当 x= ,y= 时,x2+y2 取得最小值,最小值为 . 25 25 25
[思维拓展] 利用柯西不等式求最值,实质上就是利用柯西不
等式进行放缩,放缩不当则等号可能不成立,因此不能忘记检验
的最小值为________.
解析:∵(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=a2,
2 a 即 14(x2+y2+z2)≥a2,∴x2+y2+z2≥14.
a2 答案: 14
3.已知x2+4y2+kz2=36(其中k>0),且t=x+y+z的最大值是
7,则k=________.
2 2 2
12 1 2 解析:由柯西不等式[x +(2y) +( kz) ]· [1+( ) +( ) ]≥(x+y+ 2 k z)2,因 t=x+y+z 的最大值是 7,且 x2+4y2+kz2=36,所以 k=9.
答案:9
4 .设 x , y∈R ,已知 x2 + y2 = 52 ,则 2x + 3y 的取值范围为
存在一个数k,使得ai=kbi(i=1 ( 排 序 不 等 式 , 又 称 排 序 定 理 ) 设 a1≤a2≤…≤an ,
b1≤b2≤…≤bn 为两组实数, c1 , c2 ,…, cn 是 b1 , b2 ,…, bn 的任一
排列,那么
a1bn+a2bn-1+…+anb1 ≤ a c + a c + … + a c ≤ 1 1 2 2 n n
2 2 2 2
c)2,∵a+b+c=2 5, 5 2 2 2 2 ∴(a +2b +c )· ≥ (2 5) , ∴ a + 2 b + c ≥8, 2
2 2 2
a 2b c 4 5 当且仅当1= =1,即 a=2b=c= 5 时, 2 2 a2+2b2+c2 取最小值 8.
答案:8
热点之一
柯西不等式的应用
(2009· 山 东 ) 等 比 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn. 已 知 对 任 意 的 n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图 象上.
(1)求r的值;
等号成立的条件.
1 1 1 即时训练 已知 a、b、c∈R+,且 a+b+c=1,求证: + + ≥9. a b c
1 1 1 1 1 1 证明: + + =(a+b+c)( + + ) a b c a b c = [( a ) + ( b ) + ( c ) ]×[( + b× 1 b+ c× 12 c)
1 1 1 1 那么 n=k+1 时, + + +…+ + k+1 k+1+1 k+1+2 k+12-1 1 1 1 1 1 1 1 1 =( k+ + + … + k2 ) + ( 2 + +…+ 2 )+ k+12 k+1 k+2 k +1 k2+2 k +2k 1 1 2k 1 1 2 1 1 1 - >1 + 2 + - =1+ + - - >1 k+12 k k +2k k+1k+2 k k+2 k+1 k+2 k k-2 2 1 + - =1+ >1 (∵k>2). k+2 k kk+2 ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)、(2)可知,对一切 n≥2,且 n∈R,此不等式都成立.
1 1 1 即时训练 证明不等式 1+ + +…+ <2 n(n∈N*). 2 3 n
证明:方法一:(1)当 n=1 时,不等式左端等于 1,右端等于 2, 所以不等式成立. (2)假设 n=k(k≥1)时,不等式成立, 即 1+ 1 1 1 + +……+ >2 k则当 n=k+1 时, 2 3 k 1 <2 k+1 k+ 2 kk+1+1 1 = k+1 k+1
∴2 k+
1 <2 k+1. k +1 2 2 1 > = , k+1+ k k+1+ k+1 k+1
又如:∵2 k+1-2 k= 1 ∴2 k+ <2 k+1. k +1
本部分内容主要以数学归纳法为主,常与数列、函数、不等 式相结合,为高考的重点、热点,而排序不等式和柯西不等式为 新课标中新增内容,在高考中还未出现过,但不排除以后考查的
,当且仅当 a1 = a2 =…= an 或 b1 = b2
a1b1+a2b2+…+anbn
=…=bn时,反序和等于顺序和.
3.数学归纳法 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成 立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当n= n0 时命题成立; (2)假设当n= k (k∈N* , 且 k≥n0) 时 命 题 成 立 , 证 明 n = k+1 时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对不小于 n0 的所有 正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
|α||β|
,当且仅当 β 是零向量,或存在实数 k ,使 α
=kβ时,等号成立.
定理 3: (二维形式的三角不等式)设 x1, y 1, x2, y2∈R, 那么 x12+y12 + x22+y22≥ x1-x22+y1-y22
定理 4.( 一般形式的柯西不等式 ) 设 a1 , a2 , a3 ,…, an , b1 , b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥ (a1b1+a2b2+…+anbn)2 ,当且仅当 bi = 0(i = 1,2 ,…, n) 或
则当 n=k+1 时, 1 ak+2=c- >c-a =ak+1. ak+1 k 故由(ⅰ)(ⅱ)知当 c>2 时,an<an+1. c+ c2-4 当 c>2 时,令 α= , 2 1 1 由 an+a <an+1+a =c 得 an<α. n n 10 当 2<c≤ 时,an<α≤3. 3 1
________.
解析:(x2+y2)(22+32)≥(2x+3y)2,
∴-26≤2x+3y≤26.
答案:[-26,26]
5.已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=2 5,则 a2+2b2+c2 的最小值 为________.
22 解析:由柯西不等式,得:(a +2b +c )[1 +( ) +12]≥(a+b+ 2
2 2 2
12 a) +(
12 b ) +(
12 c ) ]≥ ( a ×
1 a
=(1+1+1)2=9.
热点之二
排序不等式的应用
在利用排序不等式证明有关问题时,必须构造出两个合适 的有序数组,排序不等式的应用是考查的重点.
[例 2]
设 a1,a2,…,an 是几个互不相同的正整数,求证:
1 1 1 a2 a3 an 1+2+3+…+n≤a1+22+32+…+n2.
1 故 b1= =-1, a1-2 2 1 所以{bn+3}是首项为-3,公比为 4 的等比数列,
n-1 4 2 1 2 n-1 bn+3=-3×4 ,bn=- 3 -3.
(2)a1=1,a2=c-1,由 a2>a1 得 c>2. 用数学归纳法证明:当 c>2 时,an<an+1. 1 (ⅰ)当 n=1 时,a2=c- >a1,命题成立; a1 (ⅱ)设当 n=k 时,ak<ak+1,命题成立;
柯西不等式是非常重要的不等式,灵活巧妙地运用它,可 以使一些较困难的问题迎刃而解.
[例1]
若3x+4y=2,试求x2+y2的最小值.
[课堂记录] 由柯西不等式(32+42)(x2+y2)≥(3x+4y)2,得 25(x2+ y2)≥4, 4 所以 x +y ≥25.①
2 2
x y 不等式①中当且仅当 = 时等号成立,x2+y2 取得最小值, 3 4
10 当 c> 3 时,α>3,且 1≤an<α,于是 1 1 α-an+1=a α(α-an)≤3(α-an), n 1 α-an+1≤3n(α-1). α-1 当 n>log3 时, α-3 10 α-an+1<α-3,an+1>3.因此 c> 不符合要求. 3 10 所以 c 的取值范围是(2, 3 ].
[思路探究] a1,a2,…,an 是 n 个互不相同的正整数,因此它们 可以从小到大地排序,观察问题中的式子,可以猜想到与 a1,a2,…, 1 1 1 an 对应的另一列数是 1,22,32,…,n2,由此联想到用排序不等式证 明.
[课堂记录] 设 b1,b2,…,bn 是 a1,a2,…,an 的一个排列,且