《简单的三角恒等变换》三角函数简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换xx年xx月xx日
•三角函数基本概念
•三角恒等变换的基本法则
•三角恒等变换的应用目录
•常见三角恒等变换技巧
•三角恒等变换的注意事项
•练习题与解答
01
三角函数基本概念
$\sin x = \frac{y}{r}$
正弦函数
$\cos x = \frac{x}{r}$
余弦函数
$\tan x = \frac{y}{x}$
正切函数
三角函数的定义
周期性
$2k\pi, k\in Z$
振幅
$|\sin x| \leq 1, |\cos x| \leq 1$
相位
$\sin(x+2k\pi) = \sin x$；$\cos(x+2k\pi) = \cos x$；$\tan(x+k\pi) = \tan x$
正弦函数$y=|\sin x|$，波动曲线
余弦函数
$y=|\cos x|$，波动曲线
正切函数
$y=\tan x$，曲线不连续，无界
010203
02
三角恒等变换的基本法则
和差角公式
公式二
$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
应用
用于解决角度和的问题，如求两角和的正弦、余弦等。

公式一
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
$\sin x\cos
y=\frac{1}{2}(\sin(x+y)+\sin
(x-y))$
积化和差公式
公式一
$\cos x\sin
y=\frac{1}{2}(\sin(x+y)-\sin(x-y))$
公式二
用于将两角和的正弦与余弦变换成和差角的形式，方便后续计算。

应用
公式一
$\sin\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\s qrt{2}}(\cos x+1)^{1/2}$
公式二
$\cos\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\
sqrt{2}}(\cos x-1)^{1/2}$
应用
用于计算半角的角度，适用于解
三角形等问题。

半角公式
03
三角恒等变换的应用
利用三角函数解直角三角形，得到直角三角形的三个边长。

解直角三角形
利用三角函数和反三角函数，解出非直角三角形的三个边长。

解非直角三角形
解三角形
利用表格求值
通过查表或使用计算器，求出给定角度的三角函数值。

利用公式求值
根据给定角度和任意角公式，求出任意角度的三角函数值。

求三角函数的值
证明三角恒等式
利用三角函数定义证明
根据三角函数的定义，证明两个三角函数值相等。

利用三角恒等式证明
利用已知的三角恒等式，证明其他的恒等式。

04
常见三角恒等变换技巧
总结词
把切线转化为弦是三角恒等变换中常见的技巧之一。

详细描述
切化弦是将一个切线的分式转化为两个正弦或余弦的差或和的公式。

在三角恒等变换中，常常需要将切线或切线方程转化为弦，以便进一步使用三角恒等式进行简化或变形。

切化弦
弦化切
总结词
把弦转化为切线是三角恒等变换中另一个常见的技巧。

详细描述
弦化切是将两个正弦或余弦的差或和的公式转化为切线的分式的公式。

这种转化可以帮助我们利用切线的性质，将复杂的问题简单化。

常数“1”的代换
总结词
常数“1”的代换是一种利用代入法将复杂问题简单化的技巧。

详细描述
在三角恒等变换中，有时我们会遇到一些分式或方程，如果直接处理比较复杂，这时我们可以将某个常数（如1）代入到分式或方程中，以简化计算。

这种技巧在解决一些复杂的三角恒等变换问题时非常有效。

05
三角恒等变换的注意事项
确定符号
在三角恒等变换中，应注意各角度之间的差值和和值的符号，以确保变换的正确性。

符号的规律
两个角度之和或差的正负号可以预先确定，而两个角度之和或差的角度范围也可以通过分析确定。

符号问题
注意角度的范围
在三角恒等变换中，应注意角度的范围，不同范围的角度对应的变换式不同。

缩小角度范围在变换过程中，应尽可能缩小角度的范围，以方便计算和推导。

角度的范围
项数的选择
确定变换式
在三角恒等变换中，应根据所需证明的结论来确定所需要的变换式。

选择合适的变换式
在选择变换式时，应尽可能选择能够使变换过程简单、易行的变换式，以达到快速求解的目的。

06练习题与解答
设$\theta$为直角三角形的一个锐角，$\angle B = 60^{\circ}$，$a = 10$，求$b$和$c$（请使用三角恒等变换）
设$\angle B = 45^{\circ}$，$a = 10\sqrt{2}$，求$b$和$c$（请使用三角恒等变换）设$\angle C = 60^{\circ}$。

$c = 20$。

$S_{\bigtriangleup ABC} = 50\sqrt{3}$
设$\angle C = 30^{\circ}$，$c = 10$，$b = 5$，求$a$和$\angle A$（请使用三角恒等变换）
练习题
$b = \frac{1}{2}c =
\frac{1}{2}\sqrt{3} \times 10 = 5\sqrt{3}$解答
因为$\angle C = 30^{\circ}$。

所以$2b = a = 2 \times 10 = 20$因为$\angle B = 45^{\circ}$因为$\angle C = 60^{\circ}$
THANKS
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