2019届高三数学(文科)二轮复习教案：第一篇 专题二 第2讲导数的简单应用Word版含答案

第2讲导数的简单应用
(对应学生用书第10~11页)
1.(2018·全国Ⅰ卷,文6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(D)
(A)y=-2x (B)y=-x (C)y=2x (D)y=x
解析:法一因为f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,
故f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,f'(0)=1,
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
故选D.
法二因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,
所以f'(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,
所以a=1,即f'(x)=3x2+1,
所以f'(0)=1,
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
故选D.
2.(2016·全国Ⅰ卷,文9)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为(D)
解析:因为f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,
又f(2)=8-e2∈(0,1),故排除A,B.
设g(x)=2x2-e x,则g'(x)=4x-e x.
又g'(0)<0,g'(2)>0,
所以g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,
所以g(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.
3.(2018·全国Ⅱ卷,文13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.
解析:因为y'=,y'x=1=2,
所以切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.
答案:y=2x-2
4.(2017·全国Ⅰ卷,文14)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.
解析:f(x)=x2+,f(1)=2.
f'(x)=2x-,f'(1)=1.
所以y=x2+在(1,2)处的切线方程为
y-f(1)=f'(1)(x-1),
y-2=x-1,即x-y+1=0.
答案:x-y+1=0
5.(2015·全国Ⅱ卷,文16)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.
解析:法一因为y'=1+,
所以y'|x=1=2,
所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为
y-1=2(x-1),
所以y=2x-1.
又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,
当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a≠0,
由
得ax2+ax+2=0,
因为Δ=a2-8a=0,
所以a=8.
法二因为y'=1+,
所以y'|x=1=2,
所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),
所以y=2x-1,
又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,
当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a≠0.
因为y'=2ax+(a+2),
所以令2ax+a+2=2,得x=-,
代入y=2x-1,得y=-2,
所以点-,-2在y=ax2+(a+2)x+1的图象上,
故-2=a×-2+(a+2)×-+1,
所以a=8.
答案:8
6.(2017·全国Ⅲ卷,文21)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.
(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=.若a≥0,因为x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a<0,因为x∈0,-时,f'(x)>0,
当x∈-,+∞时,f'(x)<0,
故f(x)在0,-上单调递增,在-,+∞上单调递减.
(2)证明:由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f-=ln--1-,
所以f(x)≤--2等价于
ln--1-≤--2,
即ln-++1≤0,
设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=-1.
当x∈(0,1)时,g'(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0,所以当x>0时,g(x)≤0,从而当a<0时,ln-++1≤0,即f(x)≤--2.
7.(2015·全国Ⅱ卷,文21)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.
若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.
若a>0,则当x∈0,时,f'(x)>0;
当x∈,+∞时,f'(x)<0.
所以f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln +a1-=-ln a+a-1.
因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.
令g(a)=ln a+a-1,
则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.
于是,当0<a<1时,g(a)<0;
当a>1时,g(a)>0.
因此,a的取值范围是(0,1).
1.考查角度
(1)考查导数的几何意义的应用,包括求曲线的切线方程、根据切线方程求参数值等;(2)考查导数在研究函数性质中的应用,包括利用导数研究函数性质判断函数图象、利用导数求函数的极值和最值、利用导数研究不等式与方程等.
2.题型及难易度
选择题、填空题、解答题均有,其中导数几何意义的应用为中等难度偏下,其他问题均属于较难的试题.
(对应学生用书第11~13页)
导数的几何意义
【例1】(1)(2018·山东日照校际联考)已知f(x)=e x(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+2,直线l是f(x)与g(x) 的公切线,则直线l的方程为()
(A)y=x或y=x-1
(B)y=-ex或y=-x-1
(C)y=ex或y=x+1
(D)y=-x或y=-x+1
(2)(2018·河南南阳一中三模)经过原点(0,0)作函数f(x)=x3+3x2图象的切线,则切线方程为;
(3)(2018·黑龙江省哈尔滨九中二模)设函数f(x)=(x-a)2+(ln x2-2a)2.其中x>0,a∈R,存在x0使得f(x0)≤成立,则实数a的值为.
解析:(1)设切点分别为(x1,),(x2,ln x2+2),
因为f'(x)=e x,g'(x)=,
所以==,
所以=,
所以(x2-1)(ln x2+1)=0,
所以x2=1或x2=,
因此直线l的方程为
y-2=1·(x-1)或y-1=e·x-,
即y=ex或y=x+1.故选C.
(2)因为f'(x)=3x2+6x.
设切点为P(x0,y0),切线斜率为k,。