2020-2021学年高一上学期期末数学复习卷 (5)(含答案解析)

2020-2021学年高一上学期期末数学复习卷 (5)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知全集U =A ∪B 中有m 个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元
素个数为( )
A. mn
B. m +n
C. n −m
D. m −n
2. 若函数f(x)={(1
4)x ,x ∈[−1,0)
4x ,x ∈[0,1]
，则f(log 43)=( )
A. 1
3
B. 1
4
C. 3
D. 4
3. 已知tan(α+β) =3
5，tan(β−π
4)=1
4，那么tan(α+π
4)为( )
A. 13
18
B. 13
23
C. 7
23
D. 3
18
4. 若cos165°=a ，则tan195°=( )
A. √1−a 2
B. −√1−a 2
a
C. √1−a 2
a
D. √1+a 2
a
5. 已知|a ⃗ |=6，|b ⃗ |=3，a ⃗ ⋅b ⃗ =−12，则向量a ⃗ 在向量b ⃗ 方向上的投影是( )
A. 2
B. −2
C. 4
D. −4
6. 已知tan (π−θ)=3，则
sin(π
2+θ)−cos (π−θ)
sin(π
2
−θ)−sin (π−θ)
=( )
A. −1
B. −1
2
C. 1
D. 1
2
7. 定义在R 上的偶函数y =f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(1)=0，则满足f(log 12
x)<0的x 的取值范围是 ( )
A. B. (1
2,1)∪(1,2) C.
D.
8. 平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知((DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 的形状是
A. 直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形
D. 无法确定
9. 函数y =2x −x 2的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
10. 要得到函数y =cos(2x +1)的图象，只要将函数y =cos2x 的图象( )
A. 向左平移1个单位
B. 向右平移1个单位
C. 向左平移1
2个单位
D. 向右平移1
2个单位
11. 若θ是第三象限角，且cos θ2
>0，则θ2
是 ( )
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
12. 已知不等式mx 2−mx −1<0，若对任意x ∈[1,3]不等式恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A. {m|m ≤1
6}
B. {m|m >1
6}
C. {m|m ≥1
6}
D. {m|m <1
6}
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设函数f(x)=(x +sinx)(e x +ae −x )(x ∈R)是偶函数，则实数a = ______ ． 14. 已知等边△ABC 的边长为2，若点D 满足AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =________． 15. 若函数y =2−|x|−m 的图像与x 轴有交点，则m 的取值范围是______. 16. 若函数f(x)=
x−1x
，则方程f(4x)=x 的根是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1)的图象过点(4,2)．
(1)求a 的值；
(2)若函数g (x )=f (1−x )+f (1+x )，求函数g (x )的定义域．
18.已知tanα=1
2,α∈(0,π
2
)
(1)求sinα的值；
(2)求cos(2α−π
6
)的值．
19.已知函数f(x)=cosxsin(x+π
3)−√3cos2x+√3
4
．
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)设g(x)=2af(x)+b，若g(x)在[−π
4,π
4
]上的值域为[2,4]，求a，b的值．
20.某地区的农产品A第x天(1≤x≤20,x∈N∗)的销售价格p=50−|x−6|(元/百斤)，一农户在
第x天(1≤x≤20,x∈N∗)农产品A的销售量q=a+|x−8|(百斤)(a为常数)，且该农户在第7天销售农产品A的销售收入为2009元．
(1)求该农户在第10天销售农产品A的销售收入是多少？
(2)这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？
)的图象如图所示．
21.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π
2
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的单调增区间；
]上有解，求实数a的取值范围；
(3)若方程f(x)=a在x∈[0,π
2
22.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)=2x−1
.(1)求f(x)在(−1,1)上的解析式；
2x+1
(2)当m取何值时，方程f(x)=m在(0,1)上有解
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
本题考查集合运算，集合中元素个数问题．
要求A ∩B 的元素个数，可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图，根据图来分析． 解：∵(∁U A)∪(∁U B)中有n 个元素，如图阴影部分所示，
又∵U =A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m −n 个元素． 故选D ．
2.答案：C
解析：
本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题．
先判断log 43的范围，0<log 43<1，故代入x ∈[0,1]时的解析式，转化为对数恒等式形式． 解：∵0<log 43<1， ∴f(log 43)=4log 43=3， 故选C ．
3.答案：C
解析：
本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．由条件利用两角差的正切公式，求得tan(α+π
4)的值．
解：∵tan(α+β)=35，tan(β−π4)=1
4， ∴tan(α+π
4)=tan[(α+β)−(β−π
4)]=
tan(α+β)−tan(β−π
4)
1+tan(α+β)tan(β−π
4
)
=
35−141+35×14
=7
23．
4.答案：B
解析：解：∵cos165°=cos(180°−15°)=−cos15°=a，∴cos15°=−a，
∴sin15°=√1−cos215°=√1−a2，
∴tan15°=sin15°
cos15°=−√1−a2
a
，
∴tan195°=tan(180°+15°)=tan15°=−√1−a2
a
．
故选：B．
利用诱导公式可求得cos15°=−a，再利用同角三角函数间的关系可求得sin15°与tan15°的值，再利用诱导公式可得tan195°的值．
本题考查三角函数的化简求值，着重考查诱导公式与同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．5.答案：D
解析：解：向量a⃗在向量b⃗ 方向上的投影为：
|a⃗|cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗
|b⃗|=−12
3
=−4
故选：D
向量a⃗在向量b⃗ 方向上的投影为|a⃗|cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗
|b⃗|
，代入数值计算即可．
本题考查向量投影的求法，属基础题．
6.答案：D
解析：
本题主要考查三角函数的化简求值，诱导公式与同角三角函数基本关系式的应用。

由已知求得tanθ，再利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切即可求解。

解：由tan(π−θ)=3，得−tanθ=3，即tanθ=−3，
则sin(π
2
+θ)−cos(π−θ)
sin(π
2
−θ)−sin(π−θ)
=cosθ+cosθ
cosθ−sinθ
=2cosθ
cosθ−sinθ
=2
1−tanθ
=1
2
．
故选D．
解析：
本题考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
因为偶函数y =f(x)在[0,+∞)上单调递减，由偶函数性质可得，y =f(x)在(−∞,0)上递增，因为f(1)=f(−1)=0，所以当f(log 12x)<0时，log 12x >1或log 12x <−1，即可求出x 的取值范围． 解：因为偶函数y =f(x)在[0,+∞)上单调递减， 由偶函数性质可得，y =f(x)在(−∞,0)上递增， 因为f(1)=f(−1)=0，
所以当f(log 1
2x)<0时，log 12x >1或log 12x <−1， 解得
．
故选A ．
8.答案：C
解析：
本题主要考查了向量的加法、减法的三角形法则的应用，向量数量积的运算，属于对基础知识的考查，试题难度不大．
解：∵(DB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，∴AB 2−AC 2=0，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，△ABC 的形状是等腰三角形， 故选C ．
9.答案：A
解析：
本题考查了函数图像的识别与应用，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．
由函数图像的性质判断排除即可．
解：作出函数y=2x与y=x2的图象知，它们有3个交点，
所以y=2x−x2的图象与x轴有3个交点，排除B、C，
又当x<−1时，y<0，图象在x轴下方，排除D．
故选A．
10.答案：C
)]，
解析：解：因为函数y=cos(2x+1)=cos[2(x+1
2
个单位．所以要得到函数y=cos(2x+1)的图象，只要将函数y=cos2x的图象向左平移1
2
故选：C．
化简函数y=cos(2x+1)，然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可．
本题考查三角函数的图象的平移变换，注意平移时x的系数必须是“1”．
11.答案：D
解析：
本题考查象限角，属于基础题．
由三角函数值的正负判断角的象限．
解：∵θ为第三象限角，
，，
∴θ
2
为第二或第四象限角，
又∵cos θ
2>0， ∴θ
2为第四象限角． 故选D ．
12.答案：D
解析：令f(x)=mx 2−mx −1①当m =0时，f(x)=−1<0显然恒成立，②当m >0时，若对任意x ∈[1,3]不等式恒成立，只需{f(1)<0f(3)<0即可，所以{f(1)=−1<0f(3)=9m −3m −1<0，解得m <1
6.所以0<
m <1
6.③当m <0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x =1
2，若对任意x ∈[1,3]不等式恒成立，结合函数图象知只需f(1)<0即可，解得m ∈R.所以m <0.综上述，实数m 的取值范围是{m|m <1
6}．
13.答案：−1
解析：解：∵函数f(x)=(x +sinx)(e x +ae −x )(x ∈R)是偶函数， ∴(x +sinx)(e x +ae −x )=(−x +sin(−x))(e −x +ae x )， ∴e x +ae −x =−(e −x +ae x )； a(e −x +e x )=−(e −x +e x )； 故a =−1； 故答案为：−1．
由题意得(x +sinx)(e x +ae −x )=(−x +sin(−x))(e −x +ae x )，从而化简求得． 本题考查了函数的奇偶性的判断与应用，属于基础题．
14.答案：2
3
解析：
本试题考查了向量的数量积的基本运算．考查了基本知识的综合运用能力．由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入到BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ==(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13
|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2
，可求结果． 解：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3CA
⃗⃗⃗⃗⃗ ，
则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ， =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC
⃗⃗⃗⃗⃗ −13
|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2
， =2×2cos60∘−1
3×4， =2
3
． 故答案为2
3．
15.答案：(0,1]
解析：
本题主要考查函数与方程的应用，根据指数函数的性质是解决本题的关键． 根据指数函数的图象和性质进行求解即可．
解：函数y =2−|x|−m 的图像与x 轴有交点，即关于x 的方程2−|x|=m 有解， 所以m 的取值范围是(0,1]．
16.答案：1
2
解析：解：∵f(4x)=x ， ∴
4x−14x
=x(x ≠0)
化简得4x 2−4x +1=(2x −1)2=0 解得x =1
2， 故答案为：12．
由f(4x)=x 建立方程，进行化简配方可得方程的根．
本题考查了根的存在性及根的个数判断、方程根的问题，考查学生计算能力．属于基础问题，
17.答案：解：(1)由已知f(x)=log a x(a >0且a ≠1)的图象过点(4,2)，
则2=log a 4，即a 2=4，
又a >0且a ≠1， 所以a =2;
(2)g(x)=f(1−x)+f(1+x)=log 2(1−x)+log 2(1+x)， 由{1−x >01+x >0得−1<x <1， 所以g(x)的定义域为(−1,1)．
解析：本题考查对数函数的性质及函数定义域的求解． (1)由2=log a 4即可求解; (2)由{1−x >01+x >0
求解即可．
18.答案：解：(1)因为
，
所以5sin 2α=1， 又α∈(0,π
2)， 所以sinα=√55
．
(2)因为α∈(0,π2)，sinα=√55
，
所以
，
所以sin2α=2sinαcos =4
5， cos2α=2cos 2α−1=35，
所以cos(2α−π6)=cos2αcos π6+sin2αsin π
6 =3
5×
√32
+45×12=
3√3+410
．
解析：本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角差的余弦公式，是中档题． (1)由
以及α的取值的范围可求解．
(2)由(1)可求sinα，然后可求sin2α以及cos2α，然后利用两角差的余弦公式可求解．
19.答案：解：(1)函数f(x)=cosxsin(x +π3)−√3cos 2x +√34
． 化简可得：f(x)=cosx(12sinx +√32cosx)−√3cos 2x +√34=12sinxcosx +√32cos 2x −√3cos 2x +√3
4
=
1
4
sin2x −√3
2
×
1−cos2x
2+
√34
=12sin(2x −π
3)，
由2kπ−π
2≤2x −π
3≤2kπ+π
2，k ∈Z ， 得：kπ−π
12≤x ≤kπ+5π
12
∴f(x)的单调增区间为：[kπ−π
12,kπ+5π
12]，k ∈Z ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得：f(x)=1
2sin(2x −π
3)，那么：g(x)=2af(x)+b =asin(2x −π
3)+b ． ∵x ∈[−π4,π
4]， ∴−
5π6
≤2x −π3≤π
6
则：−1≤sin(2x −π
3)≤1
2．
当a >0时，g(x)的值域为[−a +b,1
2a +b]， 可得：{−a +b =212a +b =4，
解得：a =4
3，b =
103
当a <0时，g(x)的值域为[1
2a +b,−a +b]， 可得：{−a +b =4
12
a +
b =2，
解得：a =−43，b =8
3． 故得当a >0时，a =4
3，b =
103
当a <0时，a =−4
3，b =8
3．
解析：(1)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y =Asin(ωx +φ)的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
(2)x ∈[−π4,π
4]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f(x)的最大值和
最小值，即得到f(x)的值域．根据g(x)值域为[2,4]，即可a ，b 的值
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
20.答案：解：(1)由已知第7天的销售价格p =50−|x −6|=50−|7−6|=49，
销售量q=a+|x−8|=a+|7−8|=a+1．
∴第7天的销售收入W7=pq=49×(a+1)=2009(元)，解得，a=40；所以，第10天的销售收入为W10=p10⋅q10=46×42=1932(元)．
(2)设第x天的销售收入为W x，则W x={(44+x)(48−x),1≤x≤6 2009,x=7
(56−x)(32+x),8≤x≤20
；
当1≤x≤6时，当x=2时取最大值W2=2116;
当8≤x≤20时，当x=12时有最大值W12=1936；
由于W2>W7>W12，所以，第2天该农户的销售收入最大，最大值为2116元．
解析：本题考查了含有绝对值的函数模型的应用；含有绝对值的函数，通常转化为分段函数来解答，本题是中档题．
(1)第7天的销售价格p=50−|x−6|=50−|7−6|，销售量q=a+|x−8|=a+|7−8|，得第7天的销售收入W7=pq=49×(a+1)=2009，可得a的值；从而求得第10天的销售收入W10=p10⋅q10；
(2)若设第x天的销售收入为W x，则W x=pq=(50−|x−6|)(a+|x−8|)，去掉绝对值后是分段函
数W x={(44+x)(48−x),1≤x≤6 2009,x=7
(56−x)(32+x),8≤x≤20
；
分别在1≤x≤6时，8≤x≤20时，求得函数W x的最大值，并通过比较得出，第几天该农户的销售收入最大．
21.答案：解：(1)由图象可知得A=2，
又，，，
∴f(x)=2sin(2x+φ)．
∵函数f(x)=2sin(2x+φ)经过点(π
6
,2)，
，
又∵|φ|<π
2，∴φ=π
6
，
∴函数的解析式为f(x)=2sin(2x+π
6
)．
(2)由(1)可知f(x)=2sin(2x+π
6
)，
由
可得
，
故函数f(x)的单调增区间为[kπ−π
3,kπ+π
6] ,(k ∈Z)． (3)因为x ∈[0,π
2]， 所以2x +π
6∈[π6,7π
6]
所以
，
因为方程f(x)=a 在x ∈[0,π
2]上有解， 所以实数a 的取值范围为[−1,2]．
解析：本题考查通过图象求解三角函数的解析式，三角函数的图象和性质，属于
中档题．
(1)通过图象，逐步分析函数的振幅A ，周期T ，频率ω以及φ即可；
(2)通过正弦函数的单调性，解不等式即可；
(3)通过x ∈[0,π
2]得出
，则有实数a 的取值范围为[−1,2]．
22.答案：(1)f(x)=2x −1
2x +1,x ∈(−1,1)(2)m ∈(0,1
3)
解析：(Ⅰ)当x ∈(−1,0)时，−x ∈(0,1)，由f(x)为R 上的奇函数，得f(x)=−f(−x)=−2−x −1
2−x +1
=2x −1
2x +1，又有奇函数得f(0)=0，f(x)=2x −1
2x +1
,x ∈(−1,1).(Ⅱ)当x ∈(0,1)，2x ∈(1,2)，m =2x −1
2x +1=1−2
2x +1∈(0,1
3).。