常用概率分布

Cx n

n!
X!nX!
则摸出黑球次数的可能结果及其概率如下表所示
P(X

0)

C
0 5
0.2
5

0.0003
P(X
1)

C
1 5
0
.8
0.2
4

0.0064
P( X 2) C52 0.82 0.23 0.0512
P(X 3) C53 0.83 0.22 0.2048
1
至少有20名感染钩虫的概率为
PX

20
150
P(X)
150

150!
0.13 X (1 0.13)150X
X 20
X 20 X !(150 X )!
19
1 P(X) X 0
19
1
150!
0.13 X (1 0.13)150X
X 0 X !(150 X )!
摸球试验中摸到黑球的概率分布
X的可能取值
0
1
2
3
4
5
概率P(x) 0.0003 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.3277
一是每次试验结果，只能是两种对立的结果之一。即每次摸 球只有两种可能结果，或黑球或白球。
二是每次试验的条件不变，发生某种结果的概率是固定不变 的。即每次试验摸到黑球的概率是固定的。
P( X 4) C54 0.84 0.2 0.4096
P( X 5) C55 (0.8)5 0.3277
上例中离散型随机变量X的概率函数
X的可能取值
0
1
2
3
4
5
概率P(x) 0.0003 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.3277
例4-2 临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为 60%，现以该法治疗3例，其中两例有效的概率为多 大？
0.25 0.24 0.23
0.20
0.20
0.10
0.10
n=3, π=0.5
n=10, π=0.5
π=0.5时，不同n值对应的二项分布
0.00
0.00 0
0.46 0.40
0.30
0.20
0.10
01 23 n=3, π=0.3
0.00 0
P 0.34 0.30
0.20
0.10
0 0.00 1 2 3 4 5 0 n=6, π=0.3
P X k nP (X ) n n ! X ( 1 ) n X
X k
X k X ! ( n X )!
二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为
P X k kP (X ) k n ! X ( 1 ) n X
X 0
X 0 X ! ( n X )!
0.4879
三、二项分布资料的假设检验
（一）样本率和总体率的比较
1.直接计算概率法：即按二项分布概率函数， 直接求出累积概率，与所定检验水准比较，作 出检验推断。
例 根据以往经验以常规疗法治某病，其有 效率为65％，今用新疗法治疗该病患者20人， 结果1人无效。问新疗法是否较以往疗法为优？
H : 0.35 0
例4-6 例4-5中某地钩虫感染率为13%，随机 抽查当地150人，其中至多有2名感染钩虫的 概率有多大？至少有2名感染钩虫的概率有多 大？至少有20名感染钩虫的的概率有多大？
至多有2名感染钩虫的概率为
PX2 2 P(X) 2 n! X(1 )nX
X0
X0X!(nX)!
当π=1- π时，它呈对称分布。 当π≠1- π时，呈偏态分布。当π接近0.5时，图形接近对 称；当π离0.5愈远，对称性越差，但随着n的增大，分 布趋于对称。当n足够大，且π不太靠近0或1时，二项 分布逼近正态分布。
一般来说，当nπ和n（1-π）都大于5时，二项分布近似
于正态分布 N n ,n ( 1 ) 。
1
2
1
2
两 组 样 本 的 阳P性 为率 两； 组 样 本 合 并 率的 。阳 性 C
P＝X1＋X2
C n n
1
2
例6-9 用硝苯吡啶治疗高血压急症患者75例，有效 这为57例，用硝苯吡啶＋卡托普利治疗同类患者69 例，66例有效。问两疗法的有效率是否相同？
1.建立检验假设
H :
0
1
2
p
150
三、二项分布的应用
（一）概率估计
例4-5 如果某地钩虫感染率为13%，随机观 察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有 多大？
分析计算：
PX101!01155 !0100!0.11300.81740
0.0055
（二）单侧累计概率计算
二项分布出现阳性的次数至少为k次的概率为
P 0.28
0.20
0.10 0 1 2 3 4 5 6 7 n=10, π=0.3
0.00
0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00
00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 110 0 11
n=20, π=0.3
二项分布图的形态取决于π和n。
可以认为新疗法较以往疗法为优
2.正态近似法 当n足够大时
X~Nn, n(1)
p~N, n(1)/n
p
z
0
(1 )
0
0
n
p 1
z
0 2n
(1 )
0
0
n
例6-8 某医院称治疗声带白斑的有效率为80%。 今统计前来治疗的此类患者60例，其中45例有 效，问该医院宣称的疗效是否客观？
分析：治疗结果为有效和无效两类，每个患者是否 有效不受其他病例的影响，有效概率均为0.6，符合 二项分布的条件。因此可用二项分布的概率函数来 求得两例有效的概率。
C 3 20 .6 21 0 .6 3 2 0 .432
二、二项分布的特征
1。二项分布的图形特征
0.38 0.30
表4-1 掷一枚骰子结局的概率分布 可能的结局 1点 2点 3点 4点 5点 6点
概率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
第一节 二项分布（binomial distribution)及其应用
一、二项分布的概念和特征
例：设有一口袋，内装形状、重量完全相同的黑球和白 球，各占80%和20%。搅匀后从该口袋中摸出一球，记 录颜色，放回搅匀，再摸一球，…，如此重复5次。 若把摸到黑球的次数作为一个随机变量X。求该随机变 量的概率分布。
H :
1
1
2
0.05
2.计算检验统计量
p 57/75 0.76, p 66/69 0.95652,
1
2
p 57 66 7569 c
Z
0.76 0.95652
3.33799
0.854171 0.85417

1 75
619
3.确 定P值 ， 做 出 统 计 推 断
如果每一次试验只有阳性或阴性两种可能结果；
每次试验阳性结果的发生概率均为π，阴性结果的 发生概率为１－π；每次试验的结果是相互独立的， 那么重复n次实验，发生阳性结果的次数X的概率分 布为二项分布，记为B(X;n,π)。恰好有Ｘ例阳性结 果的概率为
P (X ) C n x x1 n x
有效率尚属客观
（二）两组独立样本率比较
Z
p p
1
2
p c
1
p c
n11
1
n 2

Z

p 1

p 2

0.5
1 n
1

1 n
2

p 1 c
p c

1 n
1

1 n
2

其 中 n、n分 别 为 两 个 样 本 量的 ； X样 、X本分 别 为
三是每次 试验独立，即一次试验出现什么样的结果与前面已 出现的结果无关。即各次摸球是彼此独立的。
Bernoulli试验序列：满足以上三个条件的n次试验构成的序 列。
实际上，医学研究中很多试验都能满足上述三个条件， 例如用同种属、同性别且体重相近的大白鼠作某药物一定剂 量的毒性试验；某新疗法临床试验观察患者是否治愈；观察 某指标的化验结果是否呈阳性。
p
n
式中 p 是样本率的标准差，又称为样本率的
标准误，它反映率的抽样误差的大小。
例4-4 已知某地钩虫感染率为6.7%,如果随机抽查 该地150人，记样本钩虫感染率为p,求p的抽样误
差 。 p
本例n=150,π=0.067,
0 .06 1 0 7 .06 0 7 .02 2 .0 0 %
H : 0.35 0.05 1
这里65％作为总体有效率，而19/20＝95%是样本 有效率，按以往有效率推算，在20人中全部有效 的概率为（0.65）20，19人有效、1人无效的概率 为20(0.35)(0.65)19。故20人中最多1人无效的概率 为
P＝ （0.65）20＋ 20(0.35)(0.65)19＝0.002133<0.05
2 二项分布的均数和标准差
对于任何二项分布问题，如果每一次实验出现 阳性结果的概率均为π，进行n次独立重复实验， 出现X次阳性结果，则
X的均数 n X
X的方差 2 n(1) X
X的标准差 n(1) X
若以率表示，则
p
2 1 pn 1 第四章 常用概率分布
概率分布基本知识
1.随机试验 2.随机变量：用来表达随机试验结果的变量。常用X来表 示。
3.随机变量的概率分布：随机变量的所有各种取值及其概 率，就构成该随机变量的概率分布。
例如，掷一枚骰子，出现的结果可能是1点，2点，…，6点， 其结局为一个随机变量。
例如，用针灸治疗头痛患者3人，治疗结果可能是1人有效， 2人有效，3人有效，也可能是无效。治疗结果为一个随机变 量。
因
双
侧Z ＝1.9 0.05
6，P

0.0
5,在＝0
.0
5水
准
上
拒
H绝0，
接受H ,可以认为两组疗法率 有不 效同。 1
1.建立检验假设
H : 0.80 0
H : 0.80 1
0.05
2计 . 算检验统计量
Z＝0.7-50.801260＝0.8069
0.80.260
3确 . 定 P值，做出统计因推单断 Z侧＝1.6， 4P0.05 0.05
在＝0.0水 5 准上不H0拒 ， 可绝 以认为该医院宣
8.4 17-0 1 0 1.9 010 82.1 110 7
2.3 110 7
至少有2名感染钩虫的概率为
150
150
PX2 P(X)
15!0 0.13X(10.13)150X
X2
X2X!(150X)!
1P(X0)P(X1)
18.4710101.90108