2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：排列与组合(含解析)

2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：
排列与组合
（含解析）
一、【知识精讲】
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
【注意点】
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
二、【典例精练】
考点一排列问题
【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
【解析】(1)从7人中选5人排列，有A5
7
＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A3
7种方法，余下4人站后排，有A4
4
种方法，
共有A3
7·A4
4
＝5 040(种).
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4
4
种方法，再将女
生全排列，有A4
4种方法，共有A4
4
·A4
4
＝576(种).
(4)(插空法)先排女生，有A4
4
种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个
空位安排男生，有A3
5种方法，共有A4
4
·A3
5
＝1 440(种).
(5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A6
6
种排列方法，
共有5×A6
6
＝3 600(种).
法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A2
6
种排法，其
他有A5
5种排法，共有A2
6
A5
5
＝3 600(种).
(6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A6
6
种方法；甲不
在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A1
5
种，而乙可排在除去最右边的
位置后剩下的5个中任选一个有A1
5种，其余人全排列，只有A5
5
种不同排法，共有
A6 6＋A1
5
A1
5
A5
5
＝3 720.
法二(间接法)7名学生全排列，只有A7
7种方法，其中甲在最左边时，有A6
6
种方
法，乙在最右边时，有A6
6
种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，
有A5
5种方法，故共有A7
7
－2A6
6
＋A5
5
＝3 720(种).
【解法小结】排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制。