一元一次不等式与一次函数的复习讲义全

一、知识点梳理
知识点：
一. 不等关系
1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.
2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质
1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:
(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:
如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.
(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即
如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c
b
c a >.
(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:
如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, c
b
c a <
2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式)
一般地:
如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b; 即:
a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0
(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.
三. 不等式的解集:
1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个围的所有数,与方程的解不同.
3. 不等式的解集在数轴上的表示:
用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左 四. 一元一次不等式:
1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.
2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.
3. 解一元一次不等式的步骤:
①去分母; ②去括号; ③移项;
④合并同类项;
⑤系数化为1(不等号的改变问题)
4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)
①当a>0时,解为a
b
x >;
②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数; 当a=0时,且b ≥0,则无解;
③当a<0时, 解为a
b
x <;
5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)
列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:
①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、
“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;
③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;
⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式与一次函数 定义与定义式
自变量x 和因变量y 有如下关系：y=kx+b ； 则此时称y 是x 的一次函数。

当b=0时，y 是x 的正比例函数。

即：y=kx （k 为常数，k≠0） 一次函数的性质
1.y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b （k 为任意不为零的实数 b 取任何实数） 2.当x=0时，b 为函数在y 轴上的截距。

一次函数的图像及性质
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]； （2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x 轴和y 轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P （x ，y ），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y 轴交点的坐标总是（0，b)，与x 轴总是交于（-b/k ，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k ，b 与函数图像所在象限：
当k ＞0时，直线必通过一、三象限，y 随x 的增大而增大； 当k ＜0时，直线必通过二、四象限，y 随x 的增大而减小。

当b ＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线必通过原点。

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

4．特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）
确定一次函数的表达式
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用
(1).当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

(2).当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

设水池中原有水量S。

g=S-ft。

六. 一元一次不等式组
1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.
2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果
这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.
几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.
3. 解一元一次不等式组的步骤:
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
二、例题讲解
例1. 用不等式表示下列数量关系。

（1）a 的一半与－3的和小于或等于1。

（）的与的差的相反数不小于。

2a 3
525-
（）的相反数的不大于的倍加。

31
7516x x
解：（）的一半：112a a 与－的和：31
23a +-()小于或等于：11231
a +-≤() 故：1
231
a +-≤()
（）的与的差：2352352a a -相反数：－()3
52a -不小于－：53525
--≥-()a
故：---≥-()3
525
a
（）的相反数的：3171
7x x
- x 的5倍加16：5x ＋16 其关系不大于：-
≤+1
7516x x
故：-≤+1
7516
x x 点评：用不等号表示的时候要准确理解“大”、“小”、“多”、“少”、“不大于”、“不小于”、
“不多于”、“不少于”、“至少”、“至多”等词语的含义。

例2. 有理数x 、y 在数轴上的对应点如图所示，试用“>”或“<”号填空：
x 0 y
（1）x______y （2）x ＋y_____0 （3）xy____0 （4）x －y______0
精析：由数轴可知：x<0<y ，且|x|<|y| 故填：（1）<；（2）>；（3）<；（4）<
点评：本题体现了数形结合的数学思想方法。

例3. 设“A 、B 、C 、D ”表示四种不同质量的物体，在天平秤上的情况如图所示，请你
用“<”号将这四种物体的质量m A 、m B 、m C 、m D 从小到大排列：_____________________________。

解析：由（1）得：m A >m B ；由（2）得：m B >m C 、m B >m D ；由（3）得：m D >m C ∴m C <m D <m B <m A 例4. 当时，关于的方程m x 1
2
1x m -=的解不小于－3。

解：
1
2
1x m -= x m -=22
x ＝2m ＋2 Θx 不小于－3 ∴+≥-223m 25m ≥-
m ≥-
5
2
例5. 右图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函数和一次函数），已知两地间的距离是80km ，请你根据图象回答或解决下面问题：
（1）谁出发得较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？ （2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数关系式。

解析：（1）自行车；3小时；摩托车；3小时
（）＝
；＝－＝自摩280810805340v km h v km h =//
（3）y 自＝k 1x 过（0，0）（4，40）
40＝k 1×4 k 1＝10 y 自＝10x
y k x b
摩＝2+
过（3，0），（4，40）
031404222=+<>
=+<>⎧⎨
⎩k b k b
<2>－<1>得：40＝k 2<3>
把<3>代入<1>得： 0＝120＋b b ＝－120
∴==-⎧⎨
⎩k b 240120
∴-y x 摩＝40120
例6. 东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠办法。

甲：买一枝毛笔就赠送一本练习本； 乙：按购买金额打九折付款。

某校欲为书法兴趣小组购买这种毛笔10枝，书法练习本x （x ≥10）本。

（1）写出每种优惠办法实际付款金额y 甲（元），y 乙（元）与x （本）之间的函数关系式；
（2）购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱； 精析：本题应先正确写出实际付款金额y 甲（元）、y 乙（元）与x （本）之间的函数关系式，然后进行比较哪种方案更优惠，再根据实际情况灵活设计最省钱的购买方案。

解：（1）由题意，得 y x x x 甲＝2510510520010⨯+-=+≥()()
y x x x 乙=⨯+⨯=+≥().()
2510590%4522510
（2）由y 甲＝y 乙，得5x ＋200＝4.5x ＋225，解之得x ＝50。

由y 甲>y 乙，得5x+200>4.5x+22.5，解之得x>50； 由y 甲<y 乙，得5x+200<4.5x+22.5，解之得x<50。

所以，当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款金额相等，可以任选一种优惠办法付款；
当购买书法练习本的本数多于50本书，选择乙优惠办法付款更省钱；
当购买书法练习本的本数不少于10本且多于50本时，选择甲优惠办法付款更省钱。

三、课后练习
一. 填空题
1. 用不等式表示：x 的2倍与1的和大于－1为__________，y 的1
3与t 的差的一半是负
数为_________。

2. 有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，根据图示，用“>”或“<”填空。

b 0 a
（1）a ＋3______b ＋3；（2）b －a_______0
（3）-
a 3______-
b
3；（4）a ＋b________0
3. 若0<a<1，则a a
a 21
，
，按从小到大排列为________。

4. 在数轴上表示数x 的点与原点的距离不超过5，则x 满足的不等式（组）为_______ 5. 当x_______时，代数式3x ＋4的值为正数。

6. 要使方程52321x m x m -=-+()的解是负数，则m________
7. 若||2112x x -=-，则x___________
8. 已知a<b ，则不等式组x a
x b
><⎧⎨
⎩的解集是____________
9. 若不等式组21
23
x a x b -<->⎧⎨
⎩的解集是-<<11x ，则()()a b +-11的值为___________
10. 如果不等式20x m -≥的负整数解是－1，－2，则m 的取值围是_________ 二. 选择题（每小题3分，共24分）
11. 若a>b ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.
b a
<1 B.
a b
>1
C. ->-a b
D. a b ->0
12. 与不等式
325
1-≤-x
的解集相同的是（ ） A. 325-≥x B. 325-≤x C. 235x -≥ D. x ≤4
13. 不等式x x --<
-32
131
3的负整数解的个数有（ ） A. 0个
B. 2个
C. 4个
D. 6个
14. 不等式组124
1
323-<-≤-⎧⎨⎪
⎩⎪x x x 的整数解的和是（ ）
A. 1
B. 0
C. -1
D. -2
15. 下列四个不等式：（1）ac>bc ；（2）-<-ma mb ；（3）ac bc 2
2
>；（4）-≤-ac bc 2
2
中，能推出a>b 的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
16. 如果不等式()a x a +>+11的解集为x <1，那么a 满足的条件是（ ） A. a>0 B. a<-2 C. a>-1 D. a<-1 17. 若不等式组x x t
-<->⎧⎨⎩10
的解集是x <1，则t 的取值围是（ ）
A. t<1
B. t>1
C. t ≤-1
D. t ≥1
18. 若方程组x y x y a -=+=-⎧⎨
⎩3
23
的解是负数，则a 的取值围为（ ）
A. -<<36a
B. a <6
C. a <-3
D. 无解
三. 解下列不等式或不等式组（每4题6分，共24分）
19.
x x 213
1--≥ 20. -<-<123
2x 21. -+<-+-≥⎧⎨⎪⎩
⎪211131
21x x x 22. 311512
35x x x x +>-≤-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 四. 解答题（23题5分，其余每题9分共50分）
23. 若
||()x x y m -+--=4502
，求当y ≥0时，m 的取值围。

24. 已知A 、B 两地相距80km ，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到 B 地，甲骑摩托车，乙骑电动自行车，PC 、OD 分别表示甲、乙两人离开A 的距离s （km ）与时间t （h ）的函数关系。

根据图象，回答下列问题： （1）_________比_______先出发________h ； （2）大约在乙出发______h 时两人相遇，相遇时距离A 地______km ； （3）甲到达B 地时，乙距B 地还有___________km ，乙还需__________h 到达B 地； （4）甲的速度是_________km/h ，乙的速度是__________km/h 。

25. 甲、乙两旅行社假期搞组团促销活动，甲：“若领队买一全票，其余可半价优惠”。

乙“包括领队在，一律按全票价的六折优惠”。

已知全票价为120元，你认为选择哪家旅行社更优惠？
26. 某工厂有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件。

已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元：生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。

（2）设生产A、B两种产品获总利润W（元），采用哪种生产方案获总利润最大？最大利润为多少？
27. 某园林的门票每10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年），年票分A、B、C三类；A类年票每120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每60元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每40元，持票者进入园林时，需再购买门票每次3元。

（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林次数最多的购票方式。

（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。

一次函数与一元一次不等式同步训练
一、选择题
1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值围是（• ）A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0
（1）（2）
2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值围是（•）A．y>0 B．y<0 C．-2<y<0 D．y<-2
3．已知y1=x-5，y2=2x+1．当y1>y2时，x的取值围是（）．
A．x>5 B．x<1
2
C．x<-6 D．x>-6
4．函数y=1
2
x-3与x轴交点的横坐标为（）．
A．-3 B．6 C．3 D．-6
5．对于函数y=-x+4，当x>-2时，y的取值围是（）．
A．y<4 B．y>4 C．y>6 D．y<6
二、填空题
1．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>•0；•当________•时，•2x+•4<•0；•当_______时，2x+4=0．
2．已知y1=2x-5，y2=-2x+3，当_______时，y1≤y2．
3．已知关系x的方程ax-5=7的解为x=1，则一次函数y=ax-12与x•轴交点的坐标为________．4．已知2x-y=0，且x-5>y，则x的取值围是________．
5．关于x的方程3x+3a=2的解是正数，则a________．
三、解答题
1．已知y1=-x+2，y2=3x+4．
（1）当x分别取何值时，y1=y2，y1<y2，y1>y2？
（2）在同一坐标系中，分别作出这两个函数的图像，请你说说（1）中的解集与函数图像之间的关系．
2．某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x（cm），应付给个体车主的月费用为y1元，•应付给汽车出租公司的月费用为y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系的图像（两条射线）如图所示，观察图像回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么围，租出租公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家车合算？
3．某学校计划购买若干台电脑，•现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．
甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费y1（元）与所买电脑台数x之间的关系式是________．
乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费y2（元）与所买电脑台数x 之间的关系式是_________．
（1）什么情况下到甲商场购买更优惠？
（2）什么情况下到乙商场购买更优惠？
（3）什么情况下两家商场的收费相同？
探究应用拓展性训练
1．（与现实生活联系的应用题）某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．问：让哪家公司制作这批宣传比较合算？
2．（学科综合题）下图表示学校浴室淋浴器水箱中的水量y（L）•与进水时间x（min）的函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）进水多少分钟后，水箱中的水量超过100L？
3．小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元．（1）试写出小明的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．
（2）小明的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小明在存零用钱，•表示从现在起每个月存18元，争取超过小明．请你在同一平面直角坐标系中分别画出小明和小丽存款数和月份数的函数关系的图像．半年以后小丽的存款数是多少？能否超过小明？•至少几个月后小丽的存款数超过小明？
4．（探究题）某企业急需一辆汽车，但无资金购买，公司经理决定租一辆汽车，•使用期限为一个月．甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为1．2元，•乙汽车出租公司的条件是每月须支付司机800元的工资，另外每千米的租车费为1元，设在这一个月中汽车行驶x（km），租用甲公司的费用为y1（元），租用乙公司的费用为y2（元）．
（1）试分别写出y1，y2与x之间的函数关系式．
（2）当汽车行驶路程为多少千米时，租用乙公司的汽车合算？
5．（2003年卷）某学校餐厅计划购买12餐桌和一批餐椅，现从甲、•乙两商场了解到同一型号的餐桌报价均为每200元，餐椅每把50元．甲商场称：每餐桌送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八五折销售．那么，什么情况下甲商场更优惠？。