(全国通用版)高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图

命题方向3 ⇨单调性的应用
典例 3 不通过求值，比较下列每组中两个正切值的大小． (1)tan－27π与 tan－π5； (2)tan126°与 tan496°．
[解析] (1)∵定义域[－π4，π4)不关于原点对称， ∴它既不是奇函数也不是偶函数． (2)定义域为{x|x≠k2π＋π4，k∈Z}，关于原点对称， ∵f(－x)＝(－x)tan2(－x)＋(－x)4＝xtan2x＋x4＝f(x)，∴它是偶函数． (3)定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}，关于原点对称， ∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它是奇函数．
4．比较大小：tan(－43π)___<___tan(－115π)．
(B ) (B )
互动探究学案
命题方向1 ⇨正切函数的奇偶性
典例 1 试判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|； (2)f(x)＝x2tanx－sin2x． [思路分析] 利用函数奇偶性的定义去判断．

R
___π___ __奇__函__数____
－_π2__＋__kπ_，__π2_＋__k_π(k∈Z) 无
[拓展](1)正切函数图象的对称中心是k2π，0(k∈Z)，不存在对称轴． (2)直线 x＝π2＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)＋b 的周期是 T＝|ωπ |．
(2)求函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ 都是常数)的单调区间的方法 ①若 ω>0，由于 y＝tanx 在每一个单调区间上都 是增函数，故可用“整体代换”的思想，令 kπ－π2<ωx＋φ<kπ＋π2，k∈Z，解 得 x 的范围即可． ②若 ω<0，可利用诱导公式先把 y＝Atan(ωx＋φ)转化为 y＝Atan[－(－ωx－φ)] ＝－Atan(－ωx－φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得 x 的范围即可．
∴函数的定义域为xx≠k3π＋51π8，k∈Z
．

令 kπ－π2<3x－π3<kπ＋π2(k∈Z)，
即k3π－1π8<x<k3π＋51π8(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为k3π－1π8，k3π＋51π8(k∈Z)，不存在单调递减区间．
『规律总结』 (1)求正切型函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时， 要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令 ωx＋φ≠kπ＋π2，k∈Z，解得 x．
〔跟踪练习 2〕求函数 y＝3tanπ6－4x的定义域，并指出它的单调性．
[解析] 要使函数有意义应满足
π6－4x≠kπ＋π2，得 x≠－4kπ－43π，
∴函数定义域为xx≠－4kπ－43π，k∈Z
．

y＝3tan(π6－4x)＝－3tan(4x－π6)， 由 kπ－π2<4x－π6<kπ＋π2，k∈Z， 得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π，k∈Z． ∴y＝3tan(π6－4x)的单调递减区间为 (4kπ－43π，4kπ＋83π)，k∈Z.不存在增区间．
[解析] (1)因为该函数的定义域是{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，关于原点对称，且 f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋|tanx|＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数．
(2)因为函数 f(x)的定义域是{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，关于原点对称， 又 f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－x)≠f(x)且 f(－x)≠ －f(x)，所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
命题方向2 ⇨求定义域和单调区间
典例 2 求函数 y＝tan3x－π3的定义域，并指出它的单调性．
[思路分析] 把 3x－π3看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来 解决．
[解析] 要使函数有意义，自变量 x 的取值应满足 3x－π3≠kπ＋π2(k∈Z)，得
x≠k3π＋51π8(k∈Z)，
『规律总结』 在利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时， 必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然 后再判断f(－x)与f(x)的关系．
〔跟踪练习 1〕判断下列函数的奇偶性： (1)y＝tanx(－π4≤x<π4)； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx．
1．已知函数 y＝tan(2x＋φ)的图象过点(1π2，0)，则 φ 可以是
A．π6
B．－π6
C．－1π2
D．1π2
( B)
2．函数 y＝2tan(12x－π4)的最小正周期是
A．π
B．2π
C．3π
Dwk.baidu.com4π
3．函数 f(x)＝sinxtanx 是
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
新课标导学
数学
必修④ ·人教A版
第一章
三角函数 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉， 及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午 的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直 射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比 在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问 题．
[知识点拨]正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性． (2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，… 上都是增函数． (3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函 数在(－π2，π2)∪(π2，32π)∪…上是增函数．
那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？
正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．
正切函数y＝tanx的图象叫做__正__切__曲__线____．
(2)性质：如下表所示. 函数
性质
定义域
值域 周期 奇偶性
单调性
增区间 减区间
y＝tanx
xx≠___π2_＋__k_π___，k∈Z