空间夹角 教案 2022届高三数学二轮复习备考

高三二轮立体几何求空间角问题（讲案）
【教学目标】
一、直线与平面所成角求解
直线与平面所成的角解题的一般思路为：首先建立适当的空间直角坐标系并正确写出各点的空间坐标，并求出平面的法向量，最后运用公式即可得出结果. 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
【例题讲解】
★☆☆例1：如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB＝2EF，∠EAB＝90°，平面ABEF⊥平面ABCD．
（1）若G点是DC的中点，求证：FG∥平面AED；
（2）求证：平面DAF⊥平面BAF；
（3）若AE＝AD＝1，AB＝2，求直线AC与平面BCF成角的正弦值．
★☆☆练1：已知多面体P﹣ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝∠PAB＝90°，AB＝PA＝DA＝PD1
=CD，M是
2
PB的中点．
（1）求证：PA⊥CM；
（2）求直线DB与平面PBC所成角的正弦值．
★★☆例2：如图所示，在多面体ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别是AC，AB，CC1的中点，AC＝BC＝4，
AB=CC1＝2，四边形BB1C1C为矩形，平面ABC⊥平面BB1C1C，AA1∥CC1
（1）求证：平面DEF⊥平面AA1C1C；
（2）求直线EF与平面ABC所成的角的正切值．
★★☆练1：如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，且CD ＝2，AB ＝1，1BC PA ==， AB ⊥BC ，N 为PD 的中点． （1）求证：AN ∥平面PBC ；
（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为26，若存在，求出DM
DP
的值；若不存在，说明理由．
★★☆例3：如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 是直角梯形，PC ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠ BAD ＝90°，AD ＝CD ＝1，∠ABC ＝45°，E 为PB 的中点． （1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）若直线PB 与平面PAC P ﹣AC ﹣E 的余弦值．
★★☆练1：如图，半圆弧AB 所在平面与平面ABCD 垂直，M 是AB 上异于A ，B 的动点，∠BAD ＝∠ADC
＝90°，AB＝AD＝2DC
（1）证明：MB⊥平面MAD；
（2）当直线MB与平面ABCD所成的角为45°时，求二面角D﹣MA﹣C的正弦值．
【题型知识点总结】
二、二面角所成角的求解
【例题讲解】
★★☆例1：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PD＝4，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且PF＝3FB．
（Ⅰ）求证EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
★★☆练1：如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，△PAB 是等边
三角形，DA ＝AB ＝2，PD =1
2
BC AD =，E 为线段AB 中点． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A ﹣PD ﹣E 余弦值．
★★☆例2：如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使 得平面ADM ⊥平面ABCM ． （1）求证：AD ⊥BM ；
（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D
★★☆练1：已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD ＝60°，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．
（1）求异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M ﹣AC ﹣N 的大小为
4
π
，试确定点N 的位置．
★★☆例3：如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面PAD ⊥
底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA ＝PD ＝2，BC 1
2
=AD ＝1，CD = （1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）若二面角M ﹣BQ ﹣C 为30°，设PM ＝tMC ，试确定t 的值．
★★☆练1：如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，点E 在线段PC 上． （1）证明：平面EBD ⊥平面PAC ；
（2）若∠ABC ＝60°，二面角B ﹣PC ﹣D 的余弦值为45-
，求AB
PA
的值．
★★☆例4：直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1被平面A1ECD所截得到如图所示的五面体，CD⊥CE，CD⊥AD．（1）求证：BC∥平面A1AD；
（2）若BC＝CD＝BE1
=AD＝1，求二面角B﹣A1E﹣C的余弦值．
3
★★☆练1：已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD为正三角形，M是PC的中点，过M的平面α平行于平面PAB，且平面α与平面PAD的交线为ON，与平面ABCD的交线为OE．（1）在图中作出四边形MNOE（不必说出作法和理由）；
（2）若PC=，求平面α与平面PBC形成的锐二面角的余弦值．
★★☆例5：如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，BC＝2，BB1＝4，AB=∠BCC1 ＝60°．
（Ⅰ）求证：平面A1C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）若E为CC1中点，求二面角A﹣EB1﹣C1的正切值．
★★☆练1：如图，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DBCE为平行四边形，F是CD的中点
（1）证明：OF∥平面ADE；
（2）若四边形DBCE为矩形，且四边形DBCE所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，AB＝2AC＝2，AE与圆O所在的平面的线面角为60°．求二面角D﹣AE﹣B的平面角的余弦值．
【题型知识点总结】
1. 在求二面角时，需要求出两个面的法向量，往往只需要求一个面的法向量即可，另一个面的垂直向量一般在题目中已经得到，可直接设法向量为此向量，可节约时间．
2. 在求解二面角的时候，结果有可能是锐角，也有可能是钝角，因此要学会判定，我们知道二面角和两个面法向量的夹角之间的关系为互补或相等，最简单的方法是观察立体图像，直接看出成的是锐二面角还是钝二面角，如果不易看出的，可以观察法向量的方向去判定
【课后练习】
【巩固练习】
★★☆1：在平面多边形ABCDEF 中，四边形ABFE 是边长为2的正方形，四边形DCFE 为等腰梯形，G 为CD 的中点，DC ＝2FE ，DE ＝CF ＝EF ，现将梯形DCFE 沿EF 折叠，使面DCFE ⊥面ABFE ． （1）求证：EG ⊥面BDF ；
（2）求CB 与平面GEB 成角的正弦值．
★★☆2：如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB ＝1，AA 1＝3，BE =21EB ，1A M =2MA ， N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． （1）证明：直线MN ∥平面AEC 1F ． （2）求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值．
★★☆3：如图所示，
PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB
为直径的O Θ上，30CBA ∠=︒，
2
PA AB ==，点E 为线段
PB 的中点，点M
在弧AB 上，且//OM AC .
（1）求证：平面平面； （2）求证：平面平面；
（3）设二面角的大小为，求的值.
★★☆4：如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，ADE ∆ 为等边三角形，且平面ADE ⊥平面CDEF
，
AB .
（1）证明：平面ADE ⊥平面ABCD ； （2）若BF DF ⊥，求二面角--F BC D 的余弦值.
★★☆5：在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形， //AB CD ，60DAB FC ∠=︒⊥，平面ABCD ，
//ED FC ，CB CD CF ==
.
//MOE PAC PAC ⊥PCB M BP C --θcos
θ
（1）求证： ；
（2）求二面角的余弦值.
【拔高练习】
★★☆1： 已知四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠DAB ＝120°，AA 1 ＝AB ＝3AF ＝3，1A E =λ1A D （0＜λ＜1）．
（1）若CE ∥面BDF ，求λ的值．
（2）求直线CF 与平面BDF 所成角的正弦值．
★★☆2：如图所示，在三棱锥S ﹣BCD 中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，△SBD 为等边三 角形，∠BCD ＝30°，CD ＝2DB ＝4．
（Ⅰ）若SA ＝AD ，求证：SD ⊥CA ；
（Ⅱ）若直线BA 与平面SCD
，求AD 的长．
AD BE ⊥F BD C -
-
★★★3：如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是圆内接四边形，CB ＝CD ＝CE ＝1，AB ＝AD ＝AE =
EC ⊥BD ．
（1）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；
（2）设线段AE 的中点为M ，线段AB 的中点为N ，且P 在线段MN 上运动，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值．
★★★4：如图，在四棱锥-P ABCD 中，//AD BC ，ADC 90PAB ∠=∠=︒，12
BC CD AD ==．E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒．
(1)在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ，并说明理由；
(2)若二面角--P CD A 的大小为45︒，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．
★★★5：如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．
（1）证明：平面ACD 平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角--
D A
E C的
余弦值.。