2024届北京西城北师大附属实验中学八年级数学第二学期期末达标测试试题含解析

2024届北京西城北师大附属实验中学八年级数学第二学期期末达标测试试题 注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，▱ OABC 的顶点 O 、A 、C 的坐标分别是（0，0），（2，0），（0.5，1），则点 B 的坐 标是（ ）
A ．（1，2）
B ．（0.5，2）
C ．（2.5，1）
D ．（2，0.5）
2．如图，菱形ABCD 中，∠A 是锐角，E 为边AD 上一点，△ABE 沿着BE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边CD 上，连接EF ，BF ，给出下列结论：
①若∠A =70°，则∠ABE =35°；②若点F 是CD 的中点，则S △ABE 13
=
S 菱形ABCD 下列判断正确的是（ ）
A ．①，②都对
B ．①，②都错
C ．①对，②错
D ．①错，②对
3．一次函数24y x =+的图像与y 轴交点的坐标是（ ）
A ．（0，-4）
B ．（0，4）
C ．（2，0）
D ．（-2，0）
4．下面哪个点在函数y=2x+4的图象上（ ）
A ．（2，1）
B ．（-2，1）
C ．（2，0）
D ．（-2，0）
5．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，以A 为圆心，AE 长为半径画弧，分别交AB 、AC 于F 、E 两点；分别以点E 和点F 为圆心，大于12EF 且相等的长为半径画弧，两弧相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，若BD ＝43，AC 长是分式方程135(2)
x x =-的解，则△ACD 的面积是（ ）
A ．103
B ．203
C ．4
D ．3
6．将一次函数12y x =
的图象向上平移2个单位，平移后，若0y >，则x 的取值范围是（ ） A ．4x >
B ．4x >-
C ．2x >
D ．2x >- 7．计算
×的结果是（ ） A ．
B ．4
C ．
D ．2
8．在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．下列命题正确的是（ ）
A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．对角线相等的四边形是矩形
D ．一组邻边相等的矩形是正方形
10．一元二次方程2230x x -+=的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根 二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知函数2x y +=，则自变量x 的取值范围是___________________． 12．如图，在ABE △中，90BAE ∠=︒，AB AE =，12BE cm =，过点A 作//AF BE 且点F 在点A 的右侧．点D 从点A 出发沿射线AF 方向以1cm /秒的速度运动，同时点P 从点E 出发沿射线EB 方向以2cm /秒的速度运动，在线段PE 上取点C ，使得2PC cm =，设点D 的运动时间为x 秒．当x =__________秒时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形．
13．在平面直角坐标系中，点P （a-1，a ）是第二象限内的点，则a 的取值范围是__________。

14．使式子212
a a -+的值为0，则a 的值为_______. 15．若3n 是正整数，则整数n 的最小值为__________________。

16．如图，线段AB=10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP 、BP 为边长作正方形APCD 和BPEF ，点M 、N 分别是EF 、CD 的中点，则MN 的最小值是_______.
17．如图，在菱形ABCD 中，边长为10,60A ∠=︒．顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形1111D C B A 顺次连结四边形1111D C B A 各边中点，可得四边形2222A B C D ；顺次连结四边形2222A B C D 各边中点，可得四边形3333A B C D ；按此规律继续．．．．四边形2222A B C D 的周长是____，四边形2019201920192019A B C D 的周长是____．
18．数据2，0，1，9的平均数是__________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）某班开展勤俭节约的活动，对每个同学的一天的消费情况进行调查，得到统计图如图所示：
（1）求该班的总人数；
（2）将条形图补充完整，并写出消费金额的中位数；
（3）该班这一天平均每人消费多少元？
20．（6分）已知：如图，平面直角坐标系中，(0,8)A ，(0,4)B ，点C 是x 轴上一点，点D 为OC 的中点． （1）求证：BD ∥AC ；
（2）若点C 在x 轴正半轴上，且BD 与AC 的距离等于2，求点C 的坐标；
（3）如果OE AC 于点E ，当四边形ABDE 为平行四边形时，求直线AC 的解析式．
21．（6分）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A 种支付方式所对应的圆心角为 度．
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A 和B 两种支付方式的购买者共有多少名？
22．（8分）如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 的中点，仅用无刻度的直尺按要求画图. (保
留作图痕迹，不写作法)
(1)在图①中画出AD 的中点H;
(2)在图②中的菱形对角线BD 上，找两个点E 、F ，使BE=DF.
23．（8分）如图，正方形ABCD 中，P 为AB 边上任意一点，AE ⊥DP 于E ，点F 在DP 的延长线上，且EF=DE ，连接AF 、BF ，∠BAF 的平分线交DF 于G ，连接GC ．
（1）求证：△AEG 是等腰直角三角形；
（2）求证：AG+CG=2DG ．
24．（8分）已知：直线:3(0)l y kx k k =-+≠始终经过某定点P ．
（1）求该定点P 的坐标；
（2）已知(2,1)A -，(0,2)B ，若直线l 与线段AB 相交，求k 的取值范围；
（3）在02x 范围内，任取3个自变量1x ，2x ，3x ，它们对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ，若以1y ，2y ，3y 为长度的3条线段能围成三角形，求k 的取值范围．
25．（10分）根据《佛山﹣环西拓规划方案》，三水区域内改造提升的道路约37公里，届时，沿线将串联起狮山、乐平、三水新城、水都基地、白坭等城镇节点，在这项工程中，有一段4000米的路段由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成的工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用20天．求甲、乙两个工程队平均每天各完成多少米？
26．（10分）已知△ABC，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，E 为AC 上一点，AD ＝AE ．
（1）如果∠BAD＝10°，∠DAE＝30°，那么∠EDC＝ °．
（2）如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么∠BAD＝ °，∠CDE＝ °．
（3）设∠BAD＝α，∠CDE＝β猜想α，β之间的关系式，并说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解题分析】
延长BC交y轴于点D，由点A的坐标得出OA=2，由平行四边形的性质得出BC=OA=2，由点C的坐标得出OD=1，CD=0.5，求出BD=BC+CD=2.5，即可得出点B的坐标．
【题目详解】
延长BC交y轴于点D,如图所示：
∵点A的坐标为(2,0)，
∴OA=2，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=OA=2，
∵点C的坐标是(0.5,1)，
∴OD=1，CD=0.5，
∴BD=BC+CD=2.5，
∴点B的坐标是(2.5,1)；
故选：C.
【题目点拨】
此题考查坐标与图形性质，平行四边形的性质，解题关键在于作辅助线.
2、A
【解题分析】
只要证明BF BC =，可得ABF BFC C 70∠∠∠===，即可得出ABE 35∠=；延长EF 交BC 的延长线于M ，只要证明DEF ≌CMF ，推出EF FM =，可得EMB BCDE S S =四边形，BEF MBE 1S S 2=，推出ABE ABCD 1S S 3菱形=． 【题目详解】
①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠C=∠A=70°．
∵BA=BF=BC ，∴∠BFC=∠C=70°，∴∠ABF=∠BFC=70°，∴∠ABE 12
=∠ABF=35°，故①正确； ②如图，延长EF 交BC 的延长线于M ，
∵四边形ABCD 是菱形，F 是CD 中点，∴DF=CF ，∠D=∠FCM ，∠EFD=∠MFC ，∴△DEF ≌△CMF ，∴EF=FM ，∴S 四边形BCDE =S △EMB ，S △BEF 12=
S △MBE ，∴S △BEF 12=S 四边形BCDE ，∴S △ABE 13
=S 菱形ABCD ．故②正确， 故选A ．
【题目点拨】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3、B
【解题分析】
根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，在解析式中令x=0，即可求得与y 轴的交点的纵坐标，由此即可得答案.
【题目详解】
令x=0，得y=2×0+4=4，则函数与y 轴的交点坐标是（0，4）．
故选B ．
4、D
【解题分析】
将四个选项中的点分别代入解析式，成立者即为函数图象上的点．
【题目详解】
A 、将（2，1）代入解析式y=2x+4得，2×2+4=8≠1，故本选项错误；
B、将（-2，1）代入解析式y=2x+4得，2×（-2）+4=0≠1，故本选项错误；
C、将（2，0）代入解析式y=2x+1得，2×2+4=8≠0，故本选项错误；
D、将（-2，0）代入解析式y=2x+1得，2×（-2）+4=0，故本选项正确；
故选D．
【题目点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入解析式，解析式成立者即为正确答案．5、A
【解题分析】
利用角平分线的性质定理证明DB=DH=4
3
,再根据三角形的面积公式计算即可
【题目详解】
如图,作DH⊥AC于H，
∵13
5(2) x x
=
-
∴5（x-2）=3x
∴x=5
经检验:x=5是分式方程的解
∵AC长是分式方程13
5(2)
x x
=
-
的解
∴AC=5
∵∠B=90°
∴DB⊥AB,DH⊥AC ∵AD平分∠BAC,
∴DH=DB=4 3
S ADC= 1410
5= 233⨯⨯
故选A
【题目点拨】
此题考查角平分线的性质定理和三角形面积，解题关键在于做辅助线
6、B
【解题分析】
试题分析：利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与坐标轴交点坐标，进而利用图象判断y＞0时，
x的取值范围．∵将一次函数y=1
2
x的图象向上平移2个单位，
∴平移后解析式为：y=1
2
x+2，当y=0时，x=﹣4，当x=0时，y=2，如图：∴y＞0，
则x的取值范围是：x＞﹣4，
考点：一次函数图象与几何变换．
7、B
【解题分析】
试题解析：.
故选B.
考点：二次根式的乘除法．
8、A
【解题分析】
解：将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成B选项的影子；
将矩形木框与地面平行放置时，形成C选项影子；
将木框倾斜放置形成D选项影子；
根据同一时刻物高与影长成比例，又因矩形对边相等，因此投影不可能是A选项中的梯形，因为梯形两底不相等．故选A．
9、D
【解题分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【题目详解】
A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故A 选项错误；
B 、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，故B 选项错误；
C 、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故C 选项错误．
D 、一组邻边相等的矩形是正方形，故D 选项正确．
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊四边形的特点．
10、D
【解题分析】
直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况
【题目详解】
解：22
=4(2)41380b ac -=--⨯⨯=-<
所以方程无实数根
故选：D
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、23x x ≥-≠且
【解题分析】
分析：根据函数的自变量取值范围的确定方法，从分式和二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 详解：由题意可得2030x x +≥⎧⎨-≠⎩
解得x≥-2且x≠3.
故答案为：x≥-2且x≠3.
点睛：此题主要考查了函数的自变量的取值范围，关键是明确函数的构成：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于0等条件.
12、143
或14 【解题分析】
根据点P 所在的位置分类讨论，分别画出图形，利用平行四边形的对边相等列出方程，从而求出结论．
【题目详解】
解：①当点P 在线段BE 上时，
∵AF ∥BE
∴当AD=BC 时，此时四边形ABCD 为平行四边形
由题意可知：AD=x ，PE=2x
∵PC=2cm ，12BE cm =
∴CE=PE －PC=（2x －2）cm
∴BC=BE －CE=（14－2x ）cm
∴x=14－2x
解得：x=143
； ②当点P 在EB 的延长线上时，
∵AF ∥BE
∴当AD=CB 时，此时四边形ACBD 为平行四边形
由题意可知：AD=x ，PE=2x
∵PC=2cm ，12BE cm =
∴CE=PE －PC=（2x －2）cm
∴BC= CE －BE =（2x －14）cm
∴x=2x －14
解得：x=14；
综上所述：当x =
143秒或14秒时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：143
秒或14秒．
【题目点拨】
此题考查的是平行四边形的性质和动点问题，掌握平行四边形的对边相等和行程问题中的公式是解决此题的关键．13、0<a<1
【解题分析】
已知点P（a-1，a）是第二象限内的点，即可得到横纵坐标的符号，即可求解．
【题目详解】
∵点P（a-1，a）是第二象限内的点，
∴a-1＜0且a＞0，
解得：0＜a＜1．
故答案为：0＜a＜1．
【题目点拨】
本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点，第二象限（-，+）．
14、1 2
【解题分析】
根据分式值为0，分子为0，分母不为0解答即可. 【题目详解】
∵21
2
a
a
-
+
的值为0，
∴2a-1=0，a+2≠0，
∴a=1 2 .
故答案为：1 2
【题目点拨】
本题考查分式为0的条件，要使分式值为0，则分子为0，分母不为0；熟练掌握分式为0的条件是解题关键.
15、1.
【解题分析】
1n一定是一个完全平方数，即可求出n的最小值．
【题目详解】
∴1n一定是一个完全平方数，
∴整数n的最小值为1．
故答案是：1．
【题目点拨】 本题考查了二次根式的定义，理解3n 是正整数的条件是解题的关键．
16、2
【解题分析】
设MN=y ，PC=x ，根据正方形的性质和勾股定理列出y 1关于x 的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．
【题目详解】
作MG ⊥DC 于G ，如图所示：
设MN=y ，PC=x ，
根据题意得：GN=2，MG=|10-1x|，
在Rt △MNG 中，由勾股定理得：MN 1=MG 1+GN 1，
即y 1=21+（10-1x ）1．
∵0＜x ＜10，
∴当10-1x=0，即x=2时，y 1最小值=12， ∴y 最小值=2．即MN 的最小值为2；
故答案为：2．
【题目点拨】
本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键．
17、20，
553+． 【解题分析】
根据菱形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长，得出规律求出即可．
【题目详解】
解：∵菱形ABCD 中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD 各边中点，
∴11AA D ∆是等边三角形，四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，
∴115A D =，1112
C D AC ==，222222225A B C D C B A D ====， ∴四边形2222A B C D 的周长是：5420⨯=，
同理可得出：3333111115,222
A D C D C D =⨯=
=⨯
225555331115(),()222
A D C D C D =⨯==⨯， …
所以：100910092019201920192019115(),()22A D C D =⨯=，
四边形2019201920192019A B C D 的周长20192019201920192()A D C D =+=，
∴四边形2019201920192019A B C D 的周长是：，
故答案为：20；
1008
52+． 【题目点拨】 此题主要考查了三角形的中位线的性质，菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键．
18、1
【解题分析】
根据算术平均数的定义计算可得．
【题目详解】
数据2，0，1，9的平均数是
20194
+++=1， 故答案是：1．
【题目点拨】
考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
三、解答题(共66分)
19、（1）50；（2）图详见解析，12.5；（3）该班这一天平均每人消费13.1元．
【解题分析】
（1）根据C 类有14人，占28%，即可求得该班的总人数；（2）根据（1）中的答案可以求得消费10元的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而求得消费金额的中位数；（3）根据加权平均数的计算方法可以求得该班这一天平均每人消费的金额．
【题目详解】
（1）由题意可得，
该班的总人数为：14÷28%=50，
即该班的总人数是50；
（2）消费10元的有：50-9-14-7-4=16（人），补充完整的统计图如图所示，
消费金额的中位数是：1015
3
+
=12.5；
（3）由题意可得，
该班这一天平均每人消费：5910161514207254
50
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=13.1（元），
即该班这一天平均每人消费13.1元．
【题目点拨】
本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20、（1）BD∥AC；（2）
3
3
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
；（3）8
y x
=-+
【解题分析】
（1）由A与B的坐标求出OA与OB的长，进而得到B为OA的中点，而D为OC的中点，利用中位线定理即可得证；
（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，确定出G坐标，由平行线间的距离相等求出BF的长，在直角三角形ABF中，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出FG的长，进而确定出三角形BFG为等边三角形，即∠BAC=30°，设OC=x，则有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根据OA的长求出x的值，即可确定出C坐标；
（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，进而得到DE垂直于OC，再由D为OC中点，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC为等腰直角三角形，求出OC的长，确定出C坐标，设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出AC解析式．
【题目详解】
（1）(0,8)A ，(0,4)B ，
8OA ∴=，4OB =，点B 为线段OA 的中点，
点D 为OC 的中点，即BD 为AOC ∆的中位线，
BD AC ∴∥；
（2）如图1，作BF AC ⊥于点F ，取AB 的中点G ，则(0,6)G ，
BD AC ∥，BD 与AC 的距离等于2，
2BF ∴=，
在Rt ABF ∆中，90AFB ︒∠=，4AB =，点G 为AB 的中点，
122
FG BG AB ∴===， BFG ∴∆是等边三角形，60ABF ︒∠=.
30BAC ︒∴∠=，
设OC x =，则2AC x =， 根据勾股定理得：223OA AC OC x =-，
8OA =，
833
x ∴=， 点C 在x 轴的正半轴上，
∴点C 的坐标为83⎫⎪⎪⎝⎭
；
（3）如图2，当四边形ABDE 为平行四边形时，AB DE ∥，
DE OC ∴⊥，
点D 为OC 的中点，
OE EC ∴=，
OE AC ⊥，
45OCA ︒∴∠=，
8OC OA ∴==，
点C 在x 轴的正半轴上，
∴点C 的坐标为(8,0)，
设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠.
将(0,8)A ，(8,0)C 得
808k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得：18k b =-⎧⎨=⎩
. ∴直线AC 的解析式为8y x =-+.
【题目点拨】
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：三角形中位线定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
21、（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A 种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A 和B 两种支付方式的购买者共有928名．
【解题分析】
分析：（1）根据B 的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得选择A 和D 的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A 种支付方式所对应的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．详解：（1）56÷28%=200，
即本次一共调查了200名购买者；
（2）D方式支付的有：200×20%=40（人），
A方式支付的有：200-56-44-40=60（人），
补全的条形统计图如图所示，
在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×60
200
=108°，
（3）1600×60+56
200
=928（名），
答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．
点睛：本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22、见解析
【解题分析】
分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC、BD的中点，然后根据三角形的中位线判定与性质，即可画图得到H点；
（2）根据①的作图中的H点，连接AP，HC，交BD于E、F点，则BE=DF.
详解：图①作法如图所示：
图②作法如图所示：
点睛：此题主要考查了菱形的判定与性质，三角形的中位线的判定与性质，以及三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性比较强，灵活利用判定与性质的进行推理是画图的关键.
23、证明见解析
【解题分析】
试题分析：（1）根据线段垂直平分线的定义得到AF=AD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；（2）作CH⊥DP，交DP于H点，证明△ADE≌△DCH（AAS），得到CH=DE，DH=AE=EG，证明CG=2 GH，AG=2DH，计算即可．
试题解析：
（1）证明：∵DE=EF，AE⊥DP，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF，
∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，
∴∠AFD=∠PAE，
∵AG平分∠BAF，
∴∠FAG=∠GAP．
∵∠AFD+∠FAE=90°，
∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°
∴2∠GAP+2∠PAE=90°，
即∠GAE=45°，
∴△AGE为等腰直角三角形；
（2）证明：作CH⊥DP，交DP于H点，
∴∠DHC=90°．
∵AE⊥DP，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠DHC．
∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，
∴∠ADE=∠DCH．
∵在△ADE和△DCH中，
AED DHC ADE DCH AD DC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ，
∴△ADE ≌△DCH （AAS ），
∴CH=DE ，DH=AE=EG ．
∴EH+EG=EH+HD ，
即GH=ED ，
∴GH=CH ．
∴CG=GH ．
∵AG=2EG ， ∴AG=2DH ，
∴CG+AG=2GH+2HD ，
∴CG+AG=2（GH+HD ），
即CG+AG=2DG ．
24、（1）(1,3)P ；（2）2k ；（3）10k -<<或302
k <<． 【解题分析】 (1)对题目中的函数解析式进行变形即可求得点P 的坐标；
(2)根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以求得k 的取值范围；
(3)根据题意和三角形三边的关系，利用分类讨论的数学思想可以求得k 的取值范围．
【题目详解】
(1)()y kx k 3k x 13=-+=-+，
当x 1=时，y 3=，即为点()P 1,3；
(2)点A 、B 坐标分别为()0,1、()2,1，直线l 与线段AB 相交，
直线()l :y kx k 3k 0=-+≠恒过某一定点()P 1,3，
31231k k k -+⎧∴⎨-+⎩
， 解得，k 2；
(3)当k 0>时，直线y kx k 3=-+中，y 随x 的增大而增大，
∴当0x 2时，k 3y k 3-++，
以1y 、2y 、3y 为长度的3条线段能围成三角形，
()30233
k k -+>⎧∴⎨-+>⎩，得3k 2<， 30k 2
∴<<； 当k 0<时，直线y kx k 3=-+中，y 随x 的增大而减小，
∴当0x 2时，k 3y k 3+-+，
以1y 、2y 、3y 为长度的3条线段能围成三角形，
(
)30233k k k +>⎧∴⎨+>-+⎩，得k 1>-， 1k 0∴-<<，
由上可得，1k 0-<<或30k 2<<
． 【题目点拨】
本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
25、甲工程队平均每天完成1米，乙工程队平均每天完成100米．
【解题分析】
设乙工程队平均每天完成x 米，则甲工程队平均每天完成2x 米，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用20天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【题目详解】
设乙工程队平均每天完成x 米，则甲工程队平均每天完成2x 米， 根据题意得：40004000202x x
-=， 解得：x ＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝1．
答：甲工程队平均每天完成1米，乙工程队平均每天完成100米．
【题目点拨】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26、（1）5（2）20，10（3）α＝2β，理由见解析.
【解题分析】
（1）先求出∠BAC=40°，再利用等腰三角形的性质求出∠B，∠ADE，根据三角形外角的性质求出∠ADC，减去∠ADE，即可得出结论；
（2）先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；
（3）利用等腰三角形的性质和三角形外角和定理即可得出结论．
【题目详解】
（1）∵∠BAD＝10°，∠DAE＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝1
2
（180°﹣∠BAC）＝70°．
∵AD＝AE，∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝1
2
（180°﹣∠DAE）＝75°．
∵∠B＝70°，∠BAD＝10°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝5°．
故答案为5；
（2）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为20，10；
（3）猜想：α＝2β．理由如下：
设∠B＝x，∠AED＝y，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠C＝∠B＝x，∠ADE＝∠AED＝y．
∵∠AED＝∠CDE+∠C，
∴y＝β+x，
∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，
∴α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β．
【题目点拨】
本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和为180°的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．。