矩阵理论 最小多项式PPT课件

r(的形) 式：
f () g()() r()
deg r() n
那么根据Hamilton-Cayley定理
f (A) g(A)(A) r(A) r(A)
f ( A)
这样可简化
的计算
• 多项f 式(的) 带g余(除)法
g()
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设 q() ，r() 为任意多项式，
不恒等于0，则必有两个多项式
和
，使得f () q()g() r()
将矩阵A代入上式，形成一个矩阵多项式，：
(A) (A 1I )(A 2I )(A nI )
A 将PJP1
代入上式：
(A) (PJP1 1I)(PJP1 2I)(PJP1 nI)
矩阵理论第4讲 - 4
第4页/共57页
Hamilton-Cayley定理
(PJP1 P(1I )P1)(PJP1 P(2I )P1)(PJP1 P(nI )P1) P(J 1I )P1P(J 2I )P1PP1P(J nI )P1 P(J 1I )(J 2I )(J nI )P1
• 证明：
仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵：
设 A() ( fij ())Cnn
f1*1()
A* ( )
f1*2 ()
f1*n ()
f
* 21
(
)
f
* 22
(
)
f
* 2n
(
)
f
* n1
(
)
f
* n2
(
)
C
nn
f
* nn
(
)
其中： fij*() 是A( ) 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式，那
1
J
2
n
1 i
i1 i
J i I
0
i1 i
n
i
矩阵理论第4讲 - 5
第5页/共57页
Hamilton-Cayley定理 P(J 1I)(J 2I)(J nI)P1
0
P
0
0
2 1
1 2
0
n
1
0
0 0
n
2
1 n
2 n
34 143 202 6 4 34 123 152 6
23 52 12 4
23 82 10 4
32 22 8
商：
3 42 5 2 4 43
1 02
3
2
4 43 102 3 2 r() 32 22 8
矩阵理论第4讲 - 15
第15页/共57页
Hamilton-Cayley定理的应用 所以：
f (A) g(A)(A) r(A) r(A)
21 16 0
3A2
22A 8I
64
43
0
19 3 24
第2(个A问) 题A3 4A2 5A 2I 0
A(1 A2 2A 5 I ) I
2
2
第3个问题
f () q()g() r()
A1
deg r() 3
100
() det(I A) ( 1)2( 2)
设 ACnxn ，() det(I A)
• 证明： 由于
() det(I A)
显然
(A) det(AI A) 0
，( A则) 0
运算结果是一个零矩阵 运算结果是一个多项式
运算结果是一个数
运算结果是一个矩阵
矩阵理论第4讲 - 2
第2页/共57页
Hamilton-Cayley定理 • 任一方阵都是它的特征多项式的根
因此， m~A() mA() m、A() m~A()
的商为常数因子
又因为 m~A () 与mA () 都是首一的，此常数因子必等于 1
所以 m~A() mA()
矩阵理论第4讲 - 18
第18页/共57页
方阵的零化多项式和最小多项式
• 定理
矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根；A的最小多项式的根必定是A 的特征根
而
f (A) q(A)mA(A) r(A) 0
r(A) 0
deg r() deg mA()
r( A)
是A的最小多项式：与假设矛盾
再证最小多项式的唯一性
假设 m~A() mA() 也是A的最小多项式
首先， m~A() mA() m、A() m~A()
均成立
其次， m~A () 与 mA () 次数相同，否则其中一个不是最小多项式
0
P
1
矩阵理论第4讲 - 6
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Hamilton-Cayley定理
0 0 * * 1 3
P
0
0
0 0
* **
2 3
0
4 3
1 n
2 n
0
P
1
0
矩阵理论第4讲 - 7
第7页/共57页
Hamilton-Cayley定理 • 任一方阵都是它的特征多项式的根
B(
)
B n1 n1
n2
Bn1
B0
Bi Cnn (i 1,n 1) 考察等式 B()(I A) det(I A)I
的右边：
B()(I
A)
(n1Bn1
B n2 n2
B1
B0
)(I
A)
考察其左边：
nBn1 n1(Bn2 Bn1A) (B0 B1A) B0 A
det(I A)I [(n tr A (1)n det A]I
上节内容回顾
• 化方阵A为Jordan标准形
• 特征向量法
• 初等变换法
• 多项式矩阵（ λ矩阵）
• 多项式矩阵的Smith标准型
• 不变因子、初等因子
• 行列式因子法
•
A ~ J 的相似变换矩阵P的求法
AP PJ
1. 在A的Jordan矩阵中构
造k个以i 为对角元素
的Jordan块
2. k个Jordan块的阶数之
设 f () 是A的任一零化多项式，假设 mA ()不能整除 f () ，则
根据多项式的带余除法：
f () q()mA() r()
矩阵理论第4讲 - 17
第17页/共57页
deg r() deg mA()
方阵的零化多项式和最小多项式
f () q()mA() r() deg r() deg mA()
矩阵理论第4讲 - 12
第12页/共57页
Hamilton-Cayley定理的应用 • 化简矩阵多项式的计算：
• 当n阶方阵的矩阵多项式 f ( A) 中A的最高次幂超过 n时，可用多项
式的带余除法，将此矩阵多项式对应的多项式 f ( ) 表示为()
det(与I 商 A) 的g积(，) 再加上余式
•
定理
设 AC nxn ，1, 2,, t C
则
是A的所有互不相同的特征值，
mA() ( 1)m1 ( 2 )m2 ( t )mt
(n1) 1n
1(10)
(n1) 2n
B0
(0) 21
( n 1) nn
(0) n1
(0) 12
(0) 22
(0) n2
(0) 1n
(0) 2n
(0) nn
利用矩阵加法的定义 A B(aij bij ) 将B() 分解
矩阵理论第4讲 - 10
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Hamilton-Cayley定理
再考察 B() ，其每个元素的次数均不超过n – 1:
(n1) 11
n
1
(0) 11
B(
)
( n 1) 21
n
1
(0) 21
( n 1) n1
n
1
(0) n1
(n1) n1 12
(0) 12
(n1) n1 22
(0) 22
(n1) n1 n2
(0) n2
)
(n1) n1 1n
Bn1 A
n1I
Bn3
Bn2
A
n2
I
B0 B1A n1I
B0 A 0I
An An1 An2
A I
Bn1 An An
Bn2 An1 Bn1 An n1 An1
Bn3 An2
Bn2 An1
n2
An2
B0 A B1 A2 n1 A
+
B0 A 0I
0 = ( A)
和等于 ri
dk
()
Dk () Dk 1 ( )
(1 k n)
A
pi1
i
pi1
A
piri
piri1
i piri
(A
B)
Ir 0
Cr(nr ) 0
D~D(mrr1)1 F m(n1)
矩阵理论第4讲 - 1
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Hamilton-Cayley定理
• 任一方阵都是它的特征多项式的根 • Hamilton-Cayley定理
[(n
n1
n1
1
0 ]I
n I n1n1I 1I 0I
比较两边的系数：
Bn1 I
Bn2 Bn1 A n1I B0 A 0I
矩阵理论第4讲 - 11
第11页/共57页
Hamilton-Cayley定理
以 An , An1,, A, I
依次右乘这些等式：
Bn1 I
Bn2
mA(i ) 0
即：A的特征根也必定是A的最小多项式的根
又：设 是 mA () 的根，即 mA( ) 0
det(I A) q( )mA( ) 0
矩阵理论第4讲 - 19
第19页/共57页
，可得 是A的特征根
方阵的零化多项式和最小多项式
• 矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根，由此可得到求最小多项式 的一个方法：
设 A C nxn 的所有不同的特征值为
特征多项式可写为：
1, 2,, t C
，则其
det(I A) ( 1)n1 ( 2)n2 ( t )nt
那么A的最小多项式应该具有如下形式：
mA() ( 1)m1 ( 2)m2 ( t )mt
这就是下述定理所描述的内容：
mi ni
i 1,,t
(n1) n1 22
(0) 22
(n1) n1 n2
(0) n2
)
(n1) n1 1n
(0) 1n
(n1) n1 2n
(0) 2n
(n1) n1
nn
(0) nn
令:
1(1n1)
Bn1
(n1) 21
( n 1) n1
(n1) 12
(n1) 22
(n1) n2
• 证明：
P
C nn n
P1AP J
考察J：
1 1
1
1
1 0
2 1
1
2 0
1
i
矩阵理论第4讲 - 3
第3页/共57页
Hamilton-Cayley定理
将J写成如下形式：
1
J
2
n
上式中 1, 2,, n 是A 的n个根，所以 () det(I A) ( 1)( 2)( n )
么与常数矩阵类似：
A()A*() A*()A() det A()I
矩阵理论第4讲 - 8
第8页/共57页
Hamilton-Cayley定理
设 B() 是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么 B()(I A) det(I A)I
det (I A) 是次数为n的多项式： det(I A) n (trA)n1 (1)n det A
是A的零化多项式
• f () 不恒等于零， f ()() 是A的零化多项式
• 方阵的最小多项式
设 A C nxn ，在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为 A的最
小多项式，记为
mA ( )
• 设 AC nxn ，f ()
是唯一的
f且(A) 0 mA(，) f ()
成m立A，(且)
证明：采用反证法
(0) 1n
(n1) n1 2n
(0) 2n
(n1) n1
nn
(0) nn
矩阵理论第4讲 - 9
第9页/共57页
Hamilton-Cayley定理
1(1n 1) n1
(0) 11
B(
)
(n1) n1
21
(0) 21
(n1) n1
n1
(0) n1
(n1) n1 12
(0) 12
() det(I A) 3 42 5 2
r()
矩阵理论第4讲 - 14
第14页/共57页
Hamilton-Cayley定理的应用 7 5 194 283 6 4 7 46 55 24
46 65 174 283 6 4 46 165 204 83
105 374 363 6 4 105 404 503 202
r() 0 deg r() deg g()
式中
或
矩阵理论第4讲 - 13
第13页/共57页
Hamilton-Cayley定理的应用 • 举例： 给出：
3 1 1
A 2 0
2
1 1 3
求 A7 A5 19A4 28A3 6A 4I
1. A1
；
2. A100 ；
3. f () 7； 5 194 283 6 4
证明：根据矩阵多项式的特征值的定理，即
设 1, 2,, n C A是C nxn
的特征值
f () ，矩阵多项式f ( A) 的特征值为
f (1), f (2),, f (n )
并且，若 f ( A) 0 则A的任一特征值满足 f (i ) 0
mA ( )
是A的次数最低的、首一的零化多项式m：A ( A) 0
100 q()() k12 k2 k3 ：待定系数法
A100 k1A2 k2 A k3I
矩阵理论第4讲 - 16
第16页/共57页
方阵的零化多项式和最小多项式 • 方阵的零化多项式
设 AC nxn ，f () 是多项式，如果 f ( A) 0
为方阵A的零化多项式
成立，则称f ()
• () det(I A)