安徽省六安市舒城中学高二数学暑假作业第六天理

第六天 导数与定积分

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1.了解导数的背景与意义，会计算一些简单函数的导数；

2.了解定积分的概念及几何意义，理解微积分基本定理及其应用；

3.会计算简单的定积分. 一、选择题

1. 设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π

2

附近的瞬时变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为

（ ）

A.k 1>k 2

B.k 1<k 2

C.k 1＝k 2

D.不确定 2.若曲线2

y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则

（ ）

A.1,1a b ==

B.1,1a b =-=

C.1,1a b ==-

D.1,1a b =-=-

3.已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是

（ ）

4. 22

(1cos )x dx π

π-+⎰等于

（ ）

A ．π B. 2 C. π-2 D. π+2 5.

1

20

4x dx -=

⎰

（ ） A. 3

21 B. 322 C. 323 D.

3

25 6. 曲线3cos ,0,2y x x π⎡⎤

=∈⎢⎥⎣⎦

与坐标所围成的面积

（ ）

A. 4

B. 2

C. 5

2

D. 3 7. 设2

3

5

1

1

1

1

1

1

,,a dx b dx c dx x

x

x

=

==⎰

⎰

⎰

,则下列关系式成立的是

（ ）

A ．

235a b c <<

B ．325b a c <<

C ．523c a b

<<

D ．

253

a c b

<<

8.如图所示，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分）， 则该叶形图的面积是（ ） A.

2

1

B.

41 C. 61 D. 3

1 二、填空题 9.设函数2

()(0)f x a x c a =+≠，若

1

()()f x d x

f x =⎰

，001x ≤≤，则0x 的值为 .

10. 如果1N 力能拉长弹簧cm 1，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 .

11．直线1

2y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ 12. 曲线32

2y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积为

三、解答题

13. 设函数1

()(,)f x ax a b Z x b

=+

∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))

f 处的切线方程为3y =。

（1）求()y f x =的解析式；

（2）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（3）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

14. 设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)('

+=x x f 。

（1）求)(x f y =的表达式；

（2）求)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积；

（3）若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值。

15.曲线1232:2

3

+--=x x x y C ，点)0,2

1(P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积。

第六天

1-8:AABD CDCD 9.

3 10 . 0.18； 11. ln2－1 12.

37

12

13．（1）2

1()()f x a x b '=-+，于是2

123,210.(2)a b a b ⎧

+=⎪+⎪

⎨⎪-=+⎪⎩

解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩ 或9,48.

3a b ⎧

=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

因,a b Z ∈，故

1()1f x x x =+

-． （2）证明：已知函数1

,y x y x

==

都是奇函数， 所以函数1

()g x x x =+

也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。 而函数1

()111

f x x x =-+

+-。 可知，函数()g x 的图像按向量a =(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数()y f x =的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形； （3）证明：在曲线上任一点0001(,)1x x x +

-。由'02

01()1(1)f x x =--知， 过此点的切线方程为20002

0011

[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----。

令1x =得0011x y x +=

-，切线与直线1x =交点为0

01

(1,)1

x x +-。