2018届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)word版含答案

2018届四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={1，2，3}，则A∩B=（）
A．∅B．{2} C．{2，3} D．{x|2≤x＜3}
2．若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z=（）
A．B．﹣C．﹣D．
3．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A．25 B．20 C．12 D．5
4．“a=0”是“直线l
1：ax+y﹣1=0与直线l
2
：x+ay﹣1=0垂直”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是（）
A．B．C．D．
6．已知函数f（x）=x在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为（）
A．4≤m≤5 B．2≤m≤4 C．m≤2 D．m≤4
7．若x，y满足约束条件则x2+y2+4x的最大（）
A．20 B．16 C．14 D．6
8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则（）
=（）
A．B．2C．5 D．10
）=（）10．如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，则f（3x
A．B．﹣C． D．﹣
11．已知点P（﹣2，0）是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左顶点，过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（）
A．12 B．13 C．14 D．15
12．已知f（x）=e x，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（）
A．（ln2，1） B．（，ln2）C．（，）D．（，）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若双曲线的一条渐近线方程为y=x，且双曲线经过点（2，1），则双曲线的标准方程为．
14．60名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于80分的学生人数是．
15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在
第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则= ．
16．已知点O（0，0），M（1，0），且圆C：（x﹣5）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上至少存在一点P，使得|PO|=|PM|，则r的最小值是．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
3
=﹣9，a
4
+a
6
=a
5
．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）求数列{a}的前n项和T
n
．
18．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．（1）若c=a，求角A；
（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．
19．（12分）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增
强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A
1，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
等5个直属单位的男子篮
球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：
（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）
（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）
注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，
．
20．（12分）椭圆C：过点A（0，），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N是直线x=1上的一点，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣e x（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x
1，x
2
（x
1
＜x
2
）
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x
1+x
2
＞4．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C的参数方程是（α为参数）
（1）将C的参数方程化为普通方程；
（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标
系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）
（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．
2018届四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={1，2，3}，则A∩B=（）
A．∅B．{2} C．{2，3} D．{x|2≤x＜3}
【考点】交集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={x∈Z|x≥2}，B={1，2，3}，
∴A∩B={2，3}，
故选：C．≡
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z=（）
A．B．﹣C．﹣D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由（1+i）z=i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】解：由（1+i）z=i，
得=，
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A．25 B．20 C．12 D．5
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：∵初级教师80人，
∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，解得n=20，即初级教师人数应为20人，
故选：B．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．
4．“a=0”是“直线l
1：ax+y﹣1=0与直线l
2
：x+ay﹣1=0垂直”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线垂直的性质及判定分别进行判断即可．
【解答】解：两直线垂直，得到：a•1+1•a=0，解得：a=0，
所以应是充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线垂直的充要条件，是一道基础题．
5．袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】从中随机选取三个小球，基本事件总数n==10，再用列举法求出所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列包含的基本事件个数，由此能求出所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率．
【解答】解：袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，
每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，
从中随机选取三个小球，基本事件总数n==10，
所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列包含的基本事件为：
（1，2，3），（2，3，4），（2，4，6），共有m=3个，
∴所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是p=．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求不地，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
6．已知函数f（x）=x在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为（）
A．4≤m≤5 B．2≤m≤4 C．m≤2 D．m≤4
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出导函数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果即可．
【解答】解：函数f（x）=x，
可得f′（x）=x2﹣mx+4，函数f（x）=x在区间[1，2]上是增函数，
可得x2﹣mx+4≥0，在区间[1，2]上恒成立，
可得m≤x+，x+≥2=4，当且仅当x=2，时取等号、
可得m≤4．
故选：D．
【点评】本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
7．若x，y满足约束条件则x2+y2+4x的最大（）
A．20 B．16 C．14 D．6
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2﹣4表示点（﹣2，0）到可行域的点的距离的平方减4，故只需求出点（﹣2，0）到可行域的距离的最小值即可．
【解答】解：根据约束条件画出可行域如图：
z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2﹣4表示点P（﹣2，0）到可行域的点的距离的平方减4．
由，解得A（2，2）
当点A到点P（﹣2，0）距离最大，
z=x2+y2+4x=4+4+8=16．
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
9．过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则（）
=（）
A．B．2C．5 D．10
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】f（x）==1+，函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，过点P
（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对
称⇒即可．
【解答】解：f（x）==1+，∴函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，
∴过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称，
∴，
则，||=，∴（）=2×5=10．
故选：D
【点评】本题考查了函数的对称性，及向量的数量积运算，属于中档题．
10．如图是函数f （x ）=cos （πx+φ）（0＜φ＜
）的部分图象，则f （3x 0）=（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
【考点】y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义．
【分析】f （x ）=cos （πx+φ），又图象过点（0，），结合范围0≤φ＜
，可得：φ=
，
由图象可得：πx 0+
=2π﹣
，即可解得x 0的值，即可得出结论．
【解答】解：∵f （x ）=cos （πx+φ）的图象过点（0，），
∴
=cos φ，
∴结合范围0≤φ＜
，可得：φ=
，
∴由图象可得：cos （πx 0+）=
，可得：πx 0+=2π﹣，解得：x 0=，
∴f （3x 0）=f （5）=cos （5π+）=﹣
，
故选：D ．
【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想的应用，其中求φ的值是解题的关键，属于中档题．
11．已知点P （﹣2
，0）是椭圆C ：
=1（a ＞b ＞0）的左顶点，过点P 作圆O ：x 2+y 2=4
的切线，切点为A ，B ，若直线AB 恰好过椭圆C 的左焦点F ，则a 2+b 2的值是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 【考点】圆锥曲线的综合．
【分析】由题意，a=2．过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭
圆C的左焦点F，可得F（﹣，0），即可求出a2+b2的值．
【解答】解：由题意，a=2．
∵过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，
∴∠APO=45°，F（﹣，0），
∴c=，∴b2=8﹣2=6，
∴a2+b2=8+6=14，
故选C．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
12．已知f（x）=e x，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（）
A．（ln2，1） B．（，ln2）C．（，）D．（，）
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】求出s﹣t=e a﹣lna，（a＞0），令h（a）=e a﹣，求出h（a）的最小值，验证即可．【解答】解：令f（t）=g（s）=a，即e t=lns=a＞0，
∴t=lns，s=e a，
∴s﹣t=e a﹣lna，（a＞0），
令h（a）=e a﹣，
则h′（a）=e a﹣，
∵y=e a递增，y=递减，
故存在唯一a=a
使得h′（a）=0，
0＜a＜a
时，e a＜，h′（a）＜0，
a＞a
时，e a＞，h′（a）＞0，
∴h（a）
min =h（a
），
即s﹣t取最小值是时，f（t）=a=a
，
由零点存在定理验证﹣=0的根的范围：
a
=时，﹣＜0，
a
=ln2时，﹣＞0，
∈（，ln2），
故a
故选：B．
【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若双曲线的一条渐近线方程为y=x，且双曲线经过点（2，1），则双曲线的标准方程
为=1 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的渐近线方程与双曲线的方程的关系，可设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），代入点的坐标即可得到双曲线方程．
【解答】解：由于双曲线的一条渐近线方程为y=x，
则可设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），
由于双曲线经过点（2，1），
则λ=1﹣×8=﹣1，
则双曲线的方程为=1．
故答案为： =1．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的渐近线方程和双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．
14．60名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于80分的学生人数是24 ．
【考点】频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图得a=0.005，从而得到成绩不低于80分的学生所点频率，由此能求出成绩不低于80分的学生人数． 【解答】解：由频率分布直方图得： 10（2a+3a+7a+6a+2a ）=1，解得a=0.005，
成绩不低于80分的学生所点频率为10（6a+2a ）=80a=80×0.005=0.4， ∴成绩不低于80分的学生人数为：0.4×60=24． 故答案为：24．
【点评】本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．
15．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在
第一、四象限分别交于A 、B 两点，与它的准线交于点P ，则=
．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】设出A 、B 坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合x 1x 2=，求出A 、B 的坐标，然后求其比值．
【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 12=2px 1，y 22=2px 2，
|AB|=x 1+x 2+p=
=p ，即有x 1+x 2=p ，
由直线l 倾斜角为60°，
则直线l 的方程为：y ﹣0=
（x ﹣），
联立抛物线方程，消去y 并整理，12x 2﹣20px+3p 2=0，
则x 1x 2=
，可得x 1=p ，x 2=p ，
则|AP|=4p，
∴=，
故答案为．
【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
16．已知点O（0，0），M（1，0），且圆C：（x﹣5）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上至少存在一
点P，使得|PO|=|PM|，则r的最小值是5﹣．
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】求出P的轨迹方程，利用两圆外离，得出r的最小值．
【解答】解：设P（x，y），
∵|PO|=|PM|，
∴x2+y2=2（x﹣1）2+2y2，即（x﹣2）2+y2=2，
圆心距==r+，
∴r的最小值是5﹣．
故答案为：5﹣．
【点评】本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，属于中档题．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）（2017•绵阳模拟）已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
3
=﹣9，a
4
+a
6
=a
5
．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）求数列{a}的前n项和T
n
．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出数列的首项与公差，然后推出通项公式．（2）利用拆项法，分别求解等差数列以及等比数列的和即可．
【解答】解：（1）设{a
n
}的公差为d，则由题意可得…（3分）
解得a 1=﹣4，d=1，…
∴a n =﹣4+1×（n ﹣1）=n ﹣5． …（6分）
（2）T n =a 1+a 2+a 3+…+a n +
= …（10分）
=
=．…（12分）
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的和求法，通项公式的应用，考查转化思想以及计算能力．
18．（12分）（2017•绵阳模拟）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，C=2A ． （1）若c=
a ，求角A ；
（2）是否存在△ABC 恰好使a ，b ，c 是三个连续的自然数？若存在，求△ABC 的周长；若不存在，请说明理由．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理有sinC=sinA ，又C=2A ，利用倍角公式可求2sinAcosA=
sinA ，
结合sinA ≠0，可得cosA=
，即可得解A 的值．
（2）设a=n ，b=n+1，c=n+2，n ∈N*．由已知利用二倍角公式可求cosA=，由余弦
定理得
=
，解得n=4，求得a ，b ，c 的值，从而可求△ABC 的周长．
【解答】（本题满分为12分） 解：（1）∵c=
a ，
∴由正弦定理有sinC=sinA ． …（2分）
又C=2A ，即sin2A=sinA ，
于是2sinAcosA=
sinA ，…（4分）
在△ABC 中，sinA ≠0，于是cosA=
，
∴A=．…（6分）
（2）根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．
由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，
∴cosA=．…（8分）
由余弦定理得=，代入a，b，c可得：
=，…（10分）
解得n=4，
∴a=4，b=5，c=6，从而△ABC的周长为15，
即存在满足条件的△ABC，其周长为15．…（12分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
19．（12分）（2017•绵阳模拟）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职
工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A
1，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
等5个
直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：
（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）
（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）
注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，
．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程；
（2）当x=185代入回归直线方程，即可预测M队的平均得分．
【解答】解：（1）由已知有=176， =66，
=≈0.73， =﹣62.48，
∴y=0.73x﹣62.48．…（10分）
（2）x=185，代入回归方程得y=0.73×185﹣62.48=72.57，
即可预测M队的平均得分为72.57．…（12分）
【点评】本题考查采用最小二乘法，求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题．
20．（12分）（2017•绵阳模拟）椭圆C：过点A（0，），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N是直线x=1上的一点，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）点A（0，）在椭圆C上，于是=1，又，a2=b2+c2，代入解出即可得出．
（Ⅱ）设直线PQ：x=ty+1，P（x
1，y
1
），Q（x
2
，y
2
）．联立直线与椭圆方程可得：（t2+4）y2+2ty
﹣7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）点A（0，）在椭圆C上，于是=1，即b2=2．
设椭圆C的焦半距为c，则，即，
又a2=b2+c2，代入解得a2=8，
∴椭圆C的标准方程为=1．）
（Ⅱ）设直线PQ ：x=ty+1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．
联立直线与椭圆方程：
，消去x 得：（t 2+4）y 2+2ty ﹣7=0，
∴y 1+y 2=﹣，y 1y 2=．
于是x 1+x 2=t （y 1+y 2）+2=，
故线段PQ 的中点D
．
设N （﹣1，y 0），由|NP|=|NQ|，则k ND •k PQ =﹣1，
即=﹣t ，整理得y 0=t+，得N ．
又△NPQ 是等边三角形，
∴|ND|=|PQ|，即，
即
+
=
，
整理得=
，
解得 t 2=10，t=
，
∴直线l 的方程是x ﹣1=0．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）（2017•绵阳模拟）已知函数f （x ）=ax 2﹣e x （a ∈R ）在（0，+∞）上有两个零点为x 1，x 2（x 1＜x 2） （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：x 1+x 2＞4．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】（1）问题转化为方程a=有两个根，等价于y=a 与有两个交点，即可求实数a
的取值范围；
（2）解得：x 1=
，x 2=
．要证明x 1+x 2＞4，即证明+＞4，即证明lnt+tlnt
＞2t ﹣2，构造函数即可证明．
【解答】（1）解：∵f （x ）=ax 2﹣e x （a ∈R ）在（0，+∞）上有两个零点，
∴方程a=
有两个根，等价于y=a 与
有两个交点．
令h （x ）=，则h′（x ）=，…（3分）
于是x ∈（0，2）时，h′（x ）＜0，即h （x ）在（0，2）上单调递减； 当x ∈（2，+∞）时，h′（x ）＞0，即h （x ）在（2，+∞）上单调递增，
∴h （x ）min =h （2）=，
∴a 的取值范围为（
，+∞）． …
（2）证明：∵x 1，x 2（x 1＜x 2）是f （x ）=ax 2﹣e x （a ∈R ）在（0，+∞）上的零点，
∴ax 12=
，ax 22=
，
两式相除可得（
）2=
． …（7分）
令=t （t ＞1），①
上式变为t 2=，即x 2﹣x 1=2lnt ，②
联立①②解得：x 1=，x 2=
． …（9分）
要证明x 1+x 2＞4，
即证明
+
＞4，
即证明lnt+tlnt ＞2t ﹣2．
令h （t ）=lnt+tlnt ﹣2t+2，则h′（t ）=+lnt ﹣1． …（10分）
令y=+lnt﹣1，y′=＞0，
故y=+lnt﹣1在（1，+∞）上单调递增，故y＞0，即h′（t）＞0，
故h（t）在（1，+∞）上单调递增，故h（t）＞h（1）=0，
即lnt+tlnt＞2t﹣2，得证．…（12分）
【点评】本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017•绵阳模拟）已知曲线C的参数方程是（α为参数）
（1）将C的参数方程化为普通方程；
（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标
系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）消去参数，将C的参数方程化为普通方程；
（2）将直线l 的方程化为普通方程为x+y+2=0．设Q（cosα，sinα），则M（cosα，
1+sinα），利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．
【解答】解：（1）消去参数得，曲线C的普通方程得=1．…
（2）将直线l 的方程化为普通方程为x+y+2=0．
设Q（cosα，sinα），则M（cosα，1+sinα），
∴d==，
∴最小值是．…（10分）
【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•绵阳模拟）已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣t|（t ∈R ）
（1）t=2时，求不等式f （x ）＞2的解集；
（2）若对于任意的t ∈[1，2]，x ∈[﹣1，3]，f （x ）≥a+x 恒成立，求实数a 的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（1）通过讨论x 的范围，去掉绝对值解关于x 的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）问题等价于a ≤f （x ）﹣x ，令g （x ）=f （x ）﹣x ，求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可．
【解答】解：（1）当t=2时，f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|，
若x ≤1，则f （x ）=3﹣2x ，于是由f （x ）＞2，解得x ＜，综合得x ＜；
若1＜x ＜2，则f （x ）=1，显然f （x ）＞2不成立；
若x ≥2，则f （x ）=2x ﹣3，于是由f （x ）＞2，解得x ＞，综合得x ＞
∴不等式f （x ）＞2的解集为{x|x ＜，或x ＞}．
（2）f （x ）≥a+x 等价于a ≤f （x ）﹣x ，令g （x ）=f （x ）﹣x ，
当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=1+t ﹣3x ，显然g （x ）min =g （1）=t ﹣2，
当1＜x ＜t 时，g （x ）=t ﹣1﹣x ，此时g （x ）＞g （1）=t ﹣2，
当t ≤x ≤3时，g （x ）=x ﹣t ﹣1，g （x ）min =g （1）=t ﹣2，
∴当x ∈[1，3]时，g （x ）min =t ﹣2，
又∵t ∈[1，2]，
∴g （x ）min ≤﹣1，即a ≤﹣1，
综上，a 的取值范围是a ≤﹣1．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。