人教版 八年级数学上册 第13章13.1--13.4同步测试题(含答案)

人教版八年级数学上册第13章13.1--13.4同步
测试题（含答案）
13.1 轴对称
一、选择题
1. 如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是()
A．PB＞PC B．PB＝PC
C．PB＜PC D．PB＝2PC
2. 点M(3，2)关于x轴对称的点的坐标为()
A. (-3，2)
B. (3，-2)
C. (-3，-2)
D. (3，2)
3. 如果点(m－1，－1)与点(5，－1)关于y轴对称，那么m的值为()
A．4 B．－4 C．5 D．－5
4. 将一张长与宽的比为2∶1的长方形纸片按图①②所示的方式对折，然后沿图
③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④中的纸片展开铺平，所得到的图案是()
5. 如图，DE是△ABC中AB边的垂直平分线，若BC＝6，AC＝8，则△BCE的周长为()
A．10 B．12 C．14 D．16
6. 图中的四个图形，对称轴的条数为4的图形有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7. 对于△ABC，嘉淇用尺规进行如下操作：
如图，(1)分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点D；
(2)作直线AD交BC边于点E.
根据嘉淇的操作方法，可知线段AE是()
A．△ABC的高线
B．△ABC的中线
C．边BC的垂直平分线
D．△ABC的角平分线
8. [2018·河北] 图是由“○”和“□”组成的轴对称图形，则该图形的对称轴是直线()
A.l1
B.l2
C.l3
D.l4
9. 如图，以C为圆心，大于点C到AB的距离为半径作弧，交AB于点D，E，
再以D，E为圆心，大于1
2DE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线CF，则()
A．CF平分∠ACB B．CF⊥AB
C．CF平分AB D．CF垂直平分AB
10. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得P A+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是()
二、填空题
11. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有________条．
12. 如图K－16－10，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB＝5 cm，CD＝3.5 cm，则四边形ABCD的周长为________ cm.
13. 如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，连接MN交OA于点E，交OB于点F.若△PEF的周长是20 cm，则MN的长是________cm.
14. 如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝________．
15. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，2)．作点A关于x轴的对称点，得到点A1，再将点A1向下平移4个单位长度，得到点A2，则点A2的坐标是________．
16. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.
17. 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格.
根据上表，猜想正n边形有条对称轴.
18. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).
三、解答题
19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△ABC与△EBC的周长分别是26 cm和16 cm，求AC的长．
20. 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G 处，EF为折痕．
(1)求证：△FGC≌△EBC；
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．
21. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC边的垂直平分线MN经过点A.求证：点A在线段CD的垂直平分线上.
22. 已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周长．
人教版九年级数学13.1 轴对称课后训练-答
案
一、选择题
1. 【答案】B[解析] 如图，连接AP.
∵线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，∴AP＝PB，AP＝PC.∴PB＝PC.
2. 【答案】B
3. 【答案】B[解析] ∵点(m－1，－1)与点(5，－1)关于y轴对称，∴m－1＝－5，解得m＝－
4.
4. 【答案】A
5. 【答案】C[解析] ∵DE是△ABC中AB边的垂直平分线，∴AE＝BE.∵BC ＝6，AC＝8，∴△BCE的周长＝BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝14.
6. 【答案】B[解析] 图①是轴对称图形，有6条对称轴;图②是轴对称图形，有4条对称轴;图③是轴对称图形，有2条对称轴;图④是轴对称图形，有4条对称轴.故对称轴的条数为4的图形有2个.
7. 【答案】A
8. 【答案】C[解析] 沿着直线l3折叠，直线两旁的部分能够互相重合，因此该图形的对称轴是直线l3.
9. 【答案】B
10. 【答案】C[解析] ∵P A+PB=BC，而PC+PB=BC，∴P A=PC.∴点P为线段AC的垂直平分线与BC的交点.显然只有选项C符合题意.
二、填空题
11. 【答案】5[解析] 如图，五角星的对称轴共有5条．
12. 【答案】17
13. 【答案】20
14. 【答案】5
15. 【答案】(－1，－6)[解析] ∵点A的坐标是(－1，2)，作点A关于x轴的对称点，得到点A1，
∴点A1的坐标是(－1，－2)．
∵将点A1向下平移4个单位长度，得到点A2，
∴点A2的坐标是(－1，－6)．
16. 【答案】10[解析] ∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，∴AE=BE，AF=CF.
∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm.
17. 【答案】解:如图.
故填3，4，5，6，n.
18. 【答案】③
三、解答题
19. 【答案】
解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.
∵△EBC的周长是16 cm，
∴BC＋BE＋EC＝16 cm，
即BC＋AE＋EC＝AC＋BC＝16 cm.
∵△ABC的周长是26 cm，
∴AB＋AC＋BC＝26 cm，
∴AC＝AB＝10 cm.
20. 【答案】
解：(1)证明：在长方形ABCD中，DA＝BC，∠A＝∠D＝∠B＝∠BCD＝90°.由折叠的性质，得GC＝DA，∠G＝∠D＝90°，∠GCE＝∠A＝90°.
∴GC＝BC，∠GCF＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠BCE＝90°.
∴∠GCF＝∠BCE.
又∵∠G＝∠B＝90°，GC＝BC，
∴△FGC≌△EBC(ASA)．
(2)由(1)知，DF＝GF＝BE，
∴S
四边形ECGF ＝S△FGC＋S△EFC＝S△EBC＋S△EFC＝S四边形BCFE＝
（BE＋CF）·AD
2＝
（DF＋CF）·AD
2＝8×4
2＝16.
21. 【答案】
证明：连接AC.
∵点A在线段BC的垂直平分线MN上，∴AB＝AC.
∵AB＝AD，∴AC＝AD.
∴点A在线段CD的垂直平分线上．
22. 【答案】
(1)证明：如图，连接CD.
∵点D 在BC 的垂直平分线上，∴BD ＝CD. ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ， ∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°. 在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，⎩⎨⎧DE ＝DF ，BD ＝CD ，
∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)．∴BE ＝CF. (2)在Rt △ADE 和Rt △ADF 中， ⎩
⎨⎧DE ＝DF ，AD ＝AD ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF. ∴AE ＝AF ＝6.
∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝(AE ＋BE)＋BC ＋(AF －CF)＝6＋7＋6＝19.
13.2 画轴对称图形
一、选择题
1. 作已知点关于某直线的对称点的第一步是( ) A ．过已知点作一条直线与已知直线相交 B ．过已知点作一条直线与已知直线垂直 C ．过已知点作一条直线与已知直线平行 D ．不确定
2. 点M (－3，2)关于x 轴的对称点N 的坐标是( ) A ．(3，2) B ．(－3，2) C ．(－3，－2) D ．(3，－2)
3．在平面直角坐标系中，点P (－2，1)关于y 轴的对称点的坐标为( ) A ．(－2，－1) B ．(2，－1) C ．(－2，1) D ．(2，1) 4. 下列是四位同学作△ABC 关于直线MN 的轴对称图形，其中正确的是( )
A B C D 5．若点A (4，3)，点B (4，－3)，则点A 与点B 的关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于直线x ＝－1对称
C．关于y轴对称D．关于直线y＝－1对称
6．如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形(不与△ABC重合)，则这样的三角形能画出()
A．1个B．2个C．3个D．4个
7. 下列说法正确的是（）
A.任何一个图形都有对称轴;
B.两个全等三角形一定关于某直线对称;
C.若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′;
D.点A，点B在直线l两旁，且AB与直线l交于点O，若AO=BO，则点A与点B•关于直线l对称.
8. 下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（）
A .13 B.11 C.10 D.8
9. 如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）
A.①
B.②
C.⑤
D.⑥
10. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论，其中正确的个数是（）
①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题
11．若点A(m，3)与点B(2，n)关于y轴对称，则m＝，n＝．12．如图，△ABO是关于y轴对称的轴对称图形，点A的坐标为(－2，3)，则点B的坐标为．
13．若点A(x，－5)与点B(2，y)关于x轴对称，则y x＝．
14．将点A(－2，3)向下平移4个单位长度后得到点B，点B关于x轴对称的点C的坐标为．
15. 由一个平面图形可以得到它关于某条直线对称的图形，这个图形与原图形的_________、___________完全一样.
16. 下列每对文字图形中，能看成关于虚线对称的有：_________（只需要序号）.
17. 数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立.
①12×231=132×21; ②12×462=___________;
③18×891=__________; ④24×231=___________.
三、解答题
17．如图，给出了一个图案的一半，其中虚线l是这个图案的对称轴，请作出这个图形关于l的轴对称图形，并说出这个图案的形状．
18. 如图,在10×10的正方形网格中有一个四边形和两个三角形(所有顶点都
在方格的格点上).
(1)请你画出以上三个图形关于直线MN对称的图形;
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数.
19. 已知：如图，点P，Q为∠AOB内部两点，点M，N分别为OA，OB上
的两个动点，作四边形PMNQ，请作图说明当点M，N在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．
20．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
21.如图，已知△ABC.
(1)画出△C
B
A1
1
1，使△C
B
A1
1
1
．和△ABC关于直线MN成轴对称；
(2)画出△C
B
A2
2
2，使△C
B
A2
2
2
和△ABC关于直线PQ成轴对称：
(3)△C
B
A1
1
1与△C
B
A2
2
2
成轴对称吗？若成，请在图上画出对称轴；若不成，说
明理由，
人教版数学八年级上册第十三章13.2 画轴对称图形
培优练习--参考答案
一、选择题
1. 作已知点关于某直线的对称点的第一步是()
A．过已知点作一条直线与已知直线相交
B．过已知点作一条直线与已知直线垂直
C．过已知点作一条直线与已知直线平行
D．不确定
【答案】B
2. 点M(－3，2)关于x轴的对称点N的坐标是()
A．(3，2) B．(－3，2) C．(－3，－2) D．(3，－2)
【答案】C
3．在平面直角坐标系中，点P(－2，1)关于y轴的对称点的坐标为() A．(－2，－1) B．(2，－1) C．(－2，1) D．(2，1) 【答案】D
4. 下列是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是()
A B C D
【答案】B
5．若点A(4，3)，点B(4，－3)，则点A与点B的关系是()
A．关于x轴对称B．关于直线x＝－1对称
C．关于y轴对称D．关于直线y＝－1对称
【答案】A
6．如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形(不与△ABC重合)，则这样的三角形能画出()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
7. 下列说法正确的是（）
A.任何一个图形都有对称轴;
B.两个全等三角形一定关于某直线对称;
C.若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′;
D.点A，点B在直线l两旁，且AB与直线l交于点O，若AO=BO，则点A与点B•关于直线l对称.
【答案】C
8. 下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（）
A .13 B.11 C.10 D.8
【答案】B
9. 如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）
A.①
B.②
C.⑤
D.⑥
【答案】A
10. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论，其中正确的个数是（）
①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】C
二、填空题
11．若点A(m，3)与点B(2，n)关于y轴对称，则m＝，n＝．【答案】－23
12．如图，△ABO是关于y轴对称的轴对称图形，点A的坐标为(－2，3)，则点B的坐标为．
【答案】(2，3)
13．若点A(x，－5)与点B(2，y)关于x轴对称，则y x＝．
【答案】25
14．将点A(－2，3)向下平移4个单位长度后得到点B，点B关于x轴对称的点C的坐标为．
【答案】(－2，1)
15. 由一个平面图形可以得到它关于某条直线对称的图形，这个图形与原图形的_________、___________完全一样.
【答案】形状；大小
16. 下列每对文字图形中，能看成关于虚线对称的有：_________（只需要序号）.
【答案】①⑤
17. 数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立.
①12×231=132×21; ②12×462=___________;
③18×891=__________; ④24×231=___________.
【答案】264×21；198×81；132×42
三、解答题
18．如图，给出了一个图案的一半，其中虚线l是这个图案的对称轴，请作出这个图形关于l的轴对称图形，并说出这个图案的形状．
【答案】解：如答图，这个图案是一个六角星．
19. 如图,在10×10的正方形网格中有一个四边形和两个三角形(所有顶点都
在方格的格点上).
(1)请你画出以上三个图形关于直线MN对称的图形;
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数.
【答案】(1)所画图形如图所示:
(2)这个整体图形共有4条对称轴.
20. 已知：如图，点P，Q为∠AOB内部两点，点M，N分别为OA，OB上
的两个动点，作四边形PMNQ，请作图说明当点M，N在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．
【答案】如图所示：点M，N即为所求．
21．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
【答案】(1)图略．(2)∵△ABC向右平移6个单位，
∴A、B、C三点的横坐标加6，纵坐标不变，
作出△A2B2C2，如图，A2(6，4)，B2(4，2)，C2(5，1)．
(3)△A1B1C1和△A2B2C2是轴对称图形，对称轴为图中直线l：x＝3.
22. 如图，已知△ABC.
(1)画出△C B A 111，使△C B A 1
11．和△ABC 关于直线MN 成轴对称； (2)画出△C B A 222，使△C B A 222和△ABC 关于直线PQ 成轴对称：
(3)△C B A 111与△C B A 222成轴对称吗？若成，请在图上画出对称轴；若不成，说
明理由，
【答案】解析 (1)△C B A 111如图所示．(2)△C B A 2
22如图所示． (3) △C B A 111与△C B A 222不成轴对称，因为找不到使 △
C B A 111与△C B A 2
22对称的直线． 13.3等腰三角形
一．选择题
1．已知，在等腰△ABC 中，一个外角的度数为100°，则∠A 的度数不能取的是（ ）
A ．20°
B ．50°
C ．60°
D ．80° 2．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，且AD ＝BD ＝CD ，若∠A ＝40°，则∠C ＝（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．45° 3．一个等腰三角形的两边长分别为2dm 、9dm ，则它的周长是（ ） A ．13dm B ．20dm C ．13dm 或20dm D ．无法确定
4．等腰三角形一边长为5，另一边长为2，则此三角形的周长为（）A．9或12 B．12 C．9 D．10
5．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（）
A．90°B．70°C．45°D．30°
6．在所给网格中，以格点（网格线的交叉点）A、B连线为一边构造格点等腰三角形ABC，则符合的点C的个数是（）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE 是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠F AG＝2∠ACF；
④AD＝2.4．
A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④
8．如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的小正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，现已知A、B、C、D都是格点，则下列结论中正确的
是（）
A．△ABC、△ABD都是等腰三角形
B．△ABC、△ABD都不是等腰三角形
C．△ABC是等腰三角形，△ABD不是等腰三角形
D．△ABC不是等腰三角形，△ABD是等腰三角形
9．如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（）
A．12 B．8 C．4 D．3
10．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝50°，∠C＝35°，则∠DAC的度数是（）
A．15°B．30°C．50°D．65°
二．填空题
11．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝60°，且△ABC的周长为24cm，则AB的长为cm．
12．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，EF经过点D，且EF∥BC，EF分别交AB，AC于点E，F，如果BE＝2，CF＝3，那么EF的长是．
13．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段CE的长为．
14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF ∥BC交AB，AC于点E，F，若AB＝10，AC＝8，则△AEF的周长是．
15．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ABC的角平分线．若AB＝AC，∠CAD ＝26°，
则∠ACE＝．
三．解答题
16．如图，等腰△ABC中AB＝AC，线段BD把△ABC分成了等腰△ABD和等腰△BCD，且AD＝BD，BC＝DC，求∠A的大小．
17．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．
（1）求证：点D在BE的垂直平分线上；
（2）若∠ABE＝20°，请求出∠BEC的度数．
18．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证AB＝AC．
19．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连结AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D．
（1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明；
（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°，另外两个角的度数都为50°；
当100°的角是底角的外角时，两个底角的度数都为180°﹣100°＝80°，顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故∠A的度数不能取的是60°．
故选：C．
2．【解答】解：∵AD＝BD＝CD，
∴∠ABD＝∠A，∠C＝∠DBC，
∵∠A＝40°，
∴∠C＝（180°﹣40°×2）÷2＝50°．
故选：B．
3．【解答】解：当腰长为9dm时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长＝9+9+2＝20（dm）；
当腰长为2dm时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
所以这个三角形的周长是20dm．
故选：B．
4．【解答】解：当5为等腰三角形的腰长时，2为底边，此时等腰三角形三边长分别为5，5，2，周长为5+5+2＝12；
当5为等腰三角形的底边时，腰长为2，此时等腰三角形三边长分别为5，2，2，不能组成三角形，
综上这个等腰三角形的周长为12．
故选：B．
5．【解答】解：如图，
∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，
∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝70°，
故选：B．
6．【解答】解：如图：
故选：C．
7．【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠F AG＝2∠ACF，故③正确；
∵∠BAC＝90°，AD是高，
＝ABAC＝ADBC，
∴S
△ABC
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AD＝＝4.8，故④错误，
故选：B．
8．【解答】解：由图可得，AC＝BC＝，AD＝BD＝5，∴△ABC、△ABD都是等腰三角形，
故选：A．
9．【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
又△ABC是等边三角形，
又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又△ABC的周长为12，
∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC＝×12＝4，
故选：C．
10．【解答】解：∠B＝50°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝65°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝95°﹣65°＝30°，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长为24cm，
∴AB＝×24＝8（cm），
故答案为：8．
12．【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴EF＝BE+CF＝5，
故答案为：5．
13．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
14．【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB，
同理可证得DF＝FC，
∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝10+8＝18，
即△AEF的周长为18，
故答案为：18．
15．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝26°，∴∠CAB＝2∠CAD＝52°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）÷2＝64°．∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝32°．
故答案为：32°．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，BC＝DC，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠ABC，∠CBD＝∠CDB，
设∠A＝x°，则∠ABD＝∠A＝x°，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠A+∠ABD＝2x°，
∴∠C＝∠ABC＝3x°，
∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴x+3x+3x＝180，
解得x＝，
∴∠A＝（）°．
17．【解答】（1）证明：连接DE，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE＝CE，
∴DE＝CE，
∵BD＝CE，
∴BD＝DE，
∴点D在BE的垂直平分线上；
（2）解：∵DE＝AE，
∴∠A＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，
∴∠BEC＝3∠ABE，
∵∠ABE＝20°，
∴∠BEC＝60°．
18．【解答】证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠1＝∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
19．【解答】解：（1）△AOB为直角三角形，理由如下：
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，
∴∠OAC＝∠AOD＝30°，
∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，
∴△AOB是直角三角形；
（2）△AOD的形状可以是等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①DA＝DO时，∠OAD＝∠AOD＝30°，
∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；
②OA＝OD时，∠ODA＝∠OAD＝（180°﹣30°）＝75°
13.4《课题学习--最短路径问题》
一．选择题
1．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．计划在l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（）
A．B．C．D．
2．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（）
A．B．
C．D．
3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△P AB周长最小的是（）
A．B．
C．D．
4．如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（）
A．B．
C．D．
5．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使P A+PB的值最小，则点P坐标为（）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
6．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）
A．BC B．CE C．AD D．AC
8．如图，点E是正方形ABCD的边DC上的一点，在AC上找一点P，使PD+PE的值最小，这个最小值等于线段（）的长度．
A．AB B．AC C．BP D．BE
9．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）
A．2B．4C．6D．8
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）
A．6B．8C．10D．12
二．填空题
11．如图所示，∠AOB＝30°，角内有点P，PO＝10cm，两边上各有一点Q，R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是．
12．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10cm，现要在OC、OA上分别找点Q、N，使QM+QN最小，则其最小值是．
13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．
15．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，面积65，AD是∠BAC的角平分线，E是AD上的动
点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为．
三．解答题
16．如图，P是∠AOB内任一点，分别在OA、OB上，求作两点P1，P2，使△PP1P2的周长最小（简要说明作法）．
17．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．
18．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．
19．有人会说：“这也太简单了！”别着急，请看下面这道题（如图）
有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近．这道题乍一看似乎无从下手．但经过观察可以发现此题依然可以利用“两点之间，线段最短”来解决问题，具体方法为：做B点与河面的对称点B′，连接AB′，可得到马喝水的地方C（如图）．
再连接CB得到这道题的解A→C→B．这就是著名的“将军饮马”问题．不信的话你可以在河边任意取一点C′连接AC′和C′B，比较一下就知道了．
20．已知：如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使P A+PC最小．
21．如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△P AB的周长最小．
22．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得
E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理
由．
参考答案
一．选择题
1．解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，则所需管道最短．
故选：D．
2．解：作点M关于直线m的对称点P′，连接nP′交直线L于P．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
3．解：分别在∠O的两边上找点A、B，使△P AB周长最小的是D选项，故选：D．
4．解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，所需管道最短．
又由垂线段最短，可知铺设的管道最短的方案是选项A．
故选：A．
5．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB
＝AP+PB′＝AB′的值最小，
∵点B坐标为（1，﹣3），
∴B′（﹣1，﹣3），
∴B′C＝AC＝5，
∴∠AB′C＝45°，
∴PD＝B′D＝1，
∵OD＝|﹣3|＝3，
∴OP＝2，
∴P（0，﹣2），
故选：D．
6．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故选：B．
7．解：如图连接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点D与点B关于直线AC对称，
连接BE，则线段BE的长就是PD+PE的最小值．
故选：D．
9．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，
∴×4•CE＝8，
∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．
故选：B．
10．解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，
作出点P关于OA的对称点E，作出点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于Q，交OB于R．连接PQ，PR，PE，PF，OE，OF．
则PQ＝EQ，PR＝RF，
则△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝EQ+QR+RF＝EF．
∵∠AOP＝∠AOE，∠POB＝∠FOB，∠AOB＝∠AOP+∠POB＝30°，
∴∠EOF＝60°，
又∵OE＝OP，OF＝OP，
∴OE＝OF＝10，
即△EOF是等边三角形，
∴EF＝OP＝10，
所以△PQR的周长的最小值为10．
故答案为：10．
12．解：作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN
的值最小，
∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，
∴OA、OB关于OC对称，
∴P点在OB上，
∴OP＝OM＝10cm，QM＝PQ，∠PNO＝90°，
∵PN＝OP＝×10＝5cm，
∴QM+QN＝PQ+QN＝PN＝5cm，
故答案为5cm．
13．解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故答案为：10．
14．解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，∵A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），
∴C（2，﹣3），
设直线BC的解析式是：y＝kx+b，
把B、C的坐标代入得：
解得．
即直线BC的解析式是y＝﹣x﹣1，
当y＝0时，﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
15．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB于H，
∵S△ABC＝×AB×CH＝65，
∴CH＝＝10，
∵AB＝AC＝13，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝EC，
∴BE+EF＝CE+EF，
∴当点E，点C，点F三点共线，且CF⊥AB时，BE+EF有最小值，即点E，点F都在线段CH上，
∴BE+EF的最小值为10，
故答案为：10．
三．解答题
16．解：（1）作点P关于OA、OB的对称点M、N；
（2）连接M、N，分别交OA，OB分别于P1、P2，则△PP1P2即为所求的三角形．
17．解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：
AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD．
而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短．
18．解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|P A﹣PB|的值最大的点，|P A﹣PB|＝A′B，
连接A′C，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝75°，
∴∠CAA′＝15°，
∵AC＝A′C，
∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，
∴∠ACA′＝150°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A′CB＝60°，
∴△A′BC是等边三角形，
∴A′B＝BC＝4．
故答案为：4．
19．解：在河边任意取一点C′连接AC′和C′B，
∵CD是线段BB′的垂直平分线可求出BC＝B′C，
∴AC+BC＝AC+B′C＝AB′，
同理，BC′＝B′C′，
∴AC′+BC′＝AC′+B′C′，
∴AC′+B′C′＞AB′．
∴C为所求的点．
20．解：（1）
分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：
A′（﹣1，2），B′（﹣3，1），C′（﹣4，3）
（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，﹣3），连接C″A交x轴于点P，
（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，﹣2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．
21．解：作法：作A关于l的对称点A′，
连接A′B交l于点P．
则点P就是所要求作的点；
理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′．
∵A和A′关于直线l对称，
∴P A＝P A′，P′A＝P′A′，
而A′P+BP＜A′P′+BP′
∴P A+BP＜AP′+BP′
∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′
即△ABP周长小于△ABP′周长．
22．解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，
连接C′D交AB于点P．
则点P就是所要求作的点．
理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′、C'P'．
∵C和C′关于直线l对称，
∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，
而C′P+DP＜C′P′+DP′，
∴PC+DP＜CP′+DP′
∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′
即△CDP周长小于△CDP′周长；
（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，连接PC，PD，则点E，F就是所要求作的点，。