新人教部编版初中九年级数学模型构建专题：解直角三角形应用中的模型
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长冲中学-“四学一测”活力课堂
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解：如图，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，则 AF ∥DE，
∴∠BDE＝∠BAF.
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∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠BDE＝∠BAF＝20°. ∴DE＝BD·cos20°≈ 140×0.94＝131.6(cm)． 答：点 D 离地面的高度 DE 约为 131.6 cm.
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∴CE＝CD＋DE≈37.2＋3.8＝41(米)． ∵2.8×(15－1)＝39.2＜41， ∴家住 15 楼的求救者 能被顺利施救．
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◆类型二 “背靠背”型 3．如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆 AB 的高度，站在教学楼的 O 处测得旗杆底端 B 的俯角为 30°，测得旗杆顶端 A 的仰角为 45°.若旗杆与教学楼的距 离为 12 m，则旗杆 AB 的高度是
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解：如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D. 根据题意可知∠BAC＝90°－30°＝30°， ∠DBC＝90°－30°＝60°，
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∵∠DBC＝∠ACB＋∠BAC， ∴∠BAC＝30°＝∠ACB. ∴BC＝AB＝60 km. 在 Rt△BCD 中，∠CDB＝90°， ∠CBD＝60°，sin∠CBD＝CBDC.
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解：如图，过点 N 作 EF∥AC 交 AB 于点 E， 交 CD 于点 F，
则 AE＝MN＝CF＝1.6， EF＝AC＝35， ∠BEN＝∠DFN＝90°， EN＝AM，NF＝MC，
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48°和∠β＝65°，矩形建筑物的宽度 AD＝18 m，高度 CD ＝30 m，求信号发射塔顶端到地面的距离 EF(结果精确到 0.1 m，参考数据：sin48°≈0.7， cos48°≈0.7，tan48°≈1.1， sin65°≈0.9，cos65°≈0.4， tan65°≈2.1)．
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2．云梯消防车在某小区工作时，云梯臂能达到的最大高度 为点 C 处，此时云梯臂 AC 长为 40 米，它与水平面的夹角为 68°，转动点 A 距地面的高度 AB 为 3.8 米．已知该小区住宅楼 的层高是 2.8 米，家住 15 楼的求救者能被顺利施救吗？请你通 过计算说明．(消防员身高、窗台高度等 因素不作考虑，参考数据：sin68°≈ 0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)．
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5．(2020·聊城中考)如图，小莹在数学综合实践活动中，利 用所学的数学知识对某小区居民楼 AB 的高度进行测量，先测 得居民楼 AB 与 CD 之间的距离 AC 为 35 m，后站在 M 点处测 得居民楼 CD 的顶端 D 的仰角为 45°，居民楼 AB 的顶端 B 的 仰角为 55°.已知居民楼 CD 的高度为 16.6 m，小莹的观测点 N 距地面 1.6 m， 求居民楼 AB 的高度(结果精确到 1 m， 参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈ 0.57，tan55°≈1.43)．
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∴CF＝BF. ∴BC＝ 2CF≈1.41×1.82≈2.6 米． 答：所求 BC 的长度约为 2.6 米．
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方法二：如图②，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， ∵∠C＝180°－65°－45°＝70°， ∴在 Rt△ACE 中，cosC＝cos70°＝ACCE， sinC＝sin70°＝AACE.
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∴CE＝AC·cos70°≈2×0.34＝0.68， AE＝AC·sin70°≈2×0.94＝1.88.
又∵在 Rt△AEB 中，∠ABC＝45°， ∴AE＝BE.
∴BC＝BE＋CE≈ 0.68＋1.88≈2.6 米． 答：所求 BC 的长度约为 2.6 米．
则 DF＝DC－CF＝16.6－1.6＝15. 在 Rt△DFN 中，∵∠DNF＝45°， ∴NF＝DF＝15.
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20.
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在 Rt△BEN 中， ∵t a n ∠B N E ＝EBNE ， ∴BE＝EN·tan∠BNE＝ 20×tan55°≈20×1.43＝28.6. ∴AB＝BE＋AE≈28.6＋1.6≈30(m)． 答：居民楼 AB 的高度约为 30 m.
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◆类型四 “斜截”型 8．(2020·安徽模拟)某社团在课余时间用无人机为学校 航拍宣传片，如图所示的△ABC 为无人机某次空中飞行轨 迹，D 为 BC 延长线上一点，点 A，B，C，D 在同一平面 内，∠B＝30°，∠ACD＝78.3°.若 AC＝ 80 米，求 AB 的长(结果保留整数，参考数 据：sin78.3°≈0.98，sin48.3°≈0.75， cos48.3°≈0.67， 3≈1.73)．
时，车厢 AC 与水平线 AD 成 60°，此时 AB 与支 撑顶杆 BC 的夹角为 45°.若 AC＝2 米，求 BC 的 长度(结果保留一位小数，参考数据：sin65°≈0.91， cos65 ° ≈ 0.42 ， t a n 65 ° ≈ 2.14 ， sin70 ° ≈ 0.94 ， cos70°≈0.34， tan70°≈2.75，
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解：如图，过点 A 作 AG⊥EF，垂足为 G. 设 EF 为 x m．由题意可知，四边形 CDGF 是矩形， 则 FG＝CD＝30 m，DG＝CF，∴GE＝(x－30)m.
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在 Rt△AEG 中，∠AGE＝90°， ∵tan48°＝EAGG， ∴x－AG30≈1.1.∴AG＝x－1.130. 在 Rt△CEF 中，∠CFE＝90°，∠ECF＝65°.
2≈1.41)．
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解：方法一：如图②，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，
在 Rt△ACF 中，
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∵sin∠CAB＝sin(60°＋5°)＝sin65°＝CAFC， ∴CF＝AC·sin65°≈2×0.91＝1.82. 在 Rt△BCF 中， ∵∠ABC＝45°，
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∴sin60°＝C6D0 .
∴CD＝60×sin60°＝ 60× 3＝30 3(km)＞47 km.
2 ∴这艘船继续向东航行安全．
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7．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物
ABCD 的 A，C 两点测得该塔顶端 E 的仰角分别为∠α＝
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9．(2020·常德中考)如图①是货车卸货时的状 态图，图②是其示意图．汽车的车厢采用液压机构， 车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方，AB 与水平线 AD 之间的夹角是 5°，卸货
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解：如图，过点 A 作 AD⊥CE 于点 D， 则∠ADE＝90°. 又由题意可知 ∠ABE＝∠BED＝90°，
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∴四边形 ADEB 是矩形． ∴DE＝AB＝3.8(米)． 在 Rt△ACD 中， ∵AC＝40 米，∠CAD＝68°， ∴CD＝AC·sin68°≈ 40×0.93＝37.2(米)．
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解：如图，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E， ∵∠ACD＝∠A＋∠B， ∴∠A＝48.3°.
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∵sin A ＝CA CE ，cosA ＝AA EC， ∴CE＝AC·sin48.3°≈60， AE＝AC·cos48.3°≈53.6. ∵∠B＝30°， ∴BE＝ 3CE≈103.8. ∴AB＝AE＋BE≈157 米． 答：AB 的长约为 157 米．
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第二十八章
锐角三角函数
模型构建专题：
解直角三角形应用中的模型
——形成思维模式，快准解题
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类型一 类型二 类型三
类型四
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◆类型一 “独立”型 1．(2020·台州中考)人字折叠梯完全打开后如图①所 示，B，C 是折叠梯的两个着地点，D 是折叠梯最高级踏板 的固定点．图②是它的示意图，AB＝AC，BD＝140 cm， ∠BAC＝40°，求点 D 离地面的高度 DE(结果精确到 0.1 cm；参考数据：sin70°≈0.94， cos70°≈0.34，sin20°≈0.34， cos20°≈0.94)．
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∵tan65°＝ECFF， ∴CxF≈2.1. ∴CF＝2x.1. ∵DG＝CF，
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∴AG＝CF＋AD. ∴x－1.130＝2x.1＋18. ∴x＝104.58≈104.6(m)． 答：信号发射塔顶端到地面的距离 EF 约为 104.6 m.
(12＋4 3)m (结果保留根号)．
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4．(2020·利辛县模拟)如图，某水库大坝的横 截面是梯形 ABCD，坝顶宽 DC 是 10 米，坝底宽 AB 是 90 米，背水坡 AD 和迎水坡 BC 的坡度都为 1∶2.5，则这个水库大坝的坝高是 16 米．
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◆类型三 “叠合”型 6．(2020·铜仁中考)如图，一艘船由西向东航行， 在 A 处测得北偏东 60°方向上有一座灯塔 C，再向东 继续航行 60 km 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30°方向上．已知在灯塔 C 的 周围 47 km 内有暗礁，问这艘 船继续向东航行是否安全？
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解：如图，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，则 AF ∥DE，
∴∠BDE＝∠BAF.
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∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠BDE＝∠BAF＝20°. ∴DE＝BD·cos20°≈ 140×0.94＝131.6(cm)． 答：点 D 离地面的高度 DE 约为 131.6 cm.
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∴CE＝CD＋DE≈37.2＋3.8＝41(米)． ∵2.8×(15－1)＝39.2＜41， ∴家住 15 楼的求救者 能被顺利施救．
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◆类型二 “背靠背”型 3．如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆 AB 的高度，站在教学楼的 O 处测得旗杆底端 B 的俯角为 30°，测得旗杆顶端 A 的仰角为 45°.若旗杆与教学楼的距 离为 12 m，则旗杆 AB 的高度是
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解：如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D. 根据题意可知∠BAC＝90°－30°＝30°， ∠DBC＝90°－30°＝60°，
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∵∠DBC＝∠ACB＋∠BAC， ∴∠BAC＝30°＝∠ACB. ∴BC＝AB＝60 km. 在 Rt△BCD 中，∠CDB＝90°， ∠CBD＝60°，sin∠CBD＝CBDC.
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解：如图，过点 N 作 EF∥AC 交 AB 于点 E， 交 CD 于点 F，
则 AE＝MN＝CF＝1.6， EF＝AC＝35， ∠BEN＝∠DFN＝90°， EN＝AM，NF＝MC，
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48°和∠β＝65°，矩形建筑物的宽度 AD＝18 m，高度 CD ＝30 m，求信号发射塔顶端到地面的距离 EF(结果精确到 0.1 m，参考数据：sin48°≈0.7， cos48°≈0.7，tan48°≈1.1， sin65°≈0.9，cos65°≈0.4， tan65°≈2.1)．
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2．云梯消防车在某小区工作时，云梯臂能达到的最大高度 为点 C 处，此时云梯臂 AC 长为 40 米，它与水平面的夹角为 68°，转动点 A 距地面的高度 AB 为 3.8 米．已知该小区住宅楼 的层高是 2.8 米，家住 15 楼的求救者能被顺利施救吗？请你通 过计算说明．(消防员身高、窗台高度等 因素不作考虑，参考数据：sin68°≈ 0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)．
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5．(2020·聊城中考)如图，小莹在数学综合实践活动中，利 用所学的数学知识对某小区居民楼 AB 的高度进行测量，先测 得居民楼 AB 与 CD 之间的距离 AC 为 35 m，后站在 M 点处测 得居民楼 CD 的顶端 D 的仰角为 45°，居民楼 AB 的顶端 B 的 仰角为 55°.已知居民楼 CD 的高度为 16.6 m，小莹的观测点 N 距地面 1.6 m， 求居民楼 AB 的高度(结果精确到 1 m， 参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈ 0.57，tan55°≈1.43)．
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∴CF＝BF. ∴BC＝ 2CF≈1.41×1.82≈2.6 米． 答：所求 BC 的长度约为 2.6 米．
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方法二：如图②，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， ∵∠C＝180°－65°－45°＝70°， ∴在 Rt△ACE 中，cosC＝cos70°＝ACCE， sinC＝sin70°＝AACE.
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∴CE＝AC·cos70°≈2×0.34＝0.68， AE＝AC·sin70°≈2×0.94＝1.88.
又∵在 Rt△AEB 中，∠ABC＝45°， ∴AE＝BE.
∴BC＝BE＋CE≈ 0.68＋1.88≈2.6 米． 答：所求 BC 的长度约为 2.6 米．
则 DF＝DC－CF＝16.6－1.6＝15. 在 Rt△DFN 中，∵∠DNF＝45°， ∴NF＝DF＝15.
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20.
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在 Rt△BEN 中， ∵t a n ∠B N E ＝EBNE ， ∴BE＝EN·tan∠BNE＝ 20×tan55°≈20×1.43＝28.6. ∴AB＝BE＋AE≈28.6＋1.6≈30(m)． 答：居民楼 AB 的高度约为 30 m.
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◆类型四 “斜截”型 8．(2020·安徽模拟)某社团在课余时间用无人机为学校 航拍宣传片，如图所示的△ABC 为无人机某次空中飞行轨 迹，D 为 BC 延长线上一点，点 A，B，C，D 在同一平面 内，∠B＝30°，∠ACD＝78.3°.若 AC＝ 80 米，求 AB 的长(结果保留整数，参考数 据：sin78.3°≈0.98，sin48.3°≈0.75， cos48.3°≈0.67， 3≈1.73)．
时，车厢 AC 与水平线 AD 成 60°，此时 AB 与支 撑顶杆 BC 的夹角为 45°.若 AC＝2 米，求 BC 的 长度(结果保留一位小数，参考数据：sin65°≈0.91， cos65 ° ≈ 0.42 ， t a n 65 ° ≈ 2.14 ， sin70 ° ≈ 0.94 ， cos70°≈0.34， tan70°≈2.75，
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解：如图，过点 A 作 AG⊥EF，垂足为 G. 设 EF 为 x m．由题意可知，四边形 CDGF 是矩形， 则 FG＝CD＝30 m，DG＝CF，∴GE＝(x－30)m.
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在 Rt△AEG 中，∠AGE＝90°， ∵tan48°＝EAGG， ∴x－AG30≈1.1.∴AG＝x－1.130. 在 Rt△CEF 中，∠CFE＝90°，∠ECF＝65°.
2≈1.41)．
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解：方法一：如图②，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，
在 Rt△ACF 中，
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∵sin∠CAB＝sin(60°＋5°)＝sin65°＝CAFC， ∴CF＝AC·sin65°≈2×0.91＝1.82. 在 Rt△BCF 中， ∵∠ABC＝45°，
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∴sin60°＝C6D0 .
∴CD＝60×sin60°＝ 60× 3＝30 3(km)＞47 km.
2 ∴这艘船继续向东航行安全．
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ABCD 的 A，C 两点测得该塔顶端 E 的仰角分别为∠α＝
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9．(2020·常德中考)如图①是货车卸货时的状 态图，图②是其示意图．汽车的车厢采用液压机构， 车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方，AB 与水平线 AD 之间的夹角是 5°，卸货
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解：如图，过点 A 作 AD⊥CE 于点 D， 则∠ADE＝90°. 又由题意可知 ∠ABE＝∠BED＝90°，
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∴四边形 ADEB 是矩形． ∴DE＝AB＝3.8(米)． 在 Rt△ACD 中， ∵AC＝40 米，∠CAD＝68°， ∴CD＝AC·sin68°≈ 40×0.93＝37.2(米)．
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解：如图，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E， ∵∠ACD＝∠A＋∠B， ∴∠A＝48.3°.
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∵sin A ＝CA CE ，cosA ＝AA EC， ∴CE＝AC·sin48.3°≈60， AE＝AC·cos48.3°≈53.6. ∵∠B＝30°， ∴BE＝ 3CE≈103.8. ∴AB＝AE＋BE≈157 米． 答：AB 的长约为 157 米．
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第二十八章
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∴AG＝CF＋AD. ∴x－1.130＝2x.1＋18. ∴x＝104.58≈104.6(m)． 答：信号发射塔顶端到地面的距离 EF 约为 104.6 m.
(12＋4 3)m (结果保留根号)．
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◆类型三 “叠合”型 6．(2020·铜仁中考)如图，一艘船由西向东航行， 在 A 处测得北偏东 60°方向上有一座灯塔 C，再向东 继续航行 60 km 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30°方向上．已知在灯塔 C 的 周围 47 km 内有暗礁，问这艘 船继续向东航行是否安全？