两直线的平行于垂直的判定

两条直线的平行与垂直

一、新课讲解

(一)特殊情况下的两直线平行与垂直（k 存在）

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；

(2)当另一条直线的斜率为0时，倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)斜率存在时两直线的平行与垂直（k 不存在）

设直线1l 和2l 的斜率为k1和k2，两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．

1.两条直线平行(不重合)的情形．

如果1l ∥2l ，那么它们的倾斜角相等：121212,tan tan ,k k αααα===即

反过来，如果两条直线的斜率相等，1212//k k l l =若，则

∵0°≤1α＜180°，∴1α=2α．∵两直线不重合，∴1l ∥2l ．

当两条直线有斜率且不重合时:如果它们平行，那么它们的斜率相等；

反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即

当两条直线有斜率可能重合时: 121212//,l l k k l l ⎧=⇔⎨⎩或重合

例1:下列说法中正确的有( )

①若两条直线斜率相等,则两直线平行.

②若l 1∥l 2,则k 1=k 2.

③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交. ④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m 的值为( )

A.-8

B.0

C.2

D.10

2.两条直线垂直的情形．

如果1l ⊥2l ，这时1α≠2α，否则两直线平行．

设2α＜1α，甲图的特征是1l 与2l 的交点在x 轴上方；

乙图的特征是1l 与2l 的交点在x 轴下方；

丙图的特征是1l 与2l 的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有1α=90°+2α．

因为1l 、2l 的斜率是k1、k2，即1α≠90°，所以2α≠0°．

01221tan tan(90)tan ααα=+=-，即12

1k k =-或121k k =- 反过来，如果12

1k k =-，即121k k =-.

不失一般性，设10k <，10k >，那么0211

1tan tan(90)tan ααα=-=+可以推出 2α=90°+1α． 即 1l ⊥2l ．

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数； 反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

121122

11l l k k k k ⊥⇔=-⇔=

-

例2:已知直线l 1的斜率k 1= ,

直线l 2经过点A(3a,-2),B(0,a 2+1),且l 1⊥l 2,求实数a 的值.

变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:AB ⊥CD.

3.平行与垂直的综合应用

例3:已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标.

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例4:已知直线l 1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l 2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若

l 1⊥l 2,求a 的值.

课堂练习：

1.下列命题

①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行;

②如果两直线平行,则它们的斜率相等;

③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直;

④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1.

其中正确的为( )

A.①②③④

B.①③

C.②④

D.以上全错

2.已知点A(1,2),B(m,1),直线AB 与直线y=0垂直,则m 的值为( )

A.2

B.1

C.0

D.-1

4.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是( )

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.以A 为直角顶点的直角三角形

(2,2),(:A(2,0,2(4,2),2.

B C D --+3ABCD ABCD 变式训练已知四边形的顶点为求证四边形为矩形()()()

2

32

.(,323

(3232)

),,,,,A B C D --------3l a 21a 2121a 若直线经过点和且与经过点

斜率为的直线垂直则实数的值是

D.以B 为直角顶点的直角三角形

5.已知1l ⊥2l ,直线1l 的倾斜角为45°,则直线2l 的倾斜角为( )

A.45°

B.135°

C.-45°

D.120°

6. 将斜率为

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的直线沿x 轴负方向平移3个单位, 再沿y 轴正方向平移2个单位,与原直线重合,则直线的斜率为( ) 32.32.23.23.--D C B A 7.经过点P(-2､-1)､Q(3,a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直.则a=_______.

8. 若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a 的值等于____ .

9. 1l 过点A(m,1),B(-3,4), 2l 过点C(0,2),D(1,1),且1l ∥2l ,则m=_______.

10. 直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则12l l 与的位置关系是_______.

11.已知A(1,5),B(-1,1),C(3,2),若四边形ABCD 是平行四边形,求D 点的坐标.

12.试确定m 的值,使过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(-6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.

13. 已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标.