5.5.1-第3课时-二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)

D．－2cosθ
经典例题
题型三 利用二倍角公式化简证明
跟踪训练3
(1＋sin
(2)已知 α∈(0，π)，化简：
α＋c2o＋s 2αc)·oscαosα2－sinα2＝________.
(2) cos α 解析：原式＝2cos2α2＋2sinα2c4ocsoα2s2·α2cosα2－sinα2.
因为 α∈(0，π)，所以 cosα2＞0，
B.2245，275，274
C．－2245，－275，274
D.2245，－275，－274
A 解析：因为 α 是第四象限角，且 sinα＝－35，所以 cosα＝45，所以 sin2α ＝2sinαcosα＝－2245，cos2α＝2cos2α－1＝275，tan2α＝csoins22αα＝－274.
＝cos2( ＋α)＝2cos2( ＋α)－1＝2×( )2－1＝－ .
经典例题
题型二 条件求值
跟踪训练2 (2)设 α 为锐角，若 cosα＋π6＝45，则 sin2α＋1π2的值为________．
(2)∵α 为锐角，∴α＋π6∈π6，23π. 又∵cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35，
∴sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2245，cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－1＝275，
∴sin2α＋1π2＝sin2α＋π3－π4＝sin2α＋π3cos
4π－cosபைடு நூலகம்α＋π3sin
π 4
＝2245×
22－275×
22＝1750
2 .
经典例题 例 3 证明：(1)
题型三 利用二倍角公式化简证明
∵cosπ6＋α＝13，
∴sinπ6＋α＝2
3
2 .
∴sinπ3＋2α＝sin2×6π＋α
＝2sin6π＋αcos6π＋α＝2×2
3
2×13＝4
9
2 .
经典例题
题型二 条件求值
跟踪训练2
(1)若 cos ( ＋α)＝ ，则 sin ( －2α)＝ ( )
A．－
B．－
C．
D．
(1) A 解析：因 cos ( ＋α)＝ ，则 sin ( －2α)＝sin [ －( ＋2α)]
所以 cos2x＝sin ( －2x)＝2sin ( －x)cos ( －x)
＝2×
＝.
当堂达标
7.化简：(1) 1＋sin20°＋ 1－sin20°；(2)11＋ ＋ssiinn44αα＋ －ccooss44αα.
解：(1)原式＝ sin210°＋cos210°＋2sin10°cos10°＋ sin210°＋cos210°－2sin10°cos10° ＝ sin10°＋cos10° 2＋ sin10°－cos10° 2 ＝|sin10°＋cos10°|＋|sin10°－cos10°| ＝sin10°＋cos10°＋cos10°－sin10° ＝2cos10°.
(2)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14.
经典例题
(3)原式＝
＝2×
题型一 给角求值
＝
＝.
(4)原式＝
＝
＝
＝
＝
＝.
经典例题
跟踪训练1 求下列各式的值．
题型一 给角求值
(1)sin8πsin38π；(2)12－cos215°；(3)cos415°－sin415°；(4)sin110°－cos
当堂达标
(2)原式＝11＋＋22ssiinn22ααccooss22αα＋＋22csoins2222αα－－11
＝22csoins2222αα＋＋22scions22ααcsoins22αα
＝2cos2α 2sin2α
cos2α＋sin2α sin2α＋cos2α
＝tan12α.
当堂达标
8解.已：知∵0si<nx<π4π4－，x∴ ＝01<53π4，－0x<<xπ4<. π4，求cocsosπ4＋2xx的值． 又∵sinπ4－x＝153，∴cosπ4－x＝1123. ∵cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x ＝2cosπ2－π4－xcosπ4－x＝2cos4π＋xcosπ4－x， ∴cocsosπ4＋2xx＝2cosπ4－x＝1234.
3 10°.
解：(1) 原式＝sin8πsin38π＝sinπ8sinπ2－π8
＝sinπ8cos8π＝12·2sinπ8cosπ8
＝12sinπ4＝
2 4.
(2)原式＝12(1－2cos215°)＝－12cos30°＝－
3 4.
经典例题
题型一 给角求值
(3) 原式＝(cos215°－sin215°)·(cos215°＋sin215°)
－ 解析：因为 tanα＝－ ，所以 tan2α＝
＝
＝－ .
经典例题
题型一 给角求值
例 1 求下列各式的值：
(1)sin2 π－cos2 π；
(2)sin1π2cos1π2；
(3)
；
(4)cos20°·cos40°·cos80°.
解：(1)原式＝－(cos2 π－sin2 π)＝－cos π
＝－cos (π－ )＝cos ＝ . ππ π
经典例题
跟踪训练3
(1)若 θ∈(
题型三
)，化简
利用二倍角公式化简证明
的结果为( )
A．2sinθ
B．2cosθ C．－2sinθ
(1) C 解析：∵θ∈(
)，∴0>cosθ>sinθ，
∴
＝
＝
＝|sinθ＋cosθ|＋|sinθ－cosθ| ＝－(cosθ＋sinθ)＋cosθ－sinθ ＝－2sinθ.
当堂达标
2.已知 sin α＝3cos α，那么 tan 2α 的值为( A．2
3 C.4
) B．－2 D．－34
D 解析：因为 sin α＝3cos α，所以 tan α＝3， 所以 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×332＝－34.
当堂达标
3.已知 cos (α－ )＝ ，则 cos2α＝( )
经典例题
题型二 条件求值
例 2(1)已知 tan α＝2，则 tan 2α＝________；
(2)已知 0<α<π2，cosπ6＋α＝13，则 sin3π＋2α＝________.
解：(1)∵tan α＝2， ∴tan 2α＝1－2tatnanα2α ＝12－×222＝－43.
(2)∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<23π.
公式
简记
正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
S2α
余弦 cos2α＝ cos2α－sin2α
C2α
正切 tan2α＝
2tan α 1－tan2α
T2α
解读：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于 2 的情况都 成立，如 4α 是 2α 的二倍，α 是α2的二倍等.
自主学习
二．正弦的二倍角公式的变形 1.sin αcos α＝12sin 2α； 2.1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
＝cos215°－sin215°＝cos
30°＝
3 2.
(4) 原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
＝4sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°
＝4ssiinn2200°°＝4.
三．余弦的二倍角公式的变形
1.cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；
2.cos2α＝1＋c2os 2α；
3.sin2α＝1－c2os
2α .
小试牛刀
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．( √ ) (2)存在角 α，使得 sin2α＝2sinα 成立．( √ ) (3)对任意角 α，总有 tan2α＝1－2tatannα2α.( × ) (4)cos2α－sin2α＝1－2sin2α.( √ )
A．－
B．
C．－
D．
A 解析：∵cos(α－ )＝sinα＝ ，∴cos2α＝1－2sin2α＝－ .
当堂达标
4.函数 f x 2sin x cos2x （ x R ）的最大值为（
）
A． 3
2
B．1
C．3
D．4
C
解析：
f
x
2 sin
x
cos 2x
2 sin 2
x
2 sin
x
1
2
sin
x
θ2＝43，
所以 sin θ＝13，
2
所以 cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×13 ＝79.
当堂达标
6.已知 sin ( －x)＝ ，0＜x＜ ，则 cos2x＝________．
解析：因为 x∈(0， )，所以 －x∈(0， )，
又因为 sin( －x)＝ ，所以 cos ( －x)＝ ，
1 2
2
3 2
，
当 sin x 1时， f x 取得最大值为 3.故选：C.
当堂达标
5.已知 sin θ2＋cos θ2＝23 3，那么 sin θ＝
，cos 2θ＝
.
1 3
7 9
解析：因为 sin θ2＋cos θ2＝2 3 3，
所以sin θ2＋cos θ22＝43，即 1＋2sin
θ 2cos
课堂小结
1.二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 (1)升幂公式 1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2. (2)降幂公式 cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α.
课堂小结
2.要牢记二倍角公式的几种变形 (1)sin2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x； (2)cos2x＝sinπ2－2x＝sin24π－x＝2sin4π－xcos4π－x； (3)cos2x＝sinπ2＋2x＝sin24π＋x＝2sin4π＋xcos4π＋x.
小试牛刀
2.已知 cos x＝35，则 cos 2x 等于( )
7 A.25
√B．－275
24 C.25
D．－2254
3.sin 15°cos 15°＝
.
1 4
解析：sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.
4.已知 tanα＝－ ，则 tan2α＝________．
＝tanθ； (2) 3＋cos4α－4cos2α＝8sin4α.
证明： (1)左边＝ ＝ ＝tanθ＝右边 所以等式成立．
(2)左边＝3＋2cos22α－1－4cos2α ＝2(cos22α－2cos2α＋1) ＝2(cos2α－1)2 ＝2(1－2sin2α－1)2 ＝8sin4α＝右边 所以等式成立．
5.5.1 三角恒等变换 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
素养目标
学科素养
1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、
余弦、正切公式；
1.逻辑推理
2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明；
2.数学运算
3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．
自主学习
一．二倍角公式
三角函数
所以原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2α·cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα2·cosα2－sinα2
2cos2 ＝cos2α2－sin2α2＝cos α.
当堂达标
1.设 α 是第四象限角，已知 sinα＝－35，则 sin2α，cos2α 和 tan2α 的值分别为( )
A．－2245，275，－274