第六章 6.3等比数列及其前n项和

1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示(q ≠0). 2.等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －
1. 3.等比中项
如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，则G 叫做x 和y 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n
－m
(n ，m ∈N ＋).
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·
b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 仍是等比数列. 5.等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .
6.等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为 q n . 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )
(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列.( × )
(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列.( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n
，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )
1－a
.( × )
(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( × )
1.(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A.21 B.42 C.63 D.84 答案 B
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A.31 B.32 C.63 D.64
答案 C
解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.
3.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 C
解析 数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4 ＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.
4.(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于 . 答案 2n －1
解析 由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝8，
a 4＝1，
又∵数列{a n }为递增数列， ∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2
＝2n
－1.
5.(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 . 答案 27,81
解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172
(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝ . 答案 (1)B (2)4或－4
解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1
＝9，q ＝－13(舍去)，
∴S 5＝a 1(1－q 5)
1－q
＝4(1－1
25)
1－12
＝314.
(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝2
5，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12
.
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，
q ＝2，或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝－16，q ＝12
.
故a 3＝4或a 3＝－4.
思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.
(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5
a 7
等于( )
A.56
B.65
C.23
D.32
(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝ . 答案 (1)D (2)3n －
1
解析 (1)设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2，
所以a 5a 7＝a 4a 6＝32
.
(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1
＝3n －
1.
题型二 等比数列的判定与证明
例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.
(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.
又⎩
⎪⎨⎪⎧
S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 (n ≥2)， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1 (n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) (n ≥2). ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1 (n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －
1， ∴
a n ＋12n ＋1－
a n 2n ＝3
4
， 故{a n 2n }是首项为12，公差为3
4的等差数列. ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －
2. 引申探究
例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变探求数列{a n }的通项公式. 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，
∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，
当n ＝1时上式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －
1＝2n ，∴a n ＝2n －1.
思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证.
设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋).
(1)求a 2，a 3的值；
(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列.
(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；
当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.
综上，a 2＝4，a 3＝8.
(2)证明 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，① ∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1).②
①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2).
∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴
S n ＋2
S n －1＋2
＝2，
故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列. 题型三 等比数列的性质及应用
例3 (1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝ . (2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝31
32，则公比q ＝ .
答案 (1)51 (2)－1
2
解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 2
4， 得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，
所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.
又a n >0，所以a 4＋a 8＝51. (2)由
S 10S 5＝31
32
，a 1＝－1知公比q ≠±1， 则可得S 10－S 5S 5＝－132
.
由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5， 故q 5＝－132，q ＝－1
2
.
思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量.(2)等比数列的项经
过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1).
(1)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )
A.1
2 B.22
C. 2
D.2
(2)等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( ) A.1 B.2 C.3
D.4
答案 (1)C (2)C
解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25，
∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2
q
＝2，故选C.
(2)设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N ＋)项，则a 2k ＋1＝192，则S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1
q (a 2＋a 4＋…
＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126
q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×(－2)21－(－2)2＝255，
解得a 1＝3，故选C.
12.分类讨论思想在等比数列中的应用
典例 (12分)已知首项为3
2的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤13
6
(n ∈N ＋).
思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明. 规范解答
(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，
所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－1
2
.[2分]
又a 1＝3
2，所以等比数列{a n }的通项公式为
a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·3
2n .[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－1
2n ， S n ＋1
S n
＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋1
1－⎝⎛⎭
⎫－12n
＝⎩⎨⎧
2＋1
2n (2n
＋1)，n 为奇数，
2＋
1
2n
(2n
－1)，n 为偶数.
[6分]
当n 为奇数时，S n ＋1
S n 随n 的增大而减小，
所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝13
6
.[8分]
当n 为偶数时，S n ＋1
S n 随n 的增大而减小，
所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝25
12.[10分]
故对于n ∈N ＋，有S n ＋1S n ≤13
6
.[12分]
温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况. ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论. ③项数的奇、偶数讨论.
④等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论.
(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.
[方法与技巧] 1.已知等比数列{a n }
(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1
a n }也是等比数列. (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1. 2.判断数列为等比数列的方法
(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N ＋)⇔数列{a n }是等比数列；也可用a n a n －1＝q (q 是不等于0的
常数，n ∈N ＋，n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列.二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同.
(2)等比中项法：a2n＋1＝a n a n＋2(a n a n＋1a n＋2≠0，n∈N＋)⇔数列{a n}是等比数列.
[失误与防范]
1.特别注意q＝1时，S n＝na1这一特殊情况.
2.由a n＋1＝qa n，q≠0，并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.等比数列性质中：S n，S2n－S n，S3n－S2n也成等比数列，不能忽略条件q≠－1.
A组专项基础训练
(时间：35分钟)
1.已知等比数列{a n}中，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，则a6＋a7等于()
A.2
B.2 2
C.4
D.4 2
答案 C
解析因为a2＋a3，a4＋a5，a6＋a7成等比数列，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，所以(a4＋a5)2＝(a2＋a3)(a6＋a7)，解得a6＋a7＝4.
2.等比数列{a n}满足a n＞0，n∈N＋，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1等于()
A.n(2n－1)
B.(n＋1)2
C.n2
D.(n－1)2
答案 A
解析由等比数列的性质，
得a3·a2n－3＝a2n＝22n，从而得a n＝2n.
方法一log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2[(a1a2n－1)·(a2a2n－2)·…·(a n－1a n＋1)a n]＝log22n(2n－1)＝n(2n－1).
方法二取n＝1，log2a1＝log22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4，排除C，选A.
3.在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，a n－1a n a n＋1＝324，则n等于()
A.12
B.13
C.14
D.15
答案 C
解析设数列{a n}的公比为q，
由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12，
可得q9＝3，a n－1a n a n＋1＝a31q3n－3＝324，
因此q3n－6＝81＝34＝q36，
所以n ＝14，故选C.
4.若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，则a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020的值为( ) A.2 015·1010 B.2 015·1011 C.2 016·1010 D.2 016·1011
答案 C
解析 ∵lg a n ＋1＝1＋lg a n ，∴lg a n ＋1
a n
＝1， ∴
a n ＋1
a n
＝10，∴数列{a n }是等比数列， ∵a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，
∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝1010(a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010)＝2 016×1010.
5.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N ＋，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1
m －1，则数列{a n }的公比为( )
A.－2
B.2
C.－3
D.3
答案 B
解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m
S m ＝2，
与题中条件矛盾，故q ≠1.
∵S 2m
S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )
1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －
1
a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.
6.等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为 . 答案 3
解析 由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4
a 3
＝3.
7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝ . 答案 11
解析 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ， 则a 1(q 2＋q －2)＝0.
由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，
则S 5＝a 1(1－q 5)1－q
＝1－(－2)5
3＝11.
8.已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1
a n
，若b 10·b 11＝2，则a 21＝ . 答案 1 024
解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3
a 2，
∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2， ∵b 3＝a 4
a 3
，
∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1， ∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.
9.数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解 (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)， ∴
b n ＋1＋2
b n ＋2
＝2，又b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4， ∴数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列. ∴b n ＋2＝4·2n －
1＝2n ＋
1，∴b n ＝2n ＋
1－2. (2)由(1)知，a n －a n －1＝b n －1＝2n －2 (n ≥2)， ∴a n －1－a n －2＝2n －1－2 (n >2)， …，a 2－a 1＝22－2，
∴a n －2＝(22＋23＋…＋2n )－2(n －1)， ∴a n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－2n ＋2 ＝2(2n －1)2－1
－2n ＋2＝2n ＋1－2n .
∴S n ＝4(1－2n )1－2
－n (2＋2n )2＝2n ＋2
－(n 2＋n ＋4).
10.已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝λ，a n ＋1＝2
3a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数.
(1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列. 证明 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列， 则有a 22＝a 1a 3
，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4 ⇔49λ2－4λ＋9＝4
9λ2－4λ⇔9＝0，矛盾. 所以{a n }不是等比数列.
(2)b n ＋1＝(－1)n ＋
1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]
＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23
b n . 又λ≠－18，所以b 1＝－(λ＋18)≠0.
由上式知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23
(n ∈N ＋). 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23
为公比的等比数列. B 组 专项能力提升
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11.设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )
A.{a n }是等比数列
B.a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列
C.a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列
D.a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同
答案 D
解析 ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1
＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等.反之，若奇数项和偶数项分别成等比数
列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n
＝q ，从而{A n }为等比数列. 12.若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ . 答案 50
解析 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50.
13.数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N ＋，都有a n ＋m a m
＝a n ，则a 3＝ ；{a n }的前n 项和S n ＝ . 答案 8 2n ＋
1－2
解析 ∵a n ＋m a m
＝a n ， ∴a n ＋m ＝a n ·a m ，
∴a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；
令m ＝1，
则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，
∴数列{a n }是首项为a 1＝2，公比为q ＝2的等比数列，
∴S n ＝2(1－2n )1－2
＝2n ＋1－2. 14.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”.现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数： ①f (x )＝x 2：
②f (x )＝2x ；
③f (x )＝|x |；
④f (x )＝ln |x |.
则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为 .
答案 ①③
解析 设{a n }的公比为q ，验证
①f (a n ＋1)f (a n )＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，③f (a n ＋1)f (a n )＝|a n ＋1||a n |
＝|q |，故①③为“保等比数列函数”. 15.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N ＋.
(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；
(2)求T 2n .
解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，
∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，
∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12
a n . ∵
b n ＝a 2n ＋a 2n －1，
∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12
， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12
， ∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12
的等比数列. ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12
a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12
为公比的等比数列，
∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )
＝1－⎝⎛⎭⎫
1
2
n
1－
1
2
＋
1
2⎣
⎡
⎦
⎤
1－⎝⎛⎭⎫
1
2
n
1－
1
2
＝3－3
2n.。