2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修五学案：2.2-1 等差数列的概念

2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修五学案：2．2-1等差数列的概念．2.1等差数列的概念

学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．

知识点一等差数列的概念

思考给出以下三个数列：

(1)0,5,10,15,20；

(2)4,4,4,4，…；

(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.

它们有什么共同的特征？

梳理一般地，如果一个数列从第________项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．

知识点二等差中项的概念

思考所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：

(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.

梳理如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝a＋b

2

，我们把A＝

a＋b

2

叫做a和b的等

差中项．

知识点三等差数列的判定与证明

思考1如何判定有穷数列为等差数列？

思考2如何判定无穷数列为等差数列？

梳理一般地，要判定和证明数列{a n}为等差数列，只需证明a n＋1－a n＝d始终成立．

类型一等差数列的概念

例1判断下列数列是不是等差数列？

(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；

(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；

(3)1,2,1,2，…；

(4)1,2,4,6,8,10，…；

(5)a，a，a，a，a，….

反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n

－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．

＋1

跟踪训练1下列是等差数列的有________．(填序号)

①3,4,5,6,7,8，…；

②1，－1，－3，－5，－7，…；

③2,2,2,2，…；

④5,55,555,5555，….

类型二等差中项

例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．

反思与感悟在等差数列{a n}中，由定义有a n＋1－a n＝a n－a n－1(n≥2，n∈N*)，即a n＝

a n＋1＋a n－1

，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一2

项的等差中项．

跟踪训练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．

类型三等差数列的证明

例3已知数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5.求证{a n}是等差数列．

反思与感悟为了确保从第二项起，每一项减前一项的差始终是同一个常数．当证明项数较多或者无穷的数列为等差数列时，不宜逐项验证，而需证a n＋1－a n＝d.

跟踪训练3数列{a n}中，a n＝2n，求证{ln a n}为等差数列．

1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d ＝________.

2．已知在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于________．

3．等差数列{a n }中，已知a 1＝13

，a 2＋a 5＝4，则公差d 的值为________． 4．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，试证明{a n }不是等差数列．

1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法：

(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；

(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．

2．任意两个实数a ，b 的等差中项即为它们的平均值a ＋b 2

，等差数列{a n }中，从第2项起，每一项都是它前后邻项的等差中项．

答案精析

问题导学

知识点一

思考 从第2项起，每项减去它的前一项所得的差是同一个常数．

梳理

二 常数 公差

知识点二

思考 插入的数分别为3,2，

a ＋

b 2

，0. 知识点三

思考1 因为有穷数列项数有限，可逐项验证从第二项起，是否每一项减前一项所得的差始终相等即可．

思考2 因为无穷数列项数无限多，逐项验证不可行，需要证明a n ＋1－a n ＝d ，n ∈N *. 题型探究

例1 解 由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列． 跟踪训练1 ①②③

解析 由等差数列定义可知①②③均为等差数列．对于④，55－5≠555－55，故不是． 例2 解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，

∴b 是－1与7的等差中项，

∴b ＝－1＋72

＝3. 又a 是－1与3的等差中项，

∴a ＝－1＋32

＝1. 又c 是3与7的等差中项，

∴c ＝3＋72

＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.

跟踪训练2 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8.又由2m 和n 的等差中项为5，