新教材高中数学3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)函数的最大值、最小值教师用书人教A版必修一

第2课时 函数的最大值、最小值
问题导学
预习教材P79－P81，并思考以下问题：
1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？ 2．函数最大值、最小值的定义是什么？
1．函数的最大值
一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．
那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值． 2．函数的最小值
一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．
那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值． ■名师点拨
函数最大值和最小值定义中的两个关键词
(1)∃(存在)
M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2
(x ∈R )的最小值是0，有f (0)
＝0.
(2)∀(任意)
最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于
定义域内的全部元素，都有f (x )≤M (f (x )≥M )成立，也就是说，函数y ＝f (x )的图象不能位于直线y ＝M 的上(下)方．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( )
(3)若函数f (x )≤1恒成立，则f (x )的最大值为1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A ．－1，0
B ．0，2
C ．－1，2 D.12
，2 答案：C
函数f (x )＝1
x
在[1，＋∞)上( )
A ．有最大值无最小值
B ．有最小值无最大值
C ．有最大值也有最小值
D ．无最大值也无最小值
解析：选A.结合函数f (x )＝1
x
在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值．
函数y ＝2x 2
＋2，x ∈N *
的最小值是________． 解析：函数y ＝2x 2
＋2在(0，＋∞)上是增函数， 又因为x ∈N *
，所以当x ＝1时，
y min ＝2×12＋2＝4.
答案：4
图象法求函数的最值
已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈（－∞，0），
x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞）.
(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间； (2)根据函数的图象求出函数的最小值． 【解】 (1)函数的图象如图所示．
由图象可知f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间． (2)由函数图象可知，函数的最小值为f (0)＝－1.
图象法求最值的一般步骤
1．函数f (x )在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A ．－2，f (2)
B ．2，f (2)
C ．－2，f (5)
D ．2，f (5)
解析：选C.由函数的图象知，当x ＝－2时，有最小值－2；当x ＝5时，有最大值f (5)．
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2
－x （0≤x ≤2），2x －1
（x >2），求函数f (x )的最大值和最小值．
解：作出f (x )的图象如图．由图象可知，当x ＝2时，f (x )取最大值为2；
当x ＝12时，f (x )取最小值为－14.
所以f (x )的最大值为2，最小值为－14
.
利用函数的单调性求最值
已知函数f (x )＝
x －1
x ＋2
，x ∈[3，5]． (1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 【解】 (1)f (x )是增函数．证明如下： ∀x 1，x 2∈[3，5]且x 1<x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3（x 1－x 2）
（x 1＋2）（x 2＋2）
，
因为3≤x 1<x 2≤5，
所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．
所以f (x )在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3，5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝2
5
.
函数的最值与单调性的关系
(1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．
(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．
[注意] 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值．
(2019·福州检测)已知函数f (x )＝x 2＋1x
.
(1)判断函数f (x )在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数f (x )在[－3，－1]上的最大值． 解：(1)函数f (x )在[－3，－1]上为增函数． 理由：设－3≤x 1＜x 2≤－1，
f (x 1)－f (x 2)＝⎝
⎛
⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋1x 2
＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 2x 1
＝(x 1－x 2)⎝
⎛⎭
⎪
⎫x 1x 2－1x 1x 2，
由－3≤x 1＜x 2≤－1可得x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， 即有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 可得f (x )在[－3，－1]上为增函数． (2)因为函数f (x )在[－3，－1]上递增， 所以f (x )的最大值为f (－1)，即为－2.
函数最值的应用问题
某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产
产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：
R (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－0.4x 2
＋4.2x ，0≤x ≤5，x ∈N ，
11，x >5，x ∈N ，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖
掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )
＝⎩
⎪⎨⎪⎧－0.4x 2
＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，x ∈N ，
8.2－x ，x >5，x ∈N . (2)当x >5时，
因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，
当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2
＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，
所以当工厂生产4百台产品时，可使利润最大，最大利润为3.6万元．
某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖
出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大，最大利润是多少？(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)
解：设摊主每天从报社买进x (180≤x ≤400，x ∈N )份晚报，每月获利为y 元，则有y ＝0.20(18x ＋12×180)－0.35×12(x －180)＝－0.6x ＋1 188，180≤x ≤400，x ∈N .
因为函数y ＝－0.6 x ＋1 188在180≤x ≤400，x ∈N 上是减函数，所以x ＝180时函数取得最大值，最大值为y ＝－0.6×180＋1 188＝1 080.
故摊主每天从报社买进180份晚报时，每月获得的利润最大，为1 080元．
1.函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32
B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
C ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，f (0) D ．f (0)，f (3)
解析：选B.观察函数图象知，f (x )的最大值、最小值分别为f (0)，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32. 2．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A ．只有最大值 B ．只有最小值
C ．既有最大值，又有最小值
D ．既无最大值，又无最小值
解析：选D.f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
（x ≥0），
－x 2（x <0），画出
f (x )的图象可知(图略)，f (x )既无最大值又无最
小值．
3．若函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是1
4，则b ＝________．
解析：因为f (x )在[1，b ]上是减函数， 所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝1
4，
所以b ＝4. 答案：4
4．已知函数f (x )＝4x 2
－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1，2]上的值域．
解：因为f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所以函数f (x )＝4x 2
－mx ＋1的对称轴方程为x ＝m
8
＝－2，即m ＝－16.
又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． 所以f (x )在[1，2]上递增，
所以当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝4－m ＋1＝21； 当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝16－2m ＋1＝49. 所以f (x )在[1，2]上的值域为[21，49]．
[A 基础达标]
1．函数y ＝x －1
x
在[1，2]上的最大值为( )
A ．0 B.32 C ．2
D ．3
解析：选B.函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1
x
在[1，2]上是增函数，
所以函数y ＝x －1
x
在[1，2]上是增函数．
当x ＝2时，
y max ＝2－1
2＝32
.
2．(2019·河南林州一中期末考试)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1
－x 2＋2，x <1的最大值为( )
A ．1
B ．2
C.12
D.13
解析：选B.当x ≥1时，函数f (x )＝1
x
为减函数，此时f (x )在x ＝1处取得最大值，最大
值为f (1)＝1；当x <1时，函数f (x )＝－x 2
＋2在x ＝0处取得最大值，最大值为f (0)＝2.综上可得，f (x )的最大值为2，故选B.
3．若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2
D ．0
解析：选C.当a ＞0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a ＜0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.
4．已知函数f (x )＝－x 2
＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选C.因为f (x )＝－(x 2
－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2
＋4＋a ， 所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2. 所以f (x )在[0，1]上单调递增． 又因为f (x )min ＝－2， 所以f (0)＝－2， 即a ＝－2.
所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.
5．函数f (x )＝2－3
x
在区间[1，3]上的最大值是________．
解析：因为f (x )＝2－3
x
在[1，3]上为单调增函数，所以f (x )的最大值为f (3)＝2－1＝1.
答案：1
6．若函数f (x )＝x 2
－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________． 解析：函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是直线x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值，
由f (3)＝32
－6×3＋m ＝－3， 解得m ＝6. 故实数m 的值为6. 答案：6
7．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，
则隔墙的长度为_______m.
解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2
＋12x
＝－2(x －3)2
＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值18.
答案：3
8．求函数y ＝f (x )＝
x 2
x －3
在区间[1，2]上的最大值和最小值．
解：∀x 1，x 2，且1≤x 1<x 2≤2， 则f (x 1)－f (x 2)＝
x 21
x 1－3－
x 22
x 2－3
＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 2
2（x 1－3）（x 2－3）
＝
（x 2－x 1）[3（x 1＋x 2）－x 1x 2]
（x 1－3）（x 2－3）
，
因为1≤x 1<x 2≤2， 所以2<x 1＋x 2<4， 即6<3(x 1＋x 2)<12，
又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0，x 1－3<0，x 2－3<0， 故f (x 1)－f (x 2)>0. 所以函数y ＝
x 2
x －3
在区间[1，2]上为减函数，
y max ＝f (1)＝－12
，y min ＝f (2)＝－4.
9．已知函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．
(2)若y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2
－2x ＋2＝(x －1)2
＋1. 因为x ∈[－5，5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值为1， 当x ＝－5时，f (x )取得最大值为37.
(2)函数f (x )＝(x ＋a )2
＋2－a 2图象的对称轴为直线x ＝－a . 因为f (x )在[－5，5]上是单调的， 故－a ≤－5或－a ≥5.
即实数a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.
[B 能力提升]
10．设f (x )为y ＝－x ＋6和y ＝－x 2
＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值为________． 解析：在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图象，
由图可知f (x )的图象是图中的实线部分，观察图象可知此函数的最大值为6. 答案：6
11．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：
(1)确定x 与y )；
(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，
50a ＋b ＝12，解
得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－3，
b ＝162， 所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，
故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30，54]，x ∈N . (2)由题意得，
P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )
＝－3x 2
＋252x －4 860，x ∈[30，54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2
＋432，
当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，才能获得最大的日销售利润．
12．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，
f (1)＝－2
3
.
(1)求证：f (x )是R 上的单调减函数； (2)求f (x )在[－3，3]上的最小值． 解：(1)证明：∀x 1，x 2，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0， 所以f (x 2－x 1)<0，
又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，
所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]
＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，
所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，
所以f (x 2)<f (x 1)．
所以f (x )是R 上的单调递减函数．
(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数，
所以f (x )在[－3，3]上也是减函数，
所以f (x )在[－3，3]上的最小值为f (3)．
而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3，3]上的最小值是－2.
[C 拓展探究]
13．请先阅读下面材料，然后回答问题．
对应问题“已知函数f (x )＝1
3＋2x －x 2，问函数f (x )是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4，当＝1时，u 有最大值，u max ＝4，显然u 没有最小值．
所以当x ＝1时，f (x )有最小值14
，没有最大值． (1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．
(2)试研究函数y ＝1x 2＋x ＋2
的最值情况． (3)对于函数f (x )＝
1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，试研究其最值的情况． 解：(1)不正确．没有考虑到u 还可以小于0.
正确解答如下：
令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4.
当0＜u ≤4时，1u ≥14，即f (x )≥14
； 当u ＜0时，1u
＜0，即f (x )＜0. 所以f (x )＜0或f (x )≥14
. 即f (x )既无最大值，也无最小值．
(2)因为x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
＋74≥74， 所以0＜y ≤47，所以函数y ＝1x 2＋x ＋2的最大值为47⎝
⎛⎭⎪⎫当x ＝－12时，没有最小值． (3)对于函数f (x )＝
1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)． 令u ＝ax 2＋bx ＋c ，
①当Δ＞0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a
＜0； 当4ac －b 24a ≤u ＜0时.1u ≤4a 4ac －b 2
， 即f (x )≤4a 4ac －b 2； 当u ＞0时，即f (x )＞0.
所以f (x )＞0或f (x )≤4a 4ac －b 2， 即f (x )既无最大值，也无最小值．
②当Δ＝0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＝0，结合f (x )＝1u
知u ≠0， 所以u ＞0，此时1u
＞0，即f (x )＞0， f (x )既无最大值，也无最小值．
③当Δ＜0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＞0，即u ≥4ac －b 2
4a
＞0. 所以0＜1u ≤4a 4ac －b 2
， 即0＜f (x )≤4a 4ac －b 2， 所以当x ＝－b 2a 时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2，没有最小值． 综上，当Δ≥0时，f (x )既无最大值，也无最小值．
当Δ＜0时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2， 此时x ＝－ b 2a
)，没有最小值．。