2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

解：（1）计算得x甲=7，x乙=7；
s甲=1.73，s乙=1.10. （2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相 等，但s乙<s甲，这表明乙的成绩比甲的成 绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以 选乙参赛。
练习：在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打 出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4， 9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数 据的平均值和方差分别为________
样本数据 平均数 3 3 3 3 3 3
B
1 1 3 5 5 3
标准差
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
1 2
0
1.79
频率分布 直方图
3
4
5
数据没有离散度
数据离散程度很高
再看钢管内径尺寸的例子，它的样本平 均数是25.401，样本标准差是0.056，再 直方图中用虚线标出平均数所在的位置， 并画出距平均数两侧各一倍标准差和两倍 标准差的区间。可以看到大约有70%的钢 管内径尺寸落在距平均数两侧各一倍标准 差的区间内，即(x－s, x+s) 大约有95%的钢管内径尺寸落在距平 均数两侧各两倍标准差的区间内，即(x－ 2s, x+2s)。
六、小结： 1、用样本平均数估计总体平均数时，平均 数较大，数据的集中趋势所处的水平较高； 平均数较小，数据的集中趋势所处的水平较 低。 2、用样本标准差估计总体标准差时，标准 差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
9.5，0.016
（3）标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知，如果样本各数 据都相等，则标准差得0，这表明数据没 有波动幅度，数据没有离散性；若个体 的值与平均数的差的绝对值较大，则标 准差也较大，表明数据的波动幅度也很 大，数据的离散程度很高，因此标准差 描述了数据对平均数的离散程度。
A
分 数
2、一个容量为20的样本数据.分组后.组距与频 数如下：(0,20] 2;(20,30] 3, (30,40] 4; (40,50] 5; (50,60] 4; (60,70] 2。则样 本在(－∞,50]上的频率为： 7/10 ，
3、观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图
如图所示，则新生婴儿体重(2700,3000)的频
二、用样本的标准差估计总体的标准差 数据的离散程度可以用极差、方差或 标准差来描述。
为了表示样本数据的单位表示的波动 幅度，通常要求出样本方差或者它的算 术平方根.
（1）方差：设在一组数据，x1，x2，…， xn中，各数据与它们的平均数x的差的平 方分别是 ( x x ) , ( x x ) , , ( x x ) 那么我们用它们的平均数，即
2 2 2 1 2 n
s
2
1 n
[( x1 x ) ( x 2 x ) ( x n x ) ]
2 2 2
来衡量这组数据的波动大小，并把它 叫做这组数据的方差，一组数据方差越 大，则这组数据波动越大。
（2）标准差：我们把数据的方差的算术 平方根叫做这组数据的标准差，它也是一 个用来衡量一组数据的波动大小的重要的 量。
（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平 均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该 厂的工资水平吗？为什么？
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所 列出的数据可见，只有经理在平均数 以上，其余的人都在平均数以下，故 用平均数不能客观真实地反映该工厂 的工资水平。
s
1 n
[( x1 x ) ( x 2 x ) ( x n x ) ]
2 2 2
例2. 计算数据5，7，7，8，10，11的标准差.
5+7+7+8+10+11 =8 解：S1 x= ——————— 6
例5. 从甲、乙两名学生中选拔一人参加 射击比赛，对他们的射击水平进行测试， 两人在相同的条件下各射击10次，命中 环数如下﹕ 甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. （1）计算甲、乙两人射击命中环数的平 均数和标准差； （2）比较两人的成绩，然后决定选择哪 一人参赛.
2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征
课前检测 1、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含 90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图，若 130～140分数段的人数为90人；则90～100分数 段的人数为： 810 ；
频率
0.45
0.15
0.05
90 100 110 120 130 140
3、平均数: 一般地，如果n个数 x1 , x 2 , ..., x n ，那
么， x
1 n ( x1 x 2 ... x n ) 叫做这n个数的平均数。
众数、中位数、平均数都是描述一组数 据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不 同，其中以平均数的应用最为广泛.
巩固练习 1、求下列各组数据的众数 （1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 众数是：3和8 （2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9 众数是：3 2、求下列各组数据的中位数
s
s 2s x
2s
甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射 箭20次，三人的测试成绩如下表: 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4
s1，s2，s3分别表示甲、
乙、丙三名运动员这次 测试成绩的标准差，则 有( B ) A. s3＞s1＞s2 B. s2＞s1＞s3 C. s1＞s2＞s3 D. s2＞s3＞s1
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）。
三
人员
众数、中位数、平均数的简单应用
经理 管理人 员 250 6 1500 高级技 工 220 5 1100 工人 学徒 合计
例 某工厂人员及工资构成如下：
周工资 2200 1 人数 2200 合计 200 100 10 1 23 2000 100 6900
你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”
这句话应当怎么解释？
答:这个企业的老板以员工平均工资收入水 平去描述他们单位的收入情况。我觉得这 是不合理的，因为这些员工当中，少数经 理层次的收入与大多数一般员工收入的差 别比较大，所以平均数不能反映该单位员 工的收入水平。这个老板的话有误导与蒙 骗行为。
率为： y 0.3 ；
0.001
2400 2700 3000 3300 3600 3900
X
体重
一、复习众数、中位数、平均数的概念
1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数． 2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处 在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均 数）叫做这组数据的中位数．
1
1．90
1
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。 解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多， 即这组数据的众数是1.75． 上面表里的17个数据可看成是按从小到即这组 数据的中位数是1.70； 这组数据的平均数是
x 1 17 (1 .5 0 2 1 .6 0 3 ... 1 .9 0 1) 1 .6 9 米
（1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 中位数是：5 （2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9 中位数是：4
3、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名 运动员的成绩如下表所示：
成绩(米)
人数
1．50 1．60
2 3
1．65
2
1．70
3
1．75
4
1．80
1
1．85