第04讲 简单的三角恒等变换(解析版)

第04讲简单的三角恒等变换 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：三角函数式的化简
高频考点二：三角函数求值问题
角度1：给角求值型
角度2：给值求值型
角度3：给值求角型
高频考点三：三角恒等变换的应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第04讲简单的三角恒等变换（精练）
1、半角公式
（1）2cos 12
sin
α
α
-±=. （2）2cos 12
cos
α
α
+±=. （3）α
α
α
cos 1cos 12
tan
+-±
=.
2、万能公式（拓展视野）
（1）,2
tan 12tan
2sin 2α
α
α+=
（2）,2
tan 12tan 1cos 22
α
αα+-=
（3）,2
tan 12tan
2tan 2
α
α
α-=
其中2()k k Z αππ≠+∈
3、和差化积公式（拓展视野）
cos cos 2cos
cos
22cos cos 2sin sin
22
sin sin 2sin cos
22sin sin 2cos sin
22αβ
αβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ+-+=+--=-+-+=+--=
4、积化和差公式（拓展视野）
1
cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-
1
sin sin [cos()cos()]2
αβαβαβ=-+--
1
sin scos [sin()sin()]2
αβαβαβ=++-
1
cos ssin [sin()sin()]2
αβαβαβ=+--
1．（2022·全国·高二课时练习）若cos α＝23
，α∈(0，π)，则cos 2
α
的值为（ ）
A B C D 【答案】C 【详解】 由题(0,)απ∈,则(0,)22α
π∈，∴cos 02
α
>， cos
2
α
=
=
故选：C.
2．（2022·全国·高一专题练习）cos αα化简的结果可以是（ ） A ．1cos 26πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭
B ．2cos 3πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
C ．1cos 23πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D ．2cos 6πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【答案】B 【详解】
解：1cos 2cos 2cos 23πααααα⎛⎫⎛⎫
==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 故选：B.
3．（2022·全国·)cos 75sin 75︒+︒的值为（ ） A ．1
2 B ．12
-
C D ． 【答案】C 【详解】
)()cos 75sin 7545os 75cos30︒︒︒︒=-+=︒=故选：C.
4．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高一阶段练习）已知α为锐角，且sin :sin 8:52
=α
α，则cos α的值
为（ ） A ．45
B ．
825
C ．
1225
D ．
725
【答案】D 【详解】 由题意知：2cos sin
:sin
8:52
2
2
α
α
α
=，由α为锐角，即4cos
2
5
α
=
， ∴27cos 2cos 12
25
α
α=-=
. 故选：D
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期中）若tan ,m α=则sin 2α的值是（ ） A ．2
21m
m ±
+ B ．
2
21m
m + C ．2
21m
m ±
- D ．
2
21m
m - 【答案】B 【详解】
2222
2sin cos 2tan 2sin 2sin cos 1tan 1m
m ααααααα=
==+++.
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知3,22a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos 22αα-=，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）
A ．
B ．
C
D 【答案】A 【详解】
sin
cos 22a a -=
51sin 3α-=， 2
sin 3α∴=-，
又3,
2π
απ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，
sin cos 2παα⎛⎫
∴+== ⎪⎝⎭
故选：A
高频考点一：三角函数式的化简
例题1．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））化简计算：
sin58sin13cos45
cos13
︒-︒︒
=
︒
___________．
2
【详解】
解：
()
sin4513sin13cos45
sin58sin13cos45
cos13cos13
︒+︒-︒︒
︒-︒︒
=
︒︒
，
sin45cos13cos45sin13sin13cos45
cos13
︒︒+︒︒-︒︒
=
︒
，
sin45cos13
sin45
cos13
︒︒
==︒=
︒
故答案为：
2
例题2．（2022=___________．
【答案】4
【详解】
()
2sin60204sin40
4
1sin40
2sin20cos20
2
︒-︒︒
===
︒
⨯︒︒
故答案为：4
题型归类练
1．（2022·湖北·=（）
A B．C D1
【答案】A
【详解】
cos9050
︒︒︒
-︒
==
故选：A
2．（2022·海南海口·模拟预测）若tan tan2
αβ
⋅=，则
()
()
cos
cos
αβ
αβ
-
+
的值为（）
A．3-B．
1
3
-C．
1
3
D．3
【答案】A 【详解】
由题意得，
()
()
cos cos cos sin sin
cos cos sin sin
cos
αβαβαβ
αβαβ
αβ
-+
=
-
+
1tan tan12
3
1tan tan12
αβ
αβ
++
===-
--．
故选:A
高频考点二：三角函数求值问题
角度1：给角求值型
例题1．（2022
sin 40sin80
cos40cos60
︒︒
⋅
=
+
（
）A．B
．
1
2
-C D．1
2
【答案】
C
【详解】
因为
22
2
1
20sin20
sin40sin80sin6020sin602022
13
cos40cos60cos402sin20
22
︒︒
︒︒︒︒︒︒
︒︒
︒︒
-
⋅-⋅+
==
++-
）（）
（）（）
222
22
313
cos20sin20sin201
444
332
2sin202sin20
44
︒︒︒
︒︒
--
==
=
--
（）（）
，所以原式=
故选：C
例题2．（2022
1
sin170
-=
︒
________.
【答案】4
-
112sin(1030)
1
sin170sin10sin20
2
︒-︒
===
︒︒︒
4sin(20)
4
sin20
-︒
==-
︒
．
故答案为4
-．
例题3．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）计算求值：
(1)
(
2cos1023cos100
sin10
--
(2)已知α、β均为锐角，
1
sin
7
α=，()
cosαβ
+=sinβ的值．
【答案】
(1)
(1)()()2cos1023cos 100
2cos1023cos 9010
2cos10
23cos100
sin10
1sin10
1sin10
---+-==
--
()
134cos10sin104cos 6010222cos1023sin10cos5sin 5sin1012sin 5cos5
⎛⎫+ ⎪
-+⎝⎭==
-
-
)
4cos50
4cos50
2245cos5sin 45cos5
2cos50
=
=-．
(2)解：α
、β都为锐角，则0αβ<
+<π，
()11sin
14αβ
∴+
===，cos α=， ()()()111sin sin sin cos sin cos 147βαβαα
βαααβ∴=+-=+
-+=
=⎡⎤⎣⎦ 角度1题型归类练
1．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））22sin110cos250
cos 25sin 155
-的值为（ ）
A ．1
2
-
B ．1
2
C D ． 【答案】A 【详解】
原式2211sin140sin40
sin70cos70122cos 25sin 25cos50sin402-==-=-=--. 故选：A
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列选下选项中，值为14
的是（ ）
A ．cos72cos36︒︒
B ．
1sin 50︒C ．5sin
sin
12
12
π
π D ．2
2
cos
sin 12
12
ππ-
【答案】AC 【详解】
对于A 中2sin 36cos36cos72cos36cos722sin 36︒︒︒︒︒=
︒2sin 72cos72sin1441
4sin 364sin 364
︒︒︒===︒︒.
对于B
中原式12cos5050212sin 50cos502⎛⎫︒︒ ⎪⎝
⎭==⨯︒︒
2sin802sin80411sin100sin8022︒︒
===︒︒. 对于C 中
sin
2sin
cos
5112
12sin
sin
sin cos 12
121212
2
24
6π
π
π
π
πππ===
=. 对于D
中22
πcos sin cos
12
12
6π
π
-=故选：AC.
3．（2022·全国·高三专题练习）()tan30tan70sin10︒+︒︒=___________.
()sin30sin70tan30tan70sin10(
)sin10cos30cos70︒︒
︒+︒︒=+︒︒︒
(sin30cos70cos30sin70)sin10cos30cos70︒︒+︒︒
=
︒︒
=
==
角度2：给值求值型
例题1．（2022·河南商丘·三模（文））已知tan 3α=-，则sin 21cos 2α
α
=-（ ）
A ．3
B ．1
3
C ．13
-
D ．-3
【答案】C 【详解】
2sin 22cos sin cos 11
1cos 22sin sin tan 3
αααααααα====--．
故选：C
例题2．（2022·北京八中高一期中）设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的值为________，
sin 23πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为________.
【答案】 35
##0.6 24
25##0.96
【详解】
α为锐角，则24
0,
,cos()266
365
ππ
π
ππααα<<<+
<
+=， 3
sin()65
πα∴+=，
24
sin(2)sin 22sin()cos()366625ππππαααα⎡⎤⎛⎫∴+=+=++= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦．
例题3．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，,44ππα⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭.
(1)求sin α的值；
(2)
求()sin cos 4cos 2παααα
⎛
⎫+⋅+ ⎪⎝
⎭的值. 【答案】
1 (1)解：因为tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以
tan tan
421tan tan 4
π
απα+=-，解得1tan 3α= 因为,44ππα⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，所以0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又22sin 1tan cos 3sin cos 1
ααααα⎧
==⎪⎨
⎪+=⎩，
解得sin α=
sin α= (2)
解：()
sin cos 4cos 2παααα
⎛
⎫+⋅+ ⎪⎝
⎭
()
22cos cos sin sin sin cos 44cos sin ππαααααα
⎫-⋅+⎪⎝⎭=
- ()()()()
cos sin sin cos 1
cos sin sin cos αααααααα-⋅+=
=-⋅+
角度2题型归类练
1．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3
sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos2=α（ ）
A ．
2425
B ．2425
-
C ．
725
D ．725
-
【答案】B 【详解】
解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3
sin 455
α︒+=，
所以()4cos 455
α︒+==-，
所以()()()3424
sin 2452sin 45cos 4525525
ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭。

即()24sin 90225α︒+=-，所以24
cos 225
α=- 故选：B
2．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知sin 6πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）
A ．2
9
-
B ．59
-
C ．29
D ．59
【答案】B 【详解】
解：因为sin 6πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
所以25cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛
⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
所以5sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
故选：B.
3．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知1sin 24
α=，且42ππ
α<<，则cos sin αα-=________．
【答案】【详解】
∵1sin 22sin cos 4
ααα==
， ∴()2
13cos sin 12sin cos 144
αααα-=-=-=， 因为
4
2
π
π
α<<
，
所以cos sin αα<，则cos sin 0αα-<，
所以cos sin αα-=
故答案为：4．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知π3sin 65α⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值为___________.
【答案】725
【详解】
因为π3sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππ7cos 212sin 3625⎛⎫⎛
⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，所以πsi π7co n 2s 2325
6⎛⎫-=
⎛⎫+= ⎝⎪⎪⎭⎝⎭αα. 故答案为：
725
. 5．（2022·北京市第二十五中学高一期中）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，sin α，且()1tan 3αβ+=．
(1)求sin 4πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值；
(2)求cos2α的值； (3)求tan β的值． 【答案】
(2)35(3)17-
(1)
解：因为sin α0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以cos α== 所以sin sin cos cos sin 444πππααα⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
=
(2)
解：2
23
cos 212sin 125αα=-=-⨯=⎝⎭
(3)解：由（1
）可得sin 1
tan cos 2
ααα=
==， 又()1
tan 3
αβ+=，
所以()()()tan tan tan tan 1tan tan αβα
βαβααβα
+-=+-=
⎡⎤⎣⎦++
11132117132
-==-+⨯ 角度3：给值求角型
例题1．（2022
·陕西·西安中学高一期中）若1cos ,sin(),0722ππ
ααβαβ=+=<<<<，则角β的
值为（ ）
A ．
3
π B ．
512
π C ．6
π
D ．
4
π 【答案】A 【详解】 ∵0,02
2
π
π
αβ<<
<<
，
0αβπ∴<+<， 由1cos 7α=
，(
)sin αβ+=
sin α=11cos()14αβ+=±， 若11
cos()14
αβ+=
， 则sin sin[()]βαβα=+-
sin()cos cos()sin αβααβα=+-+
1110714-<， 与sin 0β>矛盾，故舍去， 若11
cos()14
αβ+=-
， 则cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++
111147=-
⨯1
2=， 又(0,)2
π
β∈，
3
π
β∴=
.
故选：A.
例题2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）设0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且11tan ,tan 73αβ==，
则2αβ+=（ ） A ．
4
π
B ．
3
π C ．
34
π D ．
54
π 【答案】A 【详解】
因为21133tan ,tan tan 2173419αββ==⇒=
=-，所以13
42174tan(2)113285174
αβ+
++===--⨯，且
30tan 212(0,)44π
ββ<=
<⇒∈，所以32(0,)4παβ+∈，则24
παβ+= 故选：A ．
例题3．（2022·江苏盐城·高一期中）已知23sin 2sin 12α
α=-
(1)求sin 2cos2αα+的值；
(2)已知(0,)απ∈，,2πβπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，22tan tan 10ββ--=，求αβ+的值.
【答案】(1)1
5
(2)74αβπ+= (1)因为2
3sin 2sin 12
α
α=-，
所以3sin cos αα=- 所以1
tan 3
α=-
又因为22222sin cos cos sin sin 2cos2sin cos αααααααα+-+=
+=222tan 1tan 1tan αα
α+-+ 所以11211
39sin 2cos 21519
αα⎛⎫
-+-
⎪⎝⎭+==+ (2)因为,2πβπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以tan 0β<
因为22tan tan 1(2tan 1)(tan 1)0ββββ--=+-= 所以1
tan 2
β=-
又因为1(0,),tan 3
απα∈=-，所以
2
απ
<<π 所以11tan tan 23tan()11ta 1n tan 16
αβ
αβαβ--
++=
--=-= 由,22πβππαπ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<<⎪⎩，得2παβπ<+< 所以74
αβπ
+=
角度3题型归类练
1．（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））
若sin 2α(
)sin βα-=，且π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
则αβ+=（ ） A ．
7π4
B ．π4
C ．
4π3
D ．
5π3
【答案】A 【详解】
因为π,π4α⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,2π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
因为sin 2α=
π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
所以cos 2=α因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以π5,π24βα⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦，
因为()sin βα-=
所以()cos βα-=所以()()()()cos cos 2=cos cos2sin sin 2βαβααβααβαα+=-+---
=⎛⎛⨯ ⎝⎭⎝⎭因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
所以5π,2π4βα⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，所以7π4αβ+=. 故选：A
2．（2022·江苏·金陵中学高一期中）已知(),0,παβ∈，()5sin 6αβ-=，
tan 1tan 4α
β=-，则αβ+=（ ） A ．5
π6
B ．π
C ．7π6
D ．
11π6
【答案】C 【详解】 因为(),0,παβ∈，tan 1
0tan 4
αβ=-<， 所以ππ0,π22αβ<<
<<或ππ
0,π22
βα<<<<；
若ππ
0,π22
αβ<<
<<，则π0αβ-<-<， 此时()sin 0αβ-<（舍）； 若ππ
0,π22
βα<<
<<，则0παβ<-<， 此时()sin 0αβ->（符合题意）， 所以ππ
0,π22
βα<<
<<， 即π3π,22⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
αβ；
因为()5sin 6αβ-=且tan 1tan 4αβ
=-，
所以5sin cos cos sin 6αβαβ-=且
sin cos 1cos sin 4αβ
αβ
=-， 解得1
sin cos 6
αβ=
，2cos sin 3αβ=-，
则()1
sin 2
αβ+=-，
所以7π6
αβ+=. 故选：C.
3．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知3sin 44ππαβ⎛⎫⎛⎫
-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且
3,,0,444πππαβ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
，求αβ-的值为_____．
【答案】
4
π##1π4 【详解】
3,,0,444πππαβ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则30,4παβ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
，注意到 344ππαβπαβ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭
，于是
33sin()sin sin 4444ππππαβπαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不妨记
3,4
4x y π
παβ=
-=
+，于是sin()sin()sin cos sin cos x y x y y x αβ-=+=+，而,0,sin 2x x π⎛⎫
∈-= ⎪⎝⎭
，于是
cos x =
3,,sin 4y y ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
cos y =
sin()sin()sin cos sin cos x y x y y x αβ-=+=+=
，而30,
4παβ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
，于是 4
αβ-=
π. 故答案为：
4
π.
4．（2022·江苏·高一期中）已知()sin 2αβ+=，()11cos 214αβ+=-，,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，,04πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ-=________． 【答案】
3
π
【详解】
因为,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
ππα，,04πβ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，则24παβπ<+<，242ππαβ-<+<，344ππαβ<-<，
所以，()1cos 27αβ+=
，()sin 2αβ+== 所以，()()()()()()()cos cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2αβαβαβαβαβαβαβ-=+-+=+++++⎡⎤⎣⎦
1111
1472
=-
⨯+=， 因此，3
π
αβ-=.
故答案为：
3
π
. 5．（2022·上海市大同中学高三开学考试）若()0,απ∈，且cos 2sin 4παα⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则α的值为___________.
【答案】π4或
7π
12
由题意知， cos 2sin()4
π
αα=-
则22cos sin sin )αααα-=
-，
即(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+-=
-， 当cos sin =0αα-时，cos =sin αα，即tan 1α=， 由(0,)απ∈，得4
πα=
；
当cos sin 0αα-≠
时，cos sin 2
αα+=，
)4
π
α+1sin()42πα+=， 由(0,)απ∈，得5(,)444
π
ππα+∈，所以546ππα+=，得7π12α=
. 故答案为：
4
π或712π
6．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知3cos()cos sin 22()sin(3)sin()cos()
x x x f x x x x ππππππ⎛⎫⎛
⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
+-+. (1)若1
()2
f α=
，求2sin cos 2sin ααα+的值； (2)若()2f αβ-=-，()3f α=-且0,,,22⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ππαβπ，求2αβ-的值.
【答案】(1)6
5(2)34
π-
(1)3cos()cos sin (cos )(sin )(cos )cos 22()sin(3)sin()cos()(sin )(sin )(cos )sin x x x x x x x f x x x x x x x x
ππππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===-+-+--- 由已知，cos 1
()sin 2
f ααα=-
=，得tan 2α
所以22
22sin cos 2sin sin cos 2sin sin cos ααα
ααααα++=
+ 22tan 2tan tan 1
ααα+=
+286
415-+==+ (2)由()2f αβ-=-，()3f α=-，可知1tan()2αβ-=
，1
tan 3
α=， ∴11
tan()tan 32tan(2)tan[()]11
1tan()tan 16αβααβαβααβα+
-+-=-+=
==---. ∵0,,,22⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ππαβπ，∴0παβ-<-<.
而1tan()02
αβ-=
>，∴2π
παβ-<-<-.
∴2(,0)αβπ-∈-，∴324
παβ-=-
. 高频考点三：三角恒等变换的应用
例题1．（2022·江苏省沙溪高级中学高一期中）已知()3sin 2cos 344f x x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-+-+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
(1)求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭的值；
(2)若锐角α满足()f α=sin2α的值.
【答案】(1)0(1)接由题意得：
()3
sin 2cos 344f x x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 3
sin 2cos[()]344x x x ππππ⎛⎫⎛
⎫---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
sin 2cos 344x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭=
sin 2232x x ππ⎛⎫⎛
⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=
sin2cos cos 2sin
3
3
x x x π
π
-=
1sin 222x x =
sin(2)3
x π
=+
故sin(2)0333f πππ⎛⎫
=⨯+= ⎪⎝⎭
(2)(0,)2πα∈，()f α=
()sin(2)3
f π
αα∴=+
=
42(,)333
π
ππα∴+
∈
又
sin(2)
3πα+=<
242(
,)3
33
π
ππα∴+
∈
cos(2)3π
α∴+==
sin2sin 2sin 2cos cos 2sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
12=
例题2．（2022·河南洛阳·高二期中（文））某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值等于同一个常数：
①22sin 15sin 15sin15cos15︒-︒-︒︒； ②22sin 10sin 20sin10cos 20︒-︒-︒︒；
③()()22
sin 20sin 50sin 20cos50-︒-︒--︒︒； ④()()22
sin 100sin 70sin100cos 70︒--︒-︒-︒.
(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】(1)1
4
-
(2)推广的恒等式为221
sin sin (30)sin cos(30)=4
αααα---︒--，证明见解析. (1)22
11sin 15sin 15sin15cos15=0sin 3024
︒-︒-︒︒-=-
(2)观察①，②，③，④，结合(1)，归纳可得221
sin sin (30)sin cos(30)4
αααα---︒-=-
证明如下：
22sin sin (30)sin cos(30)αααα---︒-
1cos 21cos(602)
sin (cos30cos sin 30sin )22
ααααα---=
--+
111cos 2+cos(602)2(1cos 2)224
αααα=----
1111cos 2+cos 222cos 22444ααααα=--+
14
=-.
例题3．（2022·江西·南昌十中高一期中）如图，圆心角为3
π
的扇形AOB 的半径为2，点C 是弧AB 上一点，作这个扇形的内接矩形CDEF ．
(1)求扇形AOB 的周长；
(2)当点C 在什么位置时，矩形CDEF 的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】(1)
243π+(1)由题，弧AB 长为
223
3
π
π
⨯=
，故扇形AOB 的周长为：243π+； (2)设,0,,2
3AOC OC πθθ⎛⎫
∠=∈= ⎪⎝
⎭，则cos OF OC θ=⋅，2sin sin ,tan 60DE DE CF OC OE θ==⋅==
所以2cos
EF OF OE θ=-=，
所以矩形CDEF 的面积)1cos 22cos 2sin 2sin 2
3S EF CF θθθθ-⎛
=⋅=⋅=- ⎝
12cos 2226πθθθ⎫⎛
⎫++≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
5
2,666π
ππθ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭，所以当6πθ=时，S
即当C 在弧AB 中点时，矩形CDEF 题型归类练
1．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数()sin cos f x x x =-(R)x ∈ . (1)求函数()()y f x f x =⋅-的最小正周期及其对称中心；
(2)求函数2
2[()]4y f x f
x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.
【答案】(1)周期π，对称中心为,0(Z)42k k ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
(2)[2 (1)函数22()()cos sin cos 2y f x f x x x x =⋅-=-=，所以最小正周期22
T π
π==； 令2(Z)2
x k k π
π=
+∈，解得(Z)4
2
k x k π
π
=
+
∈， 所以对称中心为,0(Z)42k k ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
；
(2)函数2
22
2[()]sin cos )[sin()cos()]44(4y f x f
x x x x x πππ⎡
⎤
⎛⎫=++-++-+ ⎪
⎢⎭⎣=⎥⎝⎦ 1sin 21sin(2)2
x x π
=-+-+ 2sin 2cos2x x =--
224x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
因为,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，所以32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，
故sin 2[4x π⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭，
故[2y ∈.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2
cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，若002(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos2x 的
值.
【答案】 【详解】
()21cos 21cos 2sin cos 2cos sin 2sin 233322x f x x x x x x πππ-⎛
⎫=++=-+=+ ⎪⎝
⎭,
因为02()5f x =，所以012225x +=，解得：0sin 2x =
，
由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得02,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则0co s 2x == 3．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知扇形AOB （如图所示），圆心角4
AOB π
∠=
，半径2OA =，
在弧AB 上取一点P ，作扇形AOB 的内接矩形PNDM ，记POA x ∠=，矩形PNDM 的面积为y .
(1)写出y 与x 的函数关系式，并化简；
(2)求矩形PNDM 面积的最大值，并求此时x 的取值.
【答案】(1)224y x π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，04x π<<(2)当8x π
=时，max 2y =
(1)解：在直角OPM 中，2sin PM x =，2cos OM x =，
在直角OND △中，tan
14
ND OD
π
=
=， 又PM ND =，
所以2cos 2sin DM OM OD x x =-=-，
所以()2
2sin 2cos 2sin 4sin cos 4sin y PM DM x x x x x x =⋅=⋅-=-
1cos 22sin 242sin 22cos 222224x x x x x π-⎛
⎫=-⨯
=+-=+- ⎪⎝
⎭，
即224y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，04x π⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭.
(2)解：因为04
x π
<<，所以
324
4
4
x π
π
π<+
<
，所以当242x ππ
+=，即8x π=
时，max 2y =.
1．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2
B ．偶函数，且最大值为2
C ．奇函数，且最大值为9
8
D ．偶函数，且最大值为9
8
【答案】D
由题意，()()()()cos cos 2cos cos2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，
又2
2
19()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛
⎫=-=-++=--+ ⎪⎝
⎭，
所以当1
cos 4x =时，()f x 取最大值98
. 故选：D.
2．（2021·全国·高考真题（文））2
2π5π
cos cos 1212
-=（ ） A ．1
2 B C D 【答案】D 由题意，2
2
22225cos
cos cos cos cos sin 12
12122121212π
ππππππ⎛⎫
-=--=- ⎪⎝⎭
cos
6
π
==
故选：D.
3．（2021·全国·高考真题（文））若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫
∈= ⎪-⎝⎭
，则tan α=（ ）
A
B
C
D
【答案】A cos tan 22sin α
αα
=-
2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααα
αααα
∴=
==--， 0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得
1sin 4α=
，
cos α
∴==
sin tan cos ααα∴==
故选：A.
4．（2021·全国·高考真题（文））函数()sin cos 33
x x
f x =+的最小正周期和最大值分别是（
） A ．3π B ．3
π和2 C ．6π D ．6π和
2
【答案】C 【详解】
由题，()sin cos 3s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫
⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2
6
1
3
T ，
故选：C ．
5．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()
sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）
A ．65
-
B ．25
-
C ．25
D ．65
【答案】C
将式子进行齐次化处理得：
()()()22
sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ
+++==+++ ()2222
sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145
θθθθθθθθ++-====+++． 故选：C ．
6．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.
（1）求函数2
2y f
x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的最小正周期；
（2）求函数()4y f x f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.
【答案】（1）π；（2
）1. （1
）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛
⎫
=+=+
⎪⎝⎭
，
则2
2
23332sin 1cos 21sin 22442y f
x x x x x ππππ⎡
⎤
⎤⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫
=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪
⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
⎣
⎦⎛⎫
⎪⎭⎦⎝
， 所以该函数的最小正周期22
T π
π=
=; （2）由题意，(
)2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
22sin cos x x x x x x ⎫=⋅+=⎪⎪⎝⎭
1cos 2222sin 224x x x x x π-⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭， 由0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以当24
2
x π
π
-=
即38x π=
时，函数取最大值1
一、单选题
1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期中）若0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值为（ ）
A B C D 【答案】C
解：因为0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以2,
663πππα⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
， 又1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，
所以11sin sin 6632ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=
-⨯= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦. 故选：C.
2．（2022·江西·
临川一中高三期中（文））已知cos 12πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）
A ．2
9-
B ．13
-
C ．29
D ．13
【答案】B 由题，因为223122π
ππθθ⎛
⎫+
=-+ ⎪⎝
⎭，
所以2
21sin 2sin 2cos22cos 121312212123πππππθθθθ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-+=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭
， 故选：B
3．（2022·广东汕头·二模）若sin160tan 203λ+=，则实数λ的值为（ ） A ．4 B
．C
．D
【答案】A 由已知可得)
()2sin 60cos 20cos60sin 20tan 203cos 20sin 201sin 20cos 2018020
sin 40
2
λ--=
=- 4sin 40
4sin 40
=
=.
故选：A.
4．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知tan()2,tan()3αβαβ+=-=，则tan 2β=（ ） A ．17
B ．1-
C ．1
D ．17
-
【答案】D
解：因为tan()2,tan()3αβαβ+=-=，所以()()()()()()tan tan 231
tan 2tan 1tan tan 1237
αβαββα
βαβαβαβ+---=+--=
==-⎡⎤⎣⎦++-+⨯；
故选：D
5．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）函数()2sin cos 3f x x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的
最大值为（ ） A ．0
B ．1
2
C ．1
D ．2
【答案】C
()12sin cos 2sin cos 32f x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)
21cos 211sin cos sin 2sin 22222x x x x x x x -==-= sin 23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
06
x π
≤≤
，则
223
3
3x π
π
π
≤+
≤
，因此，()max sin 12
f x π==. 故选：C.
6．（2022·河南·模拟预测（理））已知cos cos 3παα⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）
A B ．C D ．【答案】B
因为cos cos 3παα⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭cos cos sin sin cos 33ππααα-+=
所以1cos cos 2ααα+=
，所以3cos 2αα=
即cos 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭ 故sin sin ++cos +32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. 故选：B.
7．（2022·广东茂名·模拟预测）已知1
sin15cos15cos 6
αα=，则()cos 2120α+︒=( ) A ．7
9
B ．79
-
C ．
1718
D ．1718
-
【答案】B
3131sin15cos15cos sin sin30cos sin cos 4244αααααα-
=-=
()
1111
cos cos 602226ααα⎛⎫=
=+= ⎪ ⎪⎝⎭
， ()
1
cos 603
α∴+=
， ∴()()2
17cos 21202cos 6012199
αα+=+-=⨯-=-．
故选：B ．
8．（2022·全国·
高三专题练习）已知cos 2sin 4θπθ=⎛⎫- ⎪
⎝⎭sin 2θ=（ ）
A ．
7
25
B ．725
-
C ．
2425
D ．2425
-
【答案】C
解：
因为cos 2sin 4θπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭
即22cos sin sin cos cos sin 44θθππθθ-=-
cos sin cos sin -+=所以7cos sin 5θθ+=，所以()249cos sin 25
θθ+=，即22
cos 2cos sin 2549sin θθθθ++=，即1sin 22549θ+=，所
以24
sin 225
θ=； 故选：C 二、填空题
9．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知π4tan 43α⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，则cos2=α__________．
【答案】24
25
-
##0.96- 由π4tan 43α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得：
π
tan
tan 1tan 44π1tan 31tan tan 4
αααα++==---⋅ ， 即得tan 7α= ，
故222222cos sin 1tan 14924
cos 2cos sin 1tan 14925
ααααααα---====-+++，
故答案为：24
25
-
10．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）若,0,2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，且5cos 13α=，()3sin 5αβ+=，则cos β=
______________. 【答案】
16
65
【详解】
解：因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，5cos 13α=，所以12sin 13α==，
又0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()0,αβπ+∈，
所以()5cos cos 13
αβα+<=
， 因为()3sin 5αβ+=，所以()4
cos 5αβ+=±，
又
45
513>，所以()4cos 5
αβ+=-， 所以()()()4531216
cos cos cos cos sin sin 51351365
βαβααβααβα=+-=+++=-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：
1665
. 11．（2022·河北石家庄·一模）已知角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，π
sin sin
π12tan π12cos cos 12
αα-=
+，则α=______. 【答案】
4
π π
sin sin
π12tan π12cos cos 12αα-=
+，ππsin sin sin
1212ππcos cos cos 1212αα-∴=+， ππππsin
cos cos cos sin sin 12121212αα⎛⎫⎛⎫
∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ππππππsin cos sin cos cos sin cos sin 121212121212αα∴+=-， ππππππ
sin cos cos sin cos sin sin cos 121212121212αα∴+=-， ππsin
sin 612α⎛
⎫∴=- ⎪⎝
⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5π,121212ππα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭ ππ612α∴=-，则ππ1264
πα=+=. 故答案为：
4
π
. 12．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习）22231
64sin 20sin 20cos 20
︒︒︒
-+=__________． 【答案】32.
解：因为222
222313cos 20sin 20sin 20cos 20sin 20cos 20︒
-︒
-=︒︒
︒︒
)
2
sin20sin201sin 404
︒+︒
︒-︒
=
︒
()()
2
2os 20302os 20301sin 404c c ︒-︒︒+︒=
︒ 216os10os501680sin 40sin40c c sin ︒︒︒
=
=︒︒
3240os4032os40sin40sin c c ︒︒
=
=︒︒
所以
()2
2231164sin 2032os40641os4032sin 20cos 202
c c -+︒=︒+⨯-︒=︒︒
故答案为32 三、解答题
13．（2022·四川凉山·高一期中（理））已知α、β均为锐角，4tan 3α=，(
)cos αβ+=(1)求cos2α的值 (2)求()tan αβ-的值． 【答案】(1)725-
(2)3
79
- (1)解：α、β为锐角，22sin 4tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴ 27
cos 22cos 125
αα=-=-
. (2)解：因为224
22tan 243tan 21tan 7413ααα⨯
===--⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
. α、β为锐角且(
)cos αβ+=
所以()
sin αβ+==
∴()()()
sin tan 3cos αβαβαβ++=
=-+，
所以()()()()243tan 2tan 37tan tan 2241tan 2tan 79137
ααβαβααβααβ-
+-+⎡⎤-=-+===-⎣⎦+⋅++⨯ 14．（2022·云南·昆明一中高一期末）已知α，
β均为锐角，tan()αβ+=在下面条件中任选一个作为已知条件，求tan β的值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①3sin 2αα=；②3sin 2
α
若选①：
因为3sin 2αα=，所以6sin cos ααα=，
因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，所以sin 3
α=
.
1
cos 3α==，则sin tan cos ααα
==
所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++若选②：
因为3sin
2
α
=sin
2
α
21cos 12sin
23
αα=-=
因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=
则sin tan cos α
αα
=
=
所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=
++15．（2022·湖北武汉·高一阶段练习）已知cos()cos()
2
()sin(2)f π
πθθθπθ+⋅-=-． (1)若1
()3
f θ=
，求cos2θ的值； (2)若1
()63f πθ-=，且263θππ<<，求sin θ的值．
【答案】(1)79- (1)cos()cos()
cos sin 2()cos sin(2)sin f π
πθθθθθθπθθ+⋅--===--
因为1()cos 3f θθ==，所以2
7cos 22cos 19
θθ=-=-
(2)因为1()cos 663f ππθθ⎛
⎫-=-= ⎪⎝
⎭，263θππ<<
所以06
2π
θπ<-
<
，sin 6πθ⎛
⎫-=
⎪⎝
⎭
所以11sin sin sin cos cos sin 66666632ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。