全国初中数学优秀课一等奖：反比例函数的图象及其性质--教学设计(王宗贵)

21.5反比例函数（第2课时）
教学设计及说明
一、内容与内容解析
1.内容
本节课的内容选自上海科学技术出版社出版的九年级数学上册第21章《二次函数与反比例函数》第5节的第2课时。

2.内容解析
本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准2011版》中的“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系、一次函数、二次函数的基础上，通过这一节课的学习使学生掌握反比例函数图象的画法和反比例函数的性质。

它既是初中函数的图象和性质的拓展，又是今后继续学习“用函数观点看方程（组）与不等式”的基础，在本章中起着承上启下的作用。

反比例函数图象和性质，蕴含着丰富的数学思想和研究问题的方法，首先，通过对图象的研究和分析函数自身的性质,深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，渗透的是数形结合的思想。

其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式”到“作图，再到“性质”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用。

再次，由6y x
=和6y x -=反比例函数出发，研究具体的反比例函数，再总结出(0)k y k x
=≠的图象的性质，体现由特殊到一般的认识过程，体现解决问题时“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的基本策略和类比的研究方法。

最后，对于反比例函数图象性质研究的过程中，由于k 的符号不同，对函数图象产生相应的影响，得出相对应的结论,体现了分类讨论的研究方法。

由此得出本节课的教学重点是反比例函数图象及其性质。

二、目标与目标解析
1.目标
（1）能画出反比例函数的6y x ±=图象，并抽象出k y x
= (k ≠0)的图象，探索并理解k ＞0和k ＜0时，图像的变化情况。

（2）通过小组讨论，经历分析k y x
= (k ≠0)的图象、总结函数性质的过程，锻炼学生的观察能力和思考、分析、总结的能力，增强归纳概括问题的意识。

（3）让学生经历作函数k y x
= (k ≠0)图象的过程，通过画图更好的理解函数的增减性，形成数形结合的思想。

（4）在探究反比例函数性质的过程中，让学生体会到函数模型的种类扩充，
开阔学生的视野，增强学生的求知欲，学生在一起交流讨论得到函数的性质，使他们体会到探索数学问题的乐趣。

2.目标解析
（1）使学生理解由反比例函数的自变量取值范围导致的图象变成了两个分支，掌握k的正负对图象变化趋势和函数性质的影响。

（2）通过描点法来研究反比例函数图象，在动手绘制反比例函数的图象的过程中，让学生经历“作图→比较→讨论→归纳”的数学活动，通过对反比例函数图象的分析，归纳出反比例函数的性质，让学生经历知识的探究、归纳的过程，体会数形结合思想方法和分类讨论思想方法的应用，同时培养学生的观察能力和抽象概括能力。

（3）通过从具体反比例函数的图象特征抽象得到一般形式反比例函数的图象特征，进而得到函数的性质，使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法。

（4）在探究反比例函数的图象和性质的活动中，通过动手实践，互相交流，使学生在探究的过程中，提高与他人交流合作的意识，提高学生的动手实践的能力和探究精神。

三、教学问题诊断分析
学生在学习本节课之前已经学习过一次函数、二次函数，具备了研究函数的基本技能，了解研究函数的一般过程都是从图象开始的。

但是一次函数与二次函数的图象都是无间断连续的，学生在本节课将遇到既是非直线性函数的图象，又是由断开的两支曲线组成双曲线，需要考虑自变量的取值范围，在理解上有一定的困难。

此外反比例函数的增减性和以前学习的函数也有区别，两个分支要分开讨论，这对于学生的理解也是个难点。

由此得出本节课的教学难点是正确的画出反比例函数的图象，探究反比例函数的性质。

四、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以《几何画板》为平台，绘制反比例函数图象，同时辅之以“点跟踪”等手段，通过动态的演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当k值的变化时，对应的函数图象的变化规律，进而探究反比例函数的性质．
另外为了最大程度节省课堂时间和方便展示，我为每一位学生们准备了一张作业纸。

五、教学过程设计
(一) 回顾复习、引出问题
问题1：上节课我们学习了反比例函数，请问反比例函数的概念是什么？自变量取值范围是多少？因变量呢？
学生回答,教师板书。

问题2：我们以前还学习过哪些函数呢？
学生回答。

问题3：我们研究函数一般都要研究函数的图象，一次函数、二次函数的图象是什么形状的？
学生回答。

问题4：那么反比例函数也应该有自己的图象，大家想知道反比例函数的图象吗？
引出课题，板书课题。

（设计意图：首先复习上节课学习的反比例函数和自变量的取值范围，这是本节课必备的知识储备，因为接下来画反比例函数图象时为什么是两个部分，而不同于一次函数和二次函数是一个整体呢？接下来和同学们一起回顾以前学习的函数，发现以前的函数都有图象，从而引出本节课的课题。

）
（二）探索新知、归纳总结
问题5：大家知道画一个函数的图象都有哪些步骤？
学生回答。

画一个函数的图象的步骤：列表——描点——连线。

问题6：画函数图象的三个步骤中各要注意一些什么问题？
教师板书。

师：下面我们共同来完成反比例函数
6
y
x
=的图象。

教师利用PPT展示表格，和学生一起讨论应该选择哪些点？
教师利用几何画板先描出这些点，再画出反比例函数的图象。

师：反比例函数的图象是双曲线。

师生共同总结画反比例函数应该注意些什么？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点,尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一些点,这样既可以方便连线，又可以使图象精确。

2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错。

3.连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,必须用平滑的曲线连接各点,不能用折线连接。

师：请同学们独立完成反比例函数
6
y
x
-
=的图象。

让学生把书打开到46页，然后在导学案上完成图象。

学生独立作图，教师巡视，适时给予纠正引导。

学生完成后，教师选择几个在班级中展示，对于多数学生都容易犯的错误给予集体订正。

展示后教师利用几何画板给出图象的完整作图过程。

（设计意图：本环节先带领同学们复习描点法画函数图象的步骤，这为接下来画反比例函数图象的步骤理清脉络，让学生知道怎么下手。

接下来师生共同填写表格，因为画反比例函数图象是本节课的难点，而列表也是画图象的三个步骤中最重要的，因此我没有直接让学生动手，而是选择师生共同探讨，这样有效的突破了难点，让学生在讨论中了解画反比例函数时应该注意些什么？
教师在画
6
y
x
=函数图象时选择几何画板，因为第一几何画板是学生很感兴
趣的多媒体之一，这能调动学生学习数学的兴趣，第二利用几何画板画图既准确又美观，也可以为课堂节省很多的时间。

师生共同总结画反比例函数图象时应该注意的问题，这为了接下来学生自己独立完成6y x
-=的图象做准备，进一步降低学生画函数图象的难度。

) （三）合作探究、得出结论
问题7：请同学们结合6y x =和6y x
-=这两个图象总结反比例函数图象有哪些性质？
在学生讨论之前，教师利用几何画板动态演示，不同的k 的取值对反比例函数图象的影响。

学生总结，教师补充。

1.当k>0时，图象的两个分支分布在第一、三象限
内；在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

2.当k<0时，图象的两个分支分布在第二、四象限
内；在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

问题8：同学们，现在我们知道了反比例函数的性质，下面我们把反比例函数与正比例函数进行比较，请同学们把表格填一下。

小组讨论，在活动中，让学生自己去观察、类比发现，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的。

学生通过观察比较，总结两个反比例函数图象的共同特征（都是双曲线），以及在平面直角坐标系中的位置，既充分调动学生的积极性，有最大程度加深学生的记忆。

） （四）例题剖析、学以致用
例3：已知反比例函数21k y x
-=
，如果这个函数图象在它所在的象限内，函数值随x 的增大而减小，求k 的取值范围。

教师多媒体出示例题，请学生板演，教师订正，最后给出给出解答过程。

（设计意图：通过本例题讨论，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．） （五）牛刀小试、能力提升
1.已知函数25(1)m y m x
-=+是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m
的值是（ ）
(A)2 (B)-2 (C)±2 (D)12-
2.已知(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)是反比例函数4
y x
-=
的图象上的三个点，且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1,y 2,y 3的
大小关系是（ ）
(A )y 3＜y 1＜y 2 (B)y 2＜y 1＜y 3
(C)y 1＜y 2＜y 3 (D)y 3＜y 2＜y 1
3.已知点A 在反比例函数6y x
=的图象上，且横坐标为2，过点A 作x 轴与y 轴的垂线，与坐标轴组成的
矩形的面积是多少？ （六）自我反思、总结收获
请同学们用“大家好，我是反比例函数，……”为开头，根据本节课学到的知识，写一段反比例函数的自述，文体、字数不限。

（设计意图：自述式小结旨在让学生反思自己的学习过程，梳理本节知识，在交流中加深对本节知识的理解。

本小结的形式还能培养学生的语言表达能力，提高学生的学习数学的兴趣。

）
（七）布置作业、分层优化
必做题：第49页的第5题和第7题。

选做题：如图，点A 是反比例函数 3y x -=
（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数2y x
=（x ＜0）的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中C 、D 在
x 轴上，则该图形面积为多少？
（设计意图：巩固所学知识，关注学生差异，设
置分层作业，使学生得到不同的发展。

）
板书设计：
于学生对新知的理解与巩固，也有利于规范学生的解题步骤，让学生养成良好的学习习惯。

)
六、目标检测设计
（一）反馈练习
1.已知函数2
5(1)m y m x -=+是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m
的值是（ ）
(A)2 (B)-2 (C)±2 (D)12
-
（本题针对反比例函数的概念和图像的相关性质对学生进行考察，难度较低，课堂上百分之九十以上同学很快能给出答案，我提问了一个学生，他的思路很清晰，说明知识掌握很牢固。

）
2.已知(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)是反比例函数4y x
-=的图象上的三个点，且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1,y 2,y 3的大小关系是（ ）
(A )y 3＜y 1＜y 2 (B)y 2＜y 1＜y 3
(C)y 1＜y 2＜y 3 (D)y 3＜y 2＜y 1
（本题考察的知识点是反比例函数的增减性，以及数形结合思想的应用，难度中等，课堂上大部分学生都举手了，部分同学只会用增减性来解决这个问题，也有的学生还选择了数形结合的方法，这就需要学生了解反比例函数图像的画法，所以也考察了怎么画反比例函数图像。

）
3.已知点A 在反比例函数6y x
=的图象上，且横坐标
为2，过点A 作x 轴与y 轴的垂线，与坐标轴组成的矩
形的面积是多少？
（本题检测学生能否利用反比例函数图像及其性
质解决问题，我在这设计了变式，从学生的知识的最近
发展区出发，逐渐加大难度，最后引出一般情况，课堂
上学生都能很快总结出最后的结论，反馈效果不错。

） （二）作业设计
必做题：第49页的第5题和第7题。

（这两题都是反比例函数的应用，在学生必须掌握了反比例函数的性质和图像的画法后，才能给出正确的答案。

）
选做题：如图，点A 是反比例函数 3y x
-=（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数2y x
=（x ＜0）的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，
其中C 、D 在
x 轴上，则该图形面积为多少？
（这是能力提升题，综合性强，难度较大，给班级学有余力的学生解答，让不同的学生得到不同的发展。

）。