整式乘法与因式分解：乘法公式(完全平方公式、平方差公式)知识点详解及强化练习

乘法公式知识点详解及强化练习
一、完全平方公式
利用长方形、正方形纸板（如图甲），拼成一个大正方形（如图乙），通过这样的拼图过程，能发现什么吗？
先观察图，再用等式表示图中图形面积的运算。

= + +
完全平方公式
完全平方公式有怎样的结构特征？
完全平方的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项中两项乘积的2倍。

可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”。

公式的语言叙述：
两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；
两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差。

例1.用完全平方公式计算：
（1）(5+3p)2（2）(-3b+2c)2（3）(-2a-5)2
变式题用完全平方公式计算
（1）(x+2y)2（2）(-3x-4y)2（3）(a+b)(-a-b)
例2.利用完全平方公式计算：
（1）1022（2）1972
[总结]：完全平方公式——(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。

注意它们的结构特征和使用时的关键。

本节学习的数学方法：数形结合的思想方法和转化的思想方法。

[拓展]利用完全平方公式解决问题
已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。

变式题已知a+b=5，ab=-6，求下列各式的值。

（1）a2+b2（2）a2-ab+b2
二、平方差公式
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。

（1）请表示图（1）中阴影部分的面积。

（2）将阴影部分拼成了一个长方形，如图（2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（3）比较（1）（2）的结果，能验证平方差公式吗？
将图（1）沿虚线剪开，拼成如图（2）的一个长方形。

分别计算图（1）、图（2）的面积，有什么发现？
[特征]公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差。

(a+b)(a-b)=a2-b2，这个公式称为平方差公式。

语言叙述：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差。

平方差公式在应用的时候也像完全平方公式一样要求弄清a、b分别代表什么，你能说一说下列各式哪些利用平方差公式计算吗？如果能，公式中的a、b分别代表什么？哪些不能利用平方差公式计算？为什么？
（1）(2x+3y)(2x-3y)（2）(2x-3y)(3y+2x)（3）(-2x+3y)(-2x+3y)
（4）(-2x-3y)(2x-3y)（5）(-2x+3y)(-2x-3y)（6）(2x-3y)(-3y+2x)
[归纳]能运用平方差公式的两个多项式具有其中一项相同，另一项的绝对值相同，但是符号相反的特点，我们把相同的一项看作是a，另一项看作是b。

例1.用平方差公式计算：（1）(5x+y)(5x-y) （2）(m+2n)(2n-m) （3）(-x+3y)(-x-3y) （4）(-a2-b3)(b3-a2)
例2. 计算
（1）-3(x+1)(x-1)-(3x+2)(2-3x) （2）[x+(y+1)][x-(y+1)]
（2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) （3）[a+(b+c)][a-(b+c)]
例3.街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
[总结]：平方差公式——(a+b)(a-b)=a 2-b 2.
两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差。

[拓展] 平方差公式的提升应用
1.怎样计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1？能找到比较简单的方法吗？
2.计算：
（1）)1011)(911()411)(311)(21
1(22222--⋯---（1）20062-20052+20042-20032+ (22)
-1
三、乘法公式的应用
例1.用乘法公式计算
（1） 2)35(p + ； （2） 2
)72(y x - ； （3）2)52(--a ； （4）)5)(5(b a b a -+
例2.计算 （1） )9)(3)(3(2++-x x x （2）2
2)32()32(-+x x
（3）)4)(4(++-+y x y x （4）[(a-b)2-(a+b)2]
2
1.利用乘法公式进行计算：
(1) (x-1)(x+1)(x 2+1)(x 4+1) (2) (3x+2)2-(3x-5)2
(3) (x-2y+1)(x+2y-1) (4) (2x+3y)2(2x-3y)2
(5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2 (6) (x 2+x +1)(x 2-x+1)
2.已知a+b=-2,ab=-15求a 2+b 2.
拓展
1.若(x 2+px+8)(x 2-3x+q)的积中不含有x 3和x 2项，求p,q 的值
2.已知31=+x x ，求⑴ 221
x x + ，⑵ 2
)1(x x -
3. 试求(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的个位数字
4. a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2 ；(2) a 2+b 2 ；(3) a 4+b
4
5.观察下列各式(x-1)(x+1)=x 2-1，(x-1)(x 2+x+1)=x 3-1，(x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1，根据前面各式的规律可得
(x-1)(x n +x n –1+…+x+1)= .
四、用2222)(b ab a b a ++=+推导2)(c b a ++吗？
结论：得到公式ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
计算
（1）2)432(c b a ++ （2）2)23(z y x --
课后作业
1.计算
（1）2)35(p + （2）2)72(y x - （3）)9)(3)(3(2++-x x x
（4）22)32()32(+-x x （5）)4)(4(++-+y x y x
（6）22)10()10(+-x x （7）))((2222n mn m n mn m +-++
（8）22)33()33(
--+a a （9）)3)(3()3(2y x y x y x +--+
2.若,4,922-==+xy y x 求
（1）2)(y x + （1）2)(y x -
3.求代数式)(5)3()
2(22n m m n m n m -+--+的值，其中51,101==n m .。