浙江省杭州地区(含周边)重点中学2014-2015学年高二上

2014学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学
高二年级数学学科 试题（文理合卷）
考生须知：
1．本卷满分120分，考试时间100分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
10y +=的倾斜角是（ ▲ ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．120︒ 2．下列说法正确的是（ ▲ ）
A ．棱柱的底面一定是平行四边形
B ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 C. 圆台平行于底面的截面是圆面 D ．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球
3．已知两条直线1(:1)30l kx k y +--=和22:(120)k x l y -+-=互相垂直，则k =（ ▲ ） A ．1或－2 B ．－1或2 C ． 1或2 D ．－1或－2 4．直线l 与直线1y =，直线5x =分别交于P ，Q 两点，PQ 中点为M （1，-1），则直线l 的斜率是（ ▲ ） A ． 12-
B ． 1
2
C ． 2
D ．－2 5．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A.若//,//m n αα，则//m n B ．若//,,m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥
C ．若//,//m m αβ，则//αβ D. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥
6．如图是一个空间几何体的三视图，其正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边长
为2的等腰直角三角形，侧视图是一个两直角边长分别为3和1的直角三角形，则此几何体的 体积为 （ ▲ ）
A ．
33 B ．1 C ． 2
3 D ．2 7．若直线0(0)ax by c ab ++=≠在两坐标轴上的截距相等，则,,a b c 满足的条件是（ ▲ ） A. a b = B. ||||a b = C. 0c a b ==或 D ．0c a b ==或 8．ABCD 为空间四边形，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M 、N 分别是对角线AC 与BD 的中点， 则MN 与（ ▲ ）
A. AC 、BD 之一垂直
B. AC 、BD 都垂直 C ．AC 、BD 都不垂直 D. AC 、BD 不一定垂直
9．如图，三棱锥P -ABC 的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB <60°.设动点D 、E 分别在线段
PB 、PC 上，点D 由P 运动到B ，点E 由P 运动到C ，且满足DE ∥BC ，则下列结论正确的是（ ▲ ）
A ．当点D 满足AD ⊥P
B 时，△ADE 的周长最小 B ．当点D 为PB 的中点时，△ADE 的周长最小
C ．当点
D 满足1
3
PD PB =
时，△ADE 的周长最小 D ．在点D 由P 运动到B 的过程中，△ADE 的周长先减小后增大 10. 在正方体''''ABCD A B C D - 中，P 为棱'AA 上一动点，Q 为 底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点P ，Q 都运动时， 点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ▲ ）
A. 棱柱
B. 棱台
C. 棱锥
D.球的一部分
二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11.在正方体1111ABCD A B C D -中， E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1， B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为 ▲ .
12．已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是 ▲ . 13．已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为 ▲ .
14．如左下图，在三棱柱'''ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，'AA ⊥底面ABC ， 且AB ＝1，'AA ＝2，则直线'BC 与平面''ABB A 所成角的正弦值为 ▲ .
A
第
B'
15．已知一个三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如右上图所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图．．． 面积为 ▲ .
16．已知实数a b c 、、满足0a b c --=则原点(0,0)O 到直线0ax by c ++=的距离的最大值
为 ▲ .
17．若当(1,)x ∈-+∞时，(1)21()k x x k k R +<++-∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ▲ .
三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）如图多面体中，正方形ADEF 所在的平面与直角梯形ABCD 所在的平面垂直， 且1
2
AD AB CD ==
，//AB CD ，M 为CE 的中点. （1）证明：//BM 平面ADEF ； （2）证明：平面BCE ⊥平面BDE .
19.（本小题满分12分）已知点A （2，2），直线:21l y x =+. (1)求点A 关于直线l 的对称点'A 的坐标；
(2)当点B ，C 分别在x 轴和直线l 上运动时，求ABC ∆周长的最小值.
F
20．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，90ABC APB ∠=∠=︒，
4AB MB =，且CD PM ⊥，22AB BC PB AD ===．
（1）证明：面⊥PAB 面ABCD ；
（2）求直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值．
21.（本小题满分14分）在等边三角形ABC 中，AB =2，E 是线段AB 上的点(除点A 外），过点E 作EF AC ⊥于点F ，将AEF ∆ 沿EF 折起到PEF ∆(点A 与点P 重合，如图)，使得
3
PFC π
∠=
，
(1) 求证：EF PC ⊥；
(2) 试问，当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -EB -C 的大小是否为定值？ 若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由.
C B
B
二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．0
60 12．50π 13． 2 14 15 16
17．(,2][0,1]-∞- 三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. （本小题满分12分）
解析：（1）（解法一）取DE 的中点N ，连结MN ，AN . 在DEC ∆中，因为M ，N 分别为EC ，ED 的中点， 所以//MN CD ，且1
2
MN CD =
. 又因为//AB CD ，1
2
AB CD =，
F
所以//MN AB ，且MN AB =. 所以四边形ABMN 为平行四边形，
故//MB NA ， 又因为MB ⊄平面ADEF ，NA ⊂平面ADEF ，
所以//BM 平面ADEF . （5分） （解法二）取DC 的中点P ，连结,MP BP . 在直角梯形ABCD 中，因为//AB CD ，12AB CD =，1
2
DP DC =， 所以//AB DP ，且AB DP ＝，
故四边形ABPD 为平行四边形，所以//BP AD .
在DEC ∆中，因为M ，P 分别为EC ，DC 的中点，所以//MP ED . 又因为MP
PB P =，ED DA D =，
所以平面//MPB 平面EDA ，
又因为M B ⊂平面MPB ，所以//BM 平面ADEF . （5分） （2）直角梯形ABCD 中，//AB CD ，设1
2
AD AB CD a ===，
所以BD BC ==
，2CD a =，
故222
BD BC CD +=，所以BD BC ⊥. （8分）
因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 又平面ADEF
平面ABCD AD =，ED AD ⊥，
所以ED ⊥平面ABCD ，
故ED BC ⊥. （10分） 又因为BD
ED D =，所以BC ⊥平面BDE . （11分）
又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面BDE . （12分）
19.（本小题满分12分）
1'(,),222-,21522-2116--225216
'(-,).(655A a b b a a b b a A ⎧++⎧
==⨯+⎪⎪⎪⎪⎨
⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩
∴⋯⋯⋯解：（）设则有
解得点的坐标为分）
22222'(12A x A A A ABC ==∆⋯⋯⋯（）点关于轴的坐标为（，－）
则分）
20. （本小题满分14分） 解：（1）由BM PB AB 42==，得AB PM ⊥，
又因为CD PM ⊥，且CD AB ，
所以⊥PM 面ABCD ， 且⊂PM 面PAB ． 所以，面⊥PAB 面ABCD .………（6分） （2）过点M 作CD MH ⊥，连结HP ， 因为CD PM ⊥，且M MH PM = ，
所以⊥CD 平面PMH ，又由⊂CD 平面PCD ，得到平面⊥PMH 平面PCD ， 平面 PMH 平面PH PCD =，过点M 作PH MN ⊥，即有⊥MN 平面PCD ， 连结DN ，则MDN ∠为直线DM 与平面PCD 所成角． ………（10分）
在四棱锥ABCD P -中，设t AB 2=， 则t DM 2
13=
，t PM 23=，t MH 1057=，∴t PH 554=，t MN 163
7=， 从而104
39
7sin =
=
∠DM MN MDN ，………（13分） 即直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值为104
39
7.………（14分）
21. （本小题满分14分）
(1),,,.,.
(5EF PF EF FC PF FC F EF PFC PC PFC EF PC ⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥证明：平面又平面分）
21,.,,(10EF PFC BCFE PFC PH FC FC H PH BCFE HG BE BE G PG BE PG PGH ⊥∴⊥⊥⊥⊥⊥∠（）由（）知平面平面平面作交于点则平面作交于点，连结，则所以就是二面角的平面角
分）
0,0 1.
60,,,
21,
4
2
tan .(133
2
.(143AF x x x PFC FH PH x GH x PH PGH GH E AB P EB C =<≤∠=∴=∴-==∴∠==-当点在线段上移动时，二面角的大小定值，
这个二面角的平面角的正切设据题意有在图形（）中可求得分值）
为分）
备注：对于简答题的其他解法，请参照评分标准评分.。