第7练事件的相互独立性和条件概率(精练)(解析版)

第7练 事件的相互独立性和条件概率
【题型解读】
【题型一 相互独立事件的概率】
1.（华师大二附中高三练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A ：出现的点数为质数，事件B ：出现的点数不小于3，则事件A 与事件B （ ） A ．相互独立 B ．对立
C ．互斥但不对立
D ．概率相等
【答案】A
【解析】抛掷骰子可能得到的点数为1，2，3，4，5，6，其中质数为2，3，5，
所以121
(),(),()233
P A P B P AB ===，故()()()P AB P A P B =，
所以A 与B 相互独立． 故选：A
2. 甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为1
2，23
.则谜题被破解的概率为（ ）
A ．16
B ．13
C ．56
D ．1
【答案】C
【解析】设“甲独立地破解谜题”为事件A ，“乙独立地破解谜题”为事件B ，“谜题被破解”为事件C ，且事件,A B 相互独立，
则()()125
1111236
P C P AB ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
故选：C
3.（浙江省桐庐中学高三阶段练习）重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山火，断电和疫情．疫情的肆虐，让我们再次居家隔离．为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门．已知沙坪坝某小区在隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜．由于交通、配送等多方面原因，各电商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为23
，
34，4
5
，各平台送货相互独立，互不影响，某小哥
分别在三家电商各点了一份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（ ） A ．
97120 B ．56
C ．
910
D ．
5360
【答案】B
【解析】因为各平台送货相互独立，互不影响，所以 有两家准点送到的概率为23121413413
34534534530⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,
有三家准点送到的概率为2342
3455
⨯⨯=，
则至少有两家准点送到的概率为13253056
+=. 故选：B.
4. （河南高三月考一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 为7个开关，其闭合的概率均为23
，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
A ．7
5513-
B ．7
1113-
C ．
7
233 D ．
5
53 【答案】A
【解析】电路由上到下有3个分支并联，开关,A B 所在的分支不通的概率为225
1339-⨯=，
开关,C D 所在的分支不通的概率为131
139
⨯=，
开关E ，F ，G 所在的分支不通的概率为21111
1133327
⎛⎫-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，
所以灯亮的概率是7511155
1199273
-⨯⨯
=-. 故选：A.
5．自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占35
，外地游客中有1
3乘观光车登顶，本地游客中有16乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20
元.若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（ ） A ．4800元
B ．5600元
C ．6400元
D ．7200元
【答案】C
【解析】从登顶观日出的人中任选一人，他是乘观光车登顶的概率31214
535615
P =⨯+⨯=
则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是4
1200206400(15
⨯⨯=元） 故选：C ．
6.（全国高三课时练习）2022年9月28日晩，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以3:0的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为2
3
． (1)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望； (2)如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率． 【解析】（1）随机变量X 的所有可能取值为0、1、2、3，
()3213121110C 33339P X ⎛⎫⎛⎫==+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2
2
2421181C 33381
P X ⎛⎫
⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭， ()2
2
24
212162C 33381P X ⎛⎫
⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，()2
3
23
2122163C 333327P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以X 的分布列为
X
0 1
2
3
P
19
8
81
1681
1627
所以数学期望()181616184
0123981812781
E X =⨯+⨯+⨯+⨯
=. （2）记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件A ， 设第i 场甲、乙两队积分分别为i X 、i Y ，则3i i X Y =-，1i =、2，
因两队积分相等，所以1212X X Y Y +=+，即()()121233X X X X +=-+-，则123X X +=， 所以()()()()()()()()()1212121203122130P A P X P X P X P X P X P X P X P X ===+==+==+==
1168161681611120
927818181812796561
=⨯+⨯+⨯+⨯=．
【题型二 条件概率】
1.（四川模拟）2022年6月14日是我国的传统节日“端午节”.这天，王华的妈妈煮了五个粽子，其中两个蜜枣馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个粽子，若已知王华拿到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为蜜枣馅的概率为( ) A ．14
B ．34
C ．
110
D ．
310
【答案】A
【解析】由题意，设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，
则P (A)2
2232
5410C C C +==，22251
()10
C P AB C ==，()1(|)()4P AB P B A P A ∴==． 故选：A ．
2.（武昌模拟）如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =（ ） A ．
415
B ．
730 C ．15
D ．16
【答案】C
【解析】由题意知，事件A 共有44
54C A =120个基本事件，事件B ：
“局部等差”数列共有以下24个基本事件，
（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.
含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个. 含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个， 含4，3，2的同理也有2个.
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个， 含5，3，1的也有上述4个，共24个， ()24|120P B A ∴=
=1
5
. 故选C.
3．（石家庄模拟）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“三个人去的景点各不
相同”，B =“甲去了第一个景点”，如果甲、乙、丙互不相识，求()P A B ． 【答案】23
【解析】甲去了第一个景点，则有1个景点可选，乙丙能在三个景点中选择，可能性为339⨯=种， 所以甲去了第一个景点的可能性为1339⨯⨯=种， 因为三个人去的景点不同的可能性为3216⨯⨯=种， 所以()62
(|)()93
n AB P A B n AB =
== . 4. （临沂二模）已知随机事件A ，B ，()12P A =
，()13P B =，()1
2
P B A =，求()P AB ，()P A B . 【答案】13
;44
【解析】由条件概率公式()
(|)()
P AB P B A P A =
得：111()(|)()22
4
P AB P B A P A ==⨯=．
∴1
()3
4(|)1()
43
P AB P A B P B =
==． 【题型三 全概率公式】
1.（唐山二模）某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是1
2．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是13
，出现绿灯的概率是
2
3；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是35
，出现绿灯的概率是25，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________． 【答案】
7
15
【解析】记第一次闭合后出现红灯为事件A ，则第一次出现绿灯为事件A ，第二次闭合后出现红灯为事件
B ，出现绿灯为B ，
1()()2P A P A ==
，1(|)3
P B A =，3(|)5P B A =，
所以()()()()(|)()(|)P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+11137
232515
=⨯+⨯=．
故答案为：
715
． 2. 袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：
（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；
（Ⅰ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （Ⅰ）第二次摸到红球的概率. 【答案】（Ⅰ）310；（Ⅰ）29；（Ⅰ）310
.
【解析】
（Ⅰ）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率． （Ⅰ）第一次摸到红球后，还余下2个红球和7个白球，同（Ⅰ）可求概率． （Ⅰ）根据（Ⅰ）（Ⅰ）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率． 【详解】
设事件A ：第一次摸到红球；事件B ：第二次摸到红球， 则事件A ：第一次摸到白球.
（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种， 所以 3
()10
P A =
. （Ⅰ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种. 所以2
(|)9
P B A =
. （Ⅰ）32733()()(|)()(|)10910910
P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=. 所以第二次摸到红球的概率3()10
P B =
. 3．（高三课时练习）盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率．
【解析】设A 表示第二次取出3个球均为新球，i B 为第一次取出3球中有i 个新球，i ＝0，1，2，3，
则()330312C 1C 220P B ==，()1293
1312C C 27C 220P B ==，()21
932312C C 108C 220P B ==，()393312C 84C 220P B ==，
()390312C 84|C 220P A B ==，()381312C 56|C 220P A B ==，()37
2312C 35|C 220P A B ==，()363312C 20|C 220
P A B ==，
所以()()()3
441
|3025
i i i P A P B P A B ===
∑． 4.（广东高三模拟）今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国
主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色
革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为3
4，甲、丙两所学校都回答正确这道题的
概率是1
2，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是
1
4
.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的. (1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为2
5，乙校抢到的概率为310
，丙校抢
到的概率为
3
10
，求这个问题回答正确的概率. 【答案】(1)9196
(2)
4980
【解析】(1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件A ，B ，C ，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A ，B ，C 是相互独立事件由题意可知()34P A =，()()12P A P C ⋅=，()()14
P B P C ⋅=， 解得()3
8P B =，()23
P C =.
所以，乙答对这道题的概率为38
，丙答对这道题的概率为23
.
甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件D ，则概率为()P D ，其反面是三所学校都回答错误，即()()()()()()3325
11111148396
P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为()59119696
P D =-=； (2)若规定三所学校需要抢答这道题，
则这个问题回答正确设为事件E ，得到抢答机会分别是事件1A ，2A ，3A ，则 ()125P A =
，()2310P A =，()3310P A =，()134P A
A =∣，()238P
B A =∣，()32
3
P C A =∣， 则()()()()()()()112233P E P A P A
A P A P
B A P A P
C A =++∣∣∣ 23333249
5410810380
=⨯+⨯+⨯= 这个问题回答正确的概率为4980
. 【题型四 贝叶斯公式】
1.（山东·高密三中高三阶段练习）有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2､3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1､2､3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为___________. 【答案】27
【解析】记i A 为事件“零件为第i （1,2,3i =）台车床加工，B 为事件“任取一个零件为次品”，则
()()()1230.25,0.3,0.45,P A P A P A ===
所以()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++
0.250.060.30.050.450.050.0525=⨯+⨯+⨯=
所以()()()()
1110.250.062
0.05257
P A P B A P A B P B ⨯=
=
=.
故答案为：27
.
2．（常州市新桥高级中学高三模拟）（多选）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A ．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为1
2
B ．第二次抽到3号球的概率为
1148
C ．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D ．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种 【答案】AB
【解析】记第一次抽到第i 号球的事件分别为(1,2,3)i A i =，则有12311
(),()()24
P A P A P A ===，
对于A ，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为21
42
P =
=，A 正确； 对于B ，记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为(1,2,3)i B i =，而123,,A A A 两两互斥，和为Ω，
112233111
(|)=,(|)=,(|)=446P B A P B A P B A ，记第二次抽到3号球的事件为B ，
3
3
=1=1
11111111
()=()=[()(|)]=?+?+?=24444648i i i i i i i P B P A B P A P B A ⋅∑∑，B 正确；
对于C ，记第二次在第i 号盒内抽到1号球的事件分别为(1,2,3)i C i =，而123,,A A A 两两互斥，和为Ω， 112233111
(|)=,(|)=,(|)=222P C A P C A P C A ，记第二次抽到1号球的事件为C ，
3
3
=1=1
1111111
()=()=[()(|)]=
?+?+?=2242422i i i i i i i P C P AC P A P C A ⋅∑∑， 第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，
111111×()(|)122(|)===1()2
2
P A P C A P A C P C ⋅，222211
×()(|)1
42(|)===1()42P A P C A P A C P C ⋅，
333311
×()(|)1
42(|)===1()42P A P C A P A C P C ⋅，即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，C 不正
确；
对于D ，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是223535
22
C C
(C )A +种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有3
3A 种不同放法，
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是2233
535
322
C C (C +)A =150A ⋅种，
D 不正确.
故选：AB
3.（济北中学高三月考）设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01） 【答案】(1)0.0345； (2)0.36. 【解析】(1)
设事件1B ，2B ，3B 分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A 表示“取到的是次品. 易知1B ，2B ，3B 两两互斥，根据全概率公式，
可得()()()1
3
0.250.050.350.040.40.020.0345i i i P A P B P A B ==∑=⨯+⨯+⨯=．
故取到次品的概率为0.0345． (2)()()()
()()()
11110.250.05
0.360.0345
P B P A B P AB P B A P A P A ⨯=
=
=
≈．
故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36．
4. 2022年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名. (1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；
(2)先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率. 【答案】(1)
55
81(2)13
【解析】(1)
设事件A 为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是学生，则()76570
999243P A =⨯⨯=；
设事件B 为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是教职工，则()2348
999243
P B =⨯⨯=；
设事件C 为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者中既有学生又有教职工，则
()()()708551124324381
P C P A P B =--=-
-=. (2)设事件D 为这名志愿者是教职工志愿者，事件1E 为选甲高校，事件2E 为选乙高校，事件3E 为选丙高校.
()()()12313P E P E P E ===，()12|9P D E =，()23|9P D E =，()34
|9
P D E =.
所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为：
()()()()()()()1122331213141
|||3939393P D P E P D E P E P D E P E P D E =++=⨯+⨯+⨯=
⋅。