高三数学 课堂训练3-1人教版

第3章 第1节
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分) 1. 已知cos α＝－
6
4
，则sin α等于( ) A. 1
2 B. －104
C.
104
D. ±
104
答案：D
解析：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝1－(－64)2＝58，当α是第二象限角时，sin α＝104
；当α是第三象限角时，sin α＝－
10
4
.故选D. 2. 已知sin α＝45，cos α＝3
5，则角2α所在的象限是( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：B
解析：由sin α＝45，cos α＝35知，2kπ＋π4<α<2kπ＋π2，k ∈Z ，∴4kπ＋π
2<2α<4kπ＋π，k ∈Z ，
∴角2α所在的象限是第二象限．故选B.
3. [2012·江西上饶四校联考]已知角α的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π
6)，则角α的
最小正值为( )
A. 5π
6 B. 2π3 C. 5π3
D. 11π6 答案：C 解析：由于sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，所以点(12
， －
32)在第四象限，且tan α＝－3，α∈(0,2π)，所以α＝5π
3
，故选C. 4.已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin (－α－3π2)cos (3π
2
－α)tan 2(π－α)
cos (π2－α)sin (π2
＋α)
＝( )
A.
916 B. －916
C. －34
D. 34
答案：B
解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－3
5，
由题知sin α＝－35，∴cos α＝－45，tan α＝3
4，
∴原式＝cos α(－sin α)tan 2αsin αcos α＝－tan 2α＝－9
16
.
5. [2012·河北石家庄一模]已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝22
，则sin α－cos α的值为( ) A. － 2 B. －62
C. 2
D.
62
答案：D
解析：由sin α＋cos α＝
2
2
>0，可得sin α－cos α>0. (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12，则2sin αcos α＝－1
2；
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝3
2，
所以sin α－cos α＝
62
. 6. 已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ<0，则cos θ的取值范围是( ) A ．(－
2
2，0) B ．(－1，－22
) C ．(0，
22
) D ．(
2
2
，1) 答案：A
解析：依题意，结合三角函数线进行分析可知，2kπ＋5π4<θ<2kπ＋3π2，k ∈Z ，因此－
2
2<cos θ<0，选A.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，则|sin α|sin α－|cos α|
cos α＝________.
答案：2
解析：因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，
所以角α是第二象限角，因此sin α>0，cos α<0， 故
|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos α
cos α
＝1＋1＝2. 8. [2012·山东潍坊模拟]已知sin α＋3cos α
3cos α－sin α
＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是__________．
答案：25
解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋3
3－tan α＝5，即tan α＝2.
所以sin 2
α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1
＝2
5.
9. [2012·重庆一诊]如图，一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心，AA 3为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度l n ＝________(用弧度制表示即可)．
答案：(3n 2＋n )π
解析：依题意得，自开始起，每段弧的长度依次是2π3×1，2π3×2，2π
3×3，…，因此画
到第n 圈时，所得螺旋线的长度是l n ＝2π
3
(1＋2＋3＋…＋3n )＝(3n 2＋n )π.
三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 已知0<α<π2，sin α＝4
5.
(1)求sin 2α＋sin2α
cos 2α＋cos2α的值；
(2)求tan(α－5π
4
)的值．
解：∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35，tan α＝4
3
，
(1)sin 2
α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2
α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝tan 2
α＋2tan α2－tan 2α
＝(43
)2＋2×
4
32－(43
)
2＝20.
(2)tan(α－5π4)＝tan α－11＋tan α
＝43－1
1＋43
＝1
7.
11. [2012·江苏泰兴]已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 23(π
2
<α<π)．求下列各式的值： (1)sin α－cos α；
(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π
2＋α)．
解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23
， 得sin α＋cos α＝
2
3
，① 将①两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－7
9.
又π
2
<α<π，∴sin α>0，cos α<0. (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－(－79)＝169，∴sin α－cos α＝4
3
.
(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π
2＋α)＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)
＝－43×(1－718)＝－2227
.
12. [2012·广东湛江测试一]已知函数f (x )＝cos x ·1＋sin x
1－sin x
＋sin x ·
1＋cos x
1－cos x
.
(1)当x ∈(－π
2，0)时，化简f (x )的解析式，并求
f (－π
4
)的值；
(2)当x ∈(π
2，π)时，求函数f (x )的值域．
解：f (x )＝cos x ·
1＋sin x
1－sin x
＋sin x ·
1＋cos x
1－cos x
＝cos x ·(1＋sin x )2cos 2x ＋sin x ·(1＋cos x )2
sin 2x
＝cos x ·1＋sin x |cos x |＋sin x ·1＋cos x
|sin x |
.
(1)当x ∈(－π
2，0)时，f (x )＝sin x －cos x ，
故f (－π
4
)＝－ 2.
(2)当x ∈(π
2，π)时，|cos x |＝－cos x ，|sin x |＝sin x ，
故f (x )＝cos x ·1＋sin x －cos x ＋sin x ·1＋cos x
sin x
＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π
4)，
当x ∈(π2，π)时，x ＋π4∈(3π4，5π
4)，
所以－1≤cos(x ＋π4)<－2
2，
函数f (x )的值域是[－2，－1)．。