2023-2024学年广西玉林市陆川县高二上学期期中联考数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年广西玉林市陆川县高二上册期中联考数学
模拟试题
一、单选题
1．直线y=x+1的倾斜角是（）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【正确答案】B
【详解】∵直线1y x =+的斜率是1，∴tan 1α=，∵[0180α∈︒︒，），∴它的倾斜角为45︒，故选B.
2．已知圆224240x y x y +-+-=，则圆心坐标、圆的半径分别是（）
A ．()2,1-，3
B ．()2,1-，3
C ．()2,1--，3
D ．()2,1-，9
【正确答案】A
【分析】将圆的一般式化为标准式，写出圆心和半径.【详解】224240x y x y +-+-=变形为()()2
2
219x y -++=，
故圆心为()2,1-，半径为3.故选：A
3．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =- ,平面α的法向量为(3,6,9)n =--
,则
A ．l ⊂α
B ．//l α
C ．l α⊥
D ．l 与α相交
【正确答案】C
【分析】由已知得a n
，从而得到l ⊥α．
【详解】解：∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-
，平面α的法向量为()3,6,9n =--
，
∴13
a n =- ，∴a n
，
∴l α⊥．故选C ．
本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．4．已知1:3250l x ay +-=，()2:3120l a x ay ---=，则满足12l l ∥的a 的值是（）
A ．16
-
B ．0
C ．1
6-或0
D ．16
或0
【正确答案】C
【分析】直接由直线的一般方程平行的公式求解即可.
【详解】由12l l ∥可得()()33120a a a ⋅---⋅=，得0a =或1
6
a =-,
当0a =时，1:350l x -=，2:20l x --=，符合题意；
当16a =-时，11
:3503l x y --=，21:3403
l x y -+=，符合题意；
故满足12l l ∥的a 的值为0或1
6
-．
故选：C.
5．一辆卡车宽为2.7m ，要经过一个半径为4.5m 得半圆形隧道（双车道，不得违章），则这辆卡车的平顶车篷蓬顶距离底面得高度应低于（）A ．4.5m B ．1.4m
C ．3.0m
D ．3.6m
【正确答案】D
【分析】如图所示，半圆的方程为2224.5(0)x y y +=≥，由()2.7,0D ，可设 2.7(), A y 代入半圆的方程解得即可.
【详解】如图所示，半圆的方程为2224.5(0)x y y +=≥，()2.1,0D ，设 2.7(), A y 代入半圆的方程得2222.7 4.5y +=，解得 3.6y =，因此这辆卡车的平顶车蓬距离地面的高度应小于 3.6m.故选：D
6．过点A （3，2-）且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程为（
）
A ．22
1
1510
x y +=B ．22
1
2520
x y +=C ．22
1
1015x y +=D ．22
1
2015
x y +=
【正确答案】A
【分析】根据共焦点写出椭圆方程，代入点A 求出椭圆方程.【详解】解：由题意得：
22194
x y +=
∴
该椭圆的焦点为()，
)
，即c = 要求椭圆经过点A （3，2-），将点代入222215
x y a a +=-229415
a a ∴+=-，即23a =（舍去）或215a =2211510
x y ∴+=故选：A
7．一束光线，从点()3,3A -出发，经x 轴反射到圆()()2
2
:554C x y -+-=上的最短路径的长度是
（）
A ．2
B ．2
+C ．2
D ．2
【正确答案】A
【分析】作A 点关于x 轴对称点A '，连接A C '交x 轴于Q 点，交圆C 于P 点，根据三角形三边关系可确定A P '为所求的最短距离，由A P A C r ''=-可求得结果.【详解】由圆C 的方程可得：圆心坐标()5,5C ，半径2r =，设A 点关于x 轴对称点为A '，则()3,3A '--，
连接A C '交x 轴于Q 点，交圆C 于P 点，则A P '为所求的最短距离，
证明如下：任取x 轴上一点Q ，则AQ QP A Q QP A P ''+=+≥（当且仅当,,A Q P '三点共线时取等号），
22A P A C r ''∴=-=
-=-，
即最短路径的长度为2.故选：A.
8．已知椭圆的方程为22
143
x y +=，若点P 在第二象限，且12120PF F ∠=︒，
则12PF F △的面积（）．
A ．
5
B ．
5
C ．
5
D ．
5
【正确答案】B
【分析】设1F 为椭圆的左焦点，2F 为椭圆的右焦点，1||PF m =，2||PF n =，由椭圆的定义可知
24m n a +==，在12PF F △中由余弦定理可得2224n m m =++，从而可得6
5
m =
，再利用121
2sin1202
PF F S m =
⨯⨯⨯︒ 计算即可.【详解】解：设1F 为椭圆的左焦点，2F 为椭圆的右焦点，1||PF m =，2||PF n =，
由椭圆的定义可知24m n a +==，又因为12||22F F c ==，
在12PF F △中由余弦定理可得：222
121122121|||||2||||cos ||PF F PF F PF F F F F P =+-⋅⋅∠，
所以2224n m m =++，所以22(4)24m m m -=++，所以65
m =
，
所以12211121116sin 2sin12022225PF F S F F PF F PF m =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯︒=⨯⨯=
故选：B.二、多选题
9．已知椭圆C ：22
134
x y +=，则下列关于椭圆C 的结论正确的是（
）
A ．焦点坐标为()1,0-，()
1,0B ．长轴长为4
C ．离心率为1
2D ．直线230x y --=与C 无交点
【正确答案】BC
【分析】由椭圆方程可求得,,a b c ，依次判断焦点、长轴长和离心率可知ABC 正误；根据直线与椭圆位置关系的判断方法可知D 错误.
【详解】由椭圆方程知：椭圆焦点在y 轴上，2a =
，b =
1c ∴==；对于A ，焦点坐标为()0,1-，()0,1，A 错误；对于B ，长轴长24a =，B 正确；对于C ，离心率1
2
c e a =
=，C 正确；对于D ，由22
134
230x y x y ⎧+
=⎪⎨⎪--=⎩
得：21636150x x -+=，则236416153360∆=-⨯⨯=>，∴直线230x y --=与C 交于两点，D 错误.
故选：BC.
10．给出下列命题，其中不正确的为（）
A ．若A
B CD =
，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段
B ．若0a b ⋅<
，则,a b 是钝角
C ．若()0,1,1a = ，(
)0,0,1b = ，则a 在b 上的投影向量为()0,0,1D ．非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c
必共面
【正确答案】ABD
【分析】利用向量相等定义判断A,利用向量的数量积公式判断B ，利用投影的定义判断C ，利用向量共面定义判断D.
【详解】对于A,例如平行四边形ABDC 中，AB CD =
，
但A 与C 不重合，B 与D 不重合，AB 与CD 不为同一线段，故A 错误；
对于B ，若0a b ⋅<
，则,a b 是钝角或平角，故B 错误；
对于
C,cos ,2a b a b a b ⋅==
，
所以a 在b
的投影等于cos ,1a b = ，
所以a 在b
上的投影向量为1(0,0,1)b b
⋅=r r ，故C 正确；
对于D ，例如在正方体1111ABCD A B C D -中，
1,,AB AD AA
两两共面，但是三个向量不共面，故D 错误.
故选:ABD.
11．下列说法错误的是（
）
A ．若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则1a =-
B ．直线()32y ax a a =-+∈R 必过定点()3,2
C ．直线y 32=-x 在y 轴上的截距为2
-D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=【正确答案】AD
【分析】A.根据0a =时也垂直判断；B.变为点斜式即可判断；C.令0x =即可；D.截距都为0也符合条件.
【详解】解：对A ：20a a +=，解得0a =或1a =-，A 不正确；对B ：直线()32y ax a a =-+∈R 可变为()()23y a x a R -=-∈，
因此直线()()3232y ax a a x a R =-+=-+∈必过定点()32，
，即B 正确；对C ：直线32y x =-在y 轴上的截距，令0x =，得=2y -，所以直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，所以C 正确．
对D ：经过点()11，且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=或y x =，所以D 不正确；
故选：AD ．
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则下列命题正确的是（
）
A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4
π
B ．点
C 到平面11ABC
D 2C ．异面直线1D C 和1BC 所成的角为4
π.D ．线段PQ 长度的最小值为
33
【正确答案】ABD
【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断.【详解】解：由题意得：
正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2
对于选项A ：连接1B C ，设11B C BC 、交于O 点
111,B C BC B C AB ⊥⊥ 1B C ∴⊥平面11
ABC D 1CBC ∴∠即为直线BC 与平面11ABC D 所成的角，且14
CBC π
∠=
，故A 正确；对于选项B ：连接1B C ，设11B C BC 、交于O 点
11,CO BC B C AB ⊥⊥ CO ∴⊥平面11
ABC D ∴点C 到平面11ABC D 的距离为111
22222
CO B C =
=⨯=故B 正确；对于选项C ：连接1D C 、1AD ，由正方体性质可知1AD ∥1BC 故异面直线1D C 和1BC 所成的角即为1D C 和1AD 所成的角1AD C ∠又11
AD AC CD == 1AD C ∴ 为等边三角形
13
AD C π∴∠=
故C 错误；
对于选项D ：过P 作PM CD ⊥，过M 作MQ AC ⊥，连接PQ
PQ 为异面直线之间的距离，这时PQ 距离最小；
设DP x =，Rt DPM 为等腰直角三角形，则2
PM x =
，22CM CD DM x =-=-
Rt CQM 也为等腰直角三角形，则1
22222
MQ x x ⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭PMQ 为直角三角形
故2
2
222
2213342()224433PQ PM MQ x x x x x ⎛⎫⎫=+=+-=+=-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭
当x =
时，2PQ 取最小值43，故min 3
PQ =D 正确；故选：ABD
三、填空题
13．椭圆22
14
x y m +=的焦距为2，则m =__________．
【正确答案】3或5
【分析】本题首先可根据焦距为2得出1c =，然后将椭圆分为焦点在x 轴上以及焦点在y 轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果．
【详解】解：因为椭圆22
14
x y m +=的焦距为2，所以1c =，
若焦点在x 轴上，则有24m c =+，解得5m =；
若焦点在y 轴上，则有24m c =+，解得3m =；综上所述，3m =或5．故3或5．
14．已知直线12:3450,:6850l x y l x y +-=++=则1l 与2l 的距离d =___________.【正确答案】
3
2
##1.5【分析】根据平行线距离公式直接计算即可.
【详解】因为25
:3402
l x y ++=，则1l 与2l
的距离
32
d =，故32
15．已知直线l 的方向向量为()101a =-
，，，点()121A -，，在l 上，则点()212P -，
，到l 的距离为_______.
【分析】根据点到直线的空间向量坐标公式求解即可【详解】根据题意，得()133PA = －，
，－，()101a =
－，，
，cos a PA ∴=-
＜，＞
sin a PA ∴
＜，＞；又
PA = ∴点()212P
，－，到直线l
的距离为PA sin a PA =
＜，＞
16．已知动点P
与平面上两定点()
A ，)
B 连线的斜率的积为定值－1
2
．则动点P 的
轨迹方程为________
【正确答案】(2
212
x y x +=≠【分析】设出动点(),P x y ，据题意列出等式，化简得到轨迹方程，注意动点
P 不能与A 、B 两点重合，故x ≠【详解】设动点()
,P x y ，则PA
k =
，PB
k =
1
2-，整理
得：2
212x y +=，又因为动点P
不能与定点()
A
，)
B
重合
，故x ≠P
的轨迹方程为(2
212
x y x +=≠
故(2
212
x y x +=≠四、解答题
17．在三角形ABC 中，已知点A (4，0)，B (－3，4)，C (1，2)．(1)求BC 边上中线的方程；
(2)若某一直线过B 点，且x 轴上截距是y 轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．【正确答案】(1)35120(14)x y x +-=-≤≤(2)430x y +=或250
x y +-=【分析】（1）求得线段BC 的中点坐标，再结合点A 的坐标，由直线的点斜式写出直线方程；（2）分两类：①当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y ＝kx ，代入点B （－3，4），求出k 的值；②当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为2x y
m m
+=1，代入点B （－3，4），求得m 的值，得解.【详解】（1）∵B （－3，4），C （1，2），∴线段BC 的中点D 的坐标为（－1，3），又BC 边上的中线经过点A （4，0），∴y ()
03
41-=
--（x －4），即3x +5y －12＝0，
故BC 边上中线的方程35120(14)x y x +-=-≤≤.
（2）当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y ＝kx ，代入点B （－3，4），则4＝－3k ，解得k 43
=-，所以所求直线的方程为y 43
=-x ，即4x +3y ＝0；
当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为2x y
m m
+=1，代入点B （－3，4），则
3412m m -+=，解得m 5
2
=，所以所求直线的方程为552
x y +=
1，即x +2y －5＝0，
综上所述，该直线的一般式方程为4x +3y ＝0或x +2y －5＝0．
18．已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与y 轴相切于点()0,1.（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若圆C 与直线l ：0x y m -+=交于A ，B 两点，_____________，求m 的值.从下列两个条件
中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠=︒；条件②.AB =多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【正确答案】（Ⅰ）()()2
2
214x y -+-=；（Ⅱ）答案见解析.
【分析】（Ⅰ）设圆心(),C a b ，易知2a b =，由圆C 与y 轴相切于点()0,1，可求,a b 以及r ，写出圆C 的方程即可.
（Ⅱ）所给的两个条件，均可得C 到直线l 的距离1d =，结合点线距离公式即可求m 的值.【详解】（Ⅰ）设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知.2a b =又∵圆C 与y 轴相切于点()0,1，∴1b =，2a =，则02r a =-=.
∴圆C 的圆心坐标为()2,1，则圆C 的方程为()()2
2
214x y -+-=.
（Ⅱ）如果选择条件①：120ACB ∠=︒，而2CA CB ==，
∴圆心C 到直线l 的距离1d =，则1d =
=，解得1m =或1-.
如果选择条件②：AB =2CA CB ==，
∴圆心C 到直线l 的距离1d =，则1d =
=，解得1m =或1-.
19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒
∠=∠=．
(1)设1AA a = ，AB b = ，AC c =
，用向量,,a b c 表示1 BC ，并求出1BC 的长度；
(2)求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【正确答案】(1)1BC a c b =+-
；1BC
【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得1BC a c b =+-
，
根据1= BC 1BC 的
长度；
（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.
【详解】（1）1111111111BC BB B C BB A C A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+- ，
因为11||||cos 11cos 602
a b a b BAA ︒
⋅=⋅∠=⨯⨯= ，同理可得12a c b c ⋅=⋅=
，
所以1BC = （2）因为1AB a b
=+
，所以1AB = 因为2211()1111
112222
()1AB BC a b a c b a a c a b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅=+-++-⋅+⋅+⋅-=- ，
所以111111
cos ,AB BC AB BC AB BC ⋅<>==
所以异面直线1AB 与1BC
20．已知空间中三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -，设a AB = ，b AC =
.
（1）若3c = ，且//c BC ，求向量c ；
（2）已知向量ka b + 与b
互相垂直，求k 的值；
（3）求ABC ∆的面积.
【正确答案】（1）()2,1,2c =-r 或()2,1,2c =-- ；（2）5；（3）
3
2
【分析】（1）首先求出BC 的坐标，由//c BC ，可设c mBC =
，利用3c = ，求出参数的值，即可求
出结果．
（2）首先表示出ka b + 的坐标，由向量ka b + 与b
互相垂直，得到()0ka b b += ，即可求出k 的值．
（3）求出()1,1,0AB =-- ，()1,0,2AC =- ，()2,1,2BC =- ，cos ,||||
AB AC
AB AC AB AC <>=
，再由同角三角
函数的基本关系求出sin ,AB AC <>
，最后由面积公式求出ABC ∆的面积．
【详解】解：（1） 空间中三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -，设a AB = ，b AC =
，所以()()()1,1,22,0,21,1,0a AB =--=--=--
，()()()3,0,42,0,21,0,2b AC ==---=-
，∴(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC =----=-
，
3c = ，且//c BC ，设c mBC = ∴()()2,1,22,,2c mBC m m m m ==-=-
，
33c m ∴===
，
1m ∴=±，∴()2,1,2c =-r 或()2,1,2c =--
．
（2） ()()()1,0,21,,21,1,0ka b k k k -++=---=-- ，()
1,0,2b =-
且向量ka b + 与b
互相垂直，
()
140ka b b k ∴+=-+=
，解得5k =．
k ∴的值是5．
（3）因为
()1,1,0AB =-- ，()1,0,2AC =- ，()2,1,2BC =-
1
AB AC ∴=-
，AB = AC = cos ,
||||AB AC AB AC AB AC ∴<>==
sin ,
AB AC ∴<>= 1sin ,2
ABC S AB AC AB AC ∆∴=⨯⨯⨯<>
1
2=
32
=
．本题考查向量的求法，考查实数值、三角形的面积的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．21．如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2
π
∠BA =
，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的
中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1C A O ；
（Ⅱ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ6
3
．【详解】试题分析：（Ⅰ）先证1BE ⊥OA ，C BE ⊥O ，再可证BE ⊥平面1C A O ，进而可证CD ⊥平面1C A O ；（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，再算出平面1C A B 和平面1CD A 的法向量，进而可得平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）在图1中，
因为C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，D 2
π
∠BA =，所以C
BE ⊥A 即在图2中，1BE ⊥OA ，C BE ⊥O 从而BE ⊥平面1
AOC 又CD//BE ，所以CD ⊥平面1
AOC ．
（Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面CD B E ，又由（Ⅰ）知，1OA BE ⊥，C BE ⊥O 所以1A OC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2
A π
∠=．
如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为11B=E=BC=ED=1A A ，//BC ED
所以1(B E A C
得(BC
1A C
，(CD BE == ．
设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z = ，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =
，平面1BC A 与平面1CD
A 夹角为θ，
则1110{0n BC n A C ⋅=⋅=
，得11110
{0x y y z -+=-=，取1(1,1,1)n = ，
2210
{0
n CD n A C ⋅=⋅=
，得2220{0x y z =-=，取2(0,1,1)n = ，
从而12cos ,cos n n θ=〈〉=
，即平面1BC A 与平面1CD A
夹角的余弦值为
3
．1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用．
22．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为1F ，2F ，且122F F =，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
在该椭圆上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AF B
2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程．
【正确答案】(1)22
143
x y +=；
(2)()2
212x y -+=.
【分析】（1）依题意可得1c =，从而得到1F ，2F 的坐标，再根据椭圆的定义求出a ，最后求出2b ，即可得到椭圆方程；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线l 的方程为()1y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出AB ，
再利用点到直线的距离公式得到圆的半径，最后根据2AF B 的面积得到方程，即可求出k ，从而求出圆的方程.
【详解】（1）解：由题意知1c =，所以()11,0F -，()21,0F ，
所以，由椭圆定义知：24a ==，
则2a =，2223b a c =-=，
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
（2）解：①当直线l x ⊥轴时，令=1x -，可得
()2
2
11
4
3
y -+=，解得32y =±，可取31,2A ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，此时2AF B 的面积212332AF B S =⨯⨯= ，与题设矛盾，舍去．
②当直线l 与x 轴不垂直时，
设直线l 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程得()2
2
223484120k x
k x k +++-=，
()()422644344120k k k ∆=-+->成立，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=-+，2
122
412
34k x x k
-=+，
可得()22
12134k k
AB +=+．
又圆2F 的半径r
∴2AF B 的面积为1127
AB r =⋅=，化简得4217180k k +-=，解得1k =±，
∴r =∴圆2F 的方程为()2
212x y -+=．。