4复合函数的求导法则

2z 2z x2 , y2 .
数),求 u , u , u . x y z
四、设 z f ( x, x ),(其中 f 具有有二阶连续偏导数),求
y
2z x2
,
2z xy
,
2z y2
.
七、设 z
y f (x2
y 2 ) ,其中为可导函数,
验证: 1 z x x
1 z y y
z y2 .
八、设 z [x ( x y), y],其中 , 具有二阶导数,求
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
例如,
u
1 ;
2. 全微分形式不变性
2 x y v xy
不论 u , v 是自变量还是因变量,
dz fu(u,v)du fv (u,v)dv
备用题
1. 已知
求
解: 由
两边对 x 求导, 得
2. 设函数
在点
f f (1,1) 1,
第四节
第八章
复合函数的求导法则Chain Rule
一元复合函数 求导法则 微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
在点t处可导, z f (u,v)
点处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
uv w
f1 f2 f3
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
t tt
z f (u,v) , u ( x, y), v ( x, y)
z x
z
u
z
v
u x v x
f11
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f 2 1
z
uv
z y
z u z v u y v y
f2( x, f ( x, x))
3 2 3 (2 3) 51
x1
一、设 z arctan(xy),而 y e x ,求 dz . dx
二、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具有一阶连续偏导
数),求 z , z . x y
三、设u f ( x xy xyz),(其中f具有一阶连续偏导
解: u f x x
2
xe
x2
y2
z22ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
2 x (1 2 x2 sin2 y)e x2 y2 x4 sin2 y
u
x yz
u y
f y
f z
z y
2
ye
x2
y2
z
2
2ze
x2
y
2
z
2
x2
cos
y
2 ( y x4 sin y cos y )e x2 y2 x4 sin2 y
xy
例3. 设 z uv sin t , u et ,v cos t , 求全导数 dz .
dt
解: d z z du
z
d t u d t
t
z
vet
cos t
uvt
e t (cos t sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
2,
x (1,1)
( x) f ( x, f ( x, x)), 求
处可微 , 且
f
3,
y (1,1)
(2001考研)
解: 由题设 (1) f (1, f (1,1)) f (1,1) 1
d 3( x) 3 2( x) d
dx
x1
dx x 1
3 f1( x, f ( x, x))
ux
(2)
2u x2
((uu)) rx xx
cos
( u ) x
sin r
r
u ( r
cos
u sin r
) cos
r
x yx y
注意利用 已有公式
( u cos u sin ) sin
r
r r
2
u
2 sin cos r2
u sin2
r r
2u
x2
同理可得
u
2sin cos r2
u r
sin2 r
2u y2
2u r 2
sin2
2
2u r
sin
cos r
2u 2
cos 2 r2
2u x2
2u y2
2u r 2
u
2sin cos r2
u cos2 r r
1 r2
2u 2
1 r2
r
r
(
r
u) r
2u 2
二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 z f (( x, y), ( x, y))的全微分为
dz z dx z dy x y
( z u z v )dy u y v y
( u dx udy ) x y
( v dx v dy ) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
f12
f2 2
x
yx
y
又如, z f ( x,v), v ( x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
z x
f x
f1 f21
z f xv
z y
f2 2
xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
uv
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v) ut, vt
u2v u2 v
2
,
0,
u2 v2 0 u2 v2 0
例1. 设 z eu sinv , u x y , v x y , 求 z , z . x y
解: z x
z v v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
例2. u f ( x, y, z) e x2 y2z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
易知:
但复合函数 z f ( t, t ) t 2
dz 1 z du z dv 0 1 0 1 0
dt 2 u dt v dt
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u,v, w) ,
u (t), v (t), w (t)
z
uv
t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
t
有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
o( )
r
r
u u r u y r y y
r y , y r
y
1
1
x
(
y x
)2
x x2 y2
u r
y r
u
x r2
u r
u sin u cos
r
r
x yx y
(
u x
)2
(
u y
)2
(
u r
)2
1 r2
(
u
)2
已知 u u cos u sin
u
x r
r
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: dz d( eu sin v ) eu cos v dv
d (xy)
d (x y)
(yd x xdy) e x y[ y sin( x y) cos( x y)]d x
(dx dy)
dy
所以
例1 . z eu sin v, u xy, v x y, 求 z , z . x y
f11 y( x z) f12
f1
xy2ufz
, f
2f212
y
2 ff2,2 x
fu2 v
y
例5. 设
二阶偏导数连续, 求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
(1) u u r x r x
(当 在二、三象限时, arctan y )
x
u
r
x yx y
u cos u sin
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w , 2w . x xz 解: 令 u x y z , v x yz , 则
w , f1 , f2
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 ( x y z, x yz)
2w 为x简 z便起见
,引f入12 记 x号y