人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习

【新教材】
人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计
2.1《等式性质与不等式性质》教案
教材分析：
等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.
教学目标与核心素养：
课程目标
1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．
2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．
3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养
1.数学抽象：不等式的基本性质；
2.逻辑推理：不等式的证明；
3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；
4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；
5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

教学重难点：
重点：掌握不等式性质及其应用．
难点：不等式性质的应用．
课前准备：多媒体
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：
一、情景导入
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.
要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？
2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？
3.重要不等式是？
4.等式的基本性质？
5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究
1、 两个实数比较大小的方法 作差法 {a −b >0⟺a >b
a −
b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b
作商法{ a
b >1⟺a >b a
b =1⟺a =b a
b <1⟺a <b
2.不等式的基本性质
3.重要不等式
四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:
(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)
b a c
b c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) d
b
c a
d c b a >⇒
>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×
解题技巧：（不等式性质应用）
可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一
1、用不等号“>”或“<”填空：
（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1
a 2 ______1
b 2 （4）如果a>b>c>0，那么c
a _______ c
b
【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小
例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求c
a >c
b 。

【答案】（1）见解析 （2）见证明 【解析】（1）因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)
=x2+5x+6-(x2+5x+4) =2>0，
所以(x+1)(x+2)>(x+1)(x+4) （2）证明：因为a>b>0，所以ab>0，1
ab >0， 于是a ∙1
ab >b ∙1
ab ,即1
b >1
a . 由c >0，得c
a >c
b .
解题技巧：(比较法的基本步骤)
1、作差(或作商)2.变形3.定号(与0比较或与1比较). 跟踪训练二
1.比较(x +3)(x +7)和(x +4)(x +6)的大小.
2.已知a>b ，证明a >
a+b 2
>b .
【答案】（1）见解析 （2）见证明
【解析】（1）解： (x +3)(x +7)-(x +4)(x +6) =x 2+10x +21−(x 2+10x +24)。

=-3<0
所以(x +3)(x +7)<(x +4)(x +6) （2）证明 a −
a+b 2
=
2a−(a+b )2=
a−b 2
>0；
a+b 2
−b =
a+b−2b 2
=
a−b
2
>0
所以a >
a+b 2
>b .
题型三 综合应用
例3 （1）已知2<a <3,−2<b <−1,求2a +b 的取值范围.
（2）对于直角三角形的研究,中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例,而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于 . 【答案】（1）见解析 （2）25
4
【解析】 ：（1） 4<2a <6， −2<b <−1，2 <2a +b <5.
(2) 设直角三角形的斜边长为c,直角边长分别为a,b,由题意知c=5,则a 2
+b 2
=25,则三角形的面积S=1
2ab,∵25=a 2
+b 2
≥2ab,∴ab ≤252,则三角形的面积S=1
2ab ≤
1
2
×252
=
25
4
,即这个直角三角形面积的最大值等于25
4. 解题技巧：（重要不等式的应用及多项式的取值范围）
1、利用已知条件列出满足的等式和不等式，然后利用重要不等式解决相应的问题。

（注意等于号满足的条件）
2、多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法） 跟踪训练三
1.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2只玫瑰花所需费用为A 元,购买3只康乃馨所需费用为B 元,则A,B 的大小关系是( ) A.A>B B.A<B C.A=B
D.A,B 的大小关系不确定 【答案】A
【解析】 由题意得{
2x +y >8,
4x +5y <22,
2x=A,3y=B,
整理得x=A
2,y=B
3,{A +B
3>8,
2A +5B
3<22,
将A+B
3>8乘-2与2A+5
3B<22相加,解得B<6,将B<6代入A>8-B
3中,解得A>6,故A>B.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计
七、作业
课本42页习题2.1 教学反思：
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握不等式的基本性质及其应
用，为后面学习基本不等式打下理论基础.
2.2《基本不等式》教案
教材分析：
“基本不等式” 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.
教学目标 【知识与技能】
1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2.2
a b
+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】
通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】
通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重难点 【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2
a b
+≤的证明过程； 【教学难点】
1.2
a b
+≤
等号成立条件；
2.2
a b
+≤求最大值、最小值.
教学过程 1.课题导入
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
一般地，∀a,b ∈R ，有
a 2+
b 2≥2ab ，
当且仅当a =b 时，等号成立
特别地，如果a >0，b >0，我们用√a ,√b 分别代替上式中的a ，b ，可得
√ab ≤
a+b 2
①
当且仅当a =b 时，等号成立.
通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality ）.其中，a+b 2
叫做
正数a ，b 的算术平均数，√ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 思考: 上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.
2.讲授新课
1）2
a b
+≤
特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，
(a>0,b>0)2
a b
+≤
2）2
a b
+≤
用分析法证明：
要证
2
a b
+≥ （1）
只要证 a +b ≥ （2）
要证（2），只要证 a +b - ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.
探究1： 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C
作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2
a b
+≤的几何解释吗？
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为
2
b
a +，显然，它大于或等于CD ，即a
b b
a ≥+2
，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2
a b
ab +≤几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1.如果把2
b
a +看作是正数a 、
b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等
比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.
在数学中，我们称
2
b
a +为a 、
b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.
例1 已知x >0，求x ＋1
x 的最小值.
分析：求x ＋1
x 的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1
x ），使∀x >0，都有x ＋1
x ≥y .观察x +1
x ，发现x ∙1
x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1
x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以
x ＋1x ≥2√x ∙1
x =2
当且仅当x = 1
x ，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.
在本题的解答中，我们不仅明确了∀x >0，有x ＋1
x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1
x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1
x （x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1
x =y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1
x （x >0）的最小值吗？
例2已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2√P；
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值1
S2.
4
证明：因为x，y都是正数，所以
x+y
≥√xy.
2
（1）当积xy等于定值P时，
x+y
≥√P，
2
所以
x+y≥2√P，
当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2√P.
（2）当和x+y等于定值S时，
,
√xy≤S
2
所以
S2，
xy≤1
4
当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值1
S2.
4
例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.
（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.
（1）由已知得xy=100.
由
x+y
2
≥√xy，
可得
x+y≥2√xy=20，
所以
2（x+y）≥40，
当且仅当x=y=10时，上式等号成立
因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.
（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xy m2.
由
√xy≤x+y
2=18
2
=9，
可得
xy≤81，
当且仅当x=y=9时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.
例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为
4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁
每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价
最低？最低总造价是多少？
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有
z=150×4800
3
+120（2×3x+2×3y）
=240000+720（x+y）.
由容积为4800m3，可得
3xy =4800，
因此
xy =1600.
所以
z ≥240000+720×2√xy ，
当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习
1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：
（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b
a ≥+2
（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2√ab ＞0
b ＋
c ≥2√bc ＞0 c ＋a ≥2√ca ＞0
∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2√ab ·2√bc ·2√ca ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（
a+b 2
），几何平均数（√ab ）及它们的关系（
a+b 2
≥√ab ）.它们成立的条件不同，
前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤
a 2+
b 2
2
，ab ≤（
a+b 2
）2.
我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些
最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
2.3 《二次函数与一元二次方程、不等式》教案
教材分析：
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。

教学目标与核心素养：
课程目标
1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．
3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

数学学科素养
1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

教学重难点：
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;
难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．
课前准备：多媒体
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：
一、情景导入
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了
三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、
预习课本，引入新课
阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
2.解一元二次不等方的步骤？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究
1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：
判别式
Δ=b 2
-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax 2
+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x 1,x 2 (x 1<x 2)
有两相等实根 x 1=x 2
没有实数根
ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集
{x|x >x 2或x <x 1}
{x|x ≠−
2b a
} R
ax 2+bx+c<0 (a>0)的解集
{x|x 1<x <x 2}
∅
∅
a
b 2-
=
2.一元二次不等式ax 2
+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.
(1)解ax 2
+bx+c=0；
(2)判断开口方向；
(3)根据开口方向和两根画草图；
(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；
不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.
四、典例分析、举一反三
题型一解不等式
例1求下列不等式的解集
（1）x2−5x+6>0
（2）9x2−6x+1>0
（3）−x2+2x−3>0
【答案】（1）{x|x<2,或x>3}（2）{x|x≠1
3
}（3）∅解题方法（解不等式）
(1)解ax 2
+bx+c=0；
(2)判断开口方向；
(3)根据开口方向和两根画草图；
(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；
不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；
跟踪训练一
1、求下列不等式的解集
（1）(x+2)(x−3)>0；
（2）3x2−7x≤10；
（3）−x2+4x−4<0
（4）x2−x+1
4
≤0
【答案】（1）{x|x<−2,或x>3}（2）{x|x≤−3,或x≥10
3
}
（3） {x|x ≠2} （4） {x|x =1
2}
题型二 一元二次不等式恒成立问题
例2 (1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式
20ax bx c ++>的解集为____________．
(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤
C ．k 0<或1k >
D ．0k ≤或1k >
【答案】（1）{}|23x x -<< （2）A
【解析】（1）由韦达定理得231236b
a
c a
⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式
20ax bx c ++>，
得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<， 因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<， 故答案为：{}|23x x -<<.
（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意； 当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；
当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。

综上，k 的取值范围是01k ≤≤. 解题方法（一元二次不等式恒成立问题）
1、恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方，从而确定∆的取值范围，进而求参数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 跟踪训练二
1．已知不等式20x x a -->的解集为{|3x x >或}2x <-，则实数a =__________. 2. 对任意实数x ，不等式2(3)2(3)60a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是____．
【答案】1、6 2、−3<a <3
【解析】1、由题意可知2-，3为方程20x x a --=的两根， 则23a -⨯=-，即6a =.故答案为：6
2、①当30a -=，即3a =时，不等式为：60-<，恒成立，则3a =满足题意 ②当30a -≠，即3a ≠时，不等式恒成立则需：
()()()2
30
434360a a a -<⎧⎪⎨∆=---⨯-<⎪⎩
，解得：−3<a <3 综上所述：−3<a ≤3
题型三 一元二次不等式的实际应用问题
例3 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系： y =−2x 2+220x .
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 【答案】见解析
【解析】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x 辆摩托车，根据题意，得
−2x 2+220x >6000. 移项整理，得
x 2−110x +3000<0.
对于方程 x 2−110x +3000=0，∆=100>0，方程有两个实数根x 1=50，x 2=60.
画出二次函数y= x 2−110x +3000的图像，结合图象得不等式 x 2−110x +3000<0的解集为{x|50<x<60}，从而原不等式的解集为 {x|50<x<60}.
因为x 只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益. 解题方法（一元二次不等式实际应用问题） （1）根据题意列出相应的一元二次函数； （2）由题意列出相应一元二次不等式； （3）求出解集；
（4）结合实际情况写出最终结果. 跟踪训练三
1.用可围成32 m 墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？
【答案】当长方形一边(垂直于旧墙)为16
m 5
，另一边为4 m 时猪舍面积最大，最大值为
2
2565
m . 【解析】设长方形的一边(垂直于旧墙)长为x m ，则另一边长为325m 4x -⎛⎫
⎪⎝⎭，总
面积
2(325)532S x x x x =-=-+，3205x <<
，当16m 5x =时，()2
max 256m 5S =． 答：当长方形一边(垂直于旧墙)为16
m 5
，另一边为4 m 时猪舍面积最大，最大
值为22565
m .
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本习题2.3
教学反思：
本节通过画图，看图，分析图，小组讨论列出表格深化知识，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。

第二章《一元二次函数、方程和不等式》章末综合复习
不等式的性质
【例1】 如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则以下列选项中不一定成立的是( )
A ．ab ＞ac
B ．c (b －a )＞0
C ．cb 2＜ab 2
D ．ac (a －c )＜0
C [c ＜b ＜a ，ac ＜0⇒a ＞0，c ＜0.
对于A ： ⎭
⎬⎫b ＞c a ＞0⇒ab ＞ac ，A 正确． 对于B ： ⎭
⎬⎫b ＜a ⇒b －a ＜0c ＜0⇒c ·(b －a )＞0，B 正确． 对于C ：
⎭⎬⎫c ＜a b 2≥0⇒cb 2≤ab 2cb 2＜ab 2，C 错，即C 不一定成立．
对于D ：ac ＜0，a －c ＞0⇒ac (a －c )＜0，D 正确，选C.]
不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了.
若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )
A ．ab >ac
B ．ac >bc
C ．a |b |>c |b |
D ．a 2>b 2>c 2 A [由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，
又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A.]
若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．
－1≤a －b ≤6 [∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，
∴－1≤a －b ≤6.]
基本不等式
【例2】 设x <－1，求y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1
的最大值． [解] ∵x <－1，∴x ＋1<0.
∴－(x ＋1)>0，
∴y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1
＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1
＋5 ＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－(x ＋1)＋4－(x ＋1)＋5 ≤－24＋5＝1，
当(x ＋1)2＝4，即x ＝－3时取“＝”．]
基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.
若x ，y 为实数，且x ＋2y ＝4，则xy 的最大值为________．
2 [xy ＝12·x ·(2y )≤12·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2y 22
＝2(当且仅当x ＝2y ，且x ＋2y ＝4，即x ＝2，y ＝1时取“＝”)．]
一元二次不等式的解法
【例3】 解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a ＜0.
[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .
函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以
(1)当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；
(2)当a ＝－1时，原不等式解集为∅；
(3)当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }．
解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.
若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是{x |1＜x ＜m }，则m ＝________. 2 [因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集是{x |1＜x ＜m }，
所以1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，
且m >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，1＋m ＝6a ，
1·m ＝a
⇒⎩⎨⎧
m ＝2，a ＝2.] 不等式恒成立问题 【例4】 (1)若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈{x |m ≤x ≤m ＋1}都成立，则实数m 的取值范围是________．
(2)对任意－1≤m ≤1，函数y ＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．
(1)－22＜m ＜0 [由题意，得函数y ＝x 2＋mx －1在{x |m ≤x ≤m ＋1}上的最
大值小于0，又抛物线y ＝x 2＋mx －1开口向上，
所以只需⎩
⎨⎧ m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0， 即⎩⎨⎧ 2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.] (2)[解] 由y ＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m
＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，
g ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4可看作以m 为自变量的一次函数．
由题意知在－1≤m ≤1上，g 的值恒大于零，
所以⎩⎨⎧
(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4＞0，(x －2)＋x 2－4x ＋4＞0，
解得x ＜1或x ＞3.
故当x ＜1或x ＞3时，对任意的－1≤m ≤1，函数y ＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零．
对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：
(1)变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.
(2)转化法求参数范围
已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值的集合为B ＝{y |m ≤y ≤n }， 则(1)y ≥k 恒成立⇒y min ≥k 即m ≥k ；
(2)y ≤k 恒成立⇒y max ≤k 即n ≤k .
若不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．
[解] ∵1<x <4，
∴不等式ax 2－2x ＋2>0可化为a >2x －2x 2.
令y ＝2x －2x 2，且1<x <4，
则y ＝2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －122＋12≤12， 当且仅当1x ＝12，即x ＝2时，函数y 取得最大值12，
∴a >12即为所求．。