人教版数学八年级上册 综合专题2—全等三角形手拉手模型

长线交 CE 于 F 点.
证明重要结论：
C
① △ABD≌△ACE；
FD
② BD = CE；
③ BD 的延长线 BF⊥CE；
EA
B
解：∵△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形， ∴ AB = AC，AD = AE. 在△ABD 和△ACE 中，
∴ △ABD≌△ACE(SAS). ∴ BD = CE. ∴ ∠ABD = ∠ACE. ∵ ∠BDC = ∠ABD + ∠BAC
E
① △ABD≌△ACE
② BD = CE
③ ∠BFC = ∠BAC = ∠DAE B
F D G
C
解：∵△ABC、△ADE 都是等腰三角形，
∴ AB = AC，AD = AE.
又∵∠BAC = ∠DAE，
A
∴∠BAC + ∠CAD =∠DAE +∠CAD，
即∠BAD = ∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中
BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点
Q，连接 PQ，则有以下五个结论： B ① AD = BE； ② PQ∥AE；
③ AP = BQ； ④ DE = DP；
⑤∠AOB = 60°．
P
OD Q
其中正确的结论有__①__②__③__⑤___.
A
C
E
=∠ACE + ∠BFC， ∴ ∠BFC = ∠BAC = 90°. ∴ BF⊥CE.
C FD
EA
B
练一练
2. 如图，△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，
∠BAC = ∠DAE = 90°，连接 BD、CE 交于点 F.
(1) 求证：BD = CE； (2) 求证：BD⊥CE. C
解：(1)∵△ABC、△ADE 都是等腰直角
二、手拉手模型的类型
手拉手模型的类型主要有：“等腰△+等腰△”；“等 腰直角△+等腰直角△”；“等边△+等边△”；“正 方形+正方形”、“正方形+等腰直角△”.
A
C
E
D
D
B
C
等腰△+等腰△
EA
B
等腰直角△+等腰直角△
B E
B
B
E E
C
A
DC
A
C
A
D
D
等边△+等边△ 正方形+正方形 正方形+等腰直角△
∴ BH = CG，AH = AG.
B
5 G6
E F
7H
3 4 2 18
A
D
在△AEG 和△ADH 中 ∠3 =∠1， AE = AD， ∠7 =∠8，
∴△AEG≌△ADH(ASA). ∴ EG = DH. ∵ AG = AH，∠3 = 60°， ∴△AGH为等边三角形. ∴∠AGH = 60°. ∴∠AGH = ∠2. ∴ GH∥CD.
第十二章 全等三角形
综合专题讲解—手拉手模型
一、手拉手模型的定义 1. 定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形 成的图形.(左手拉左手，右手拉右手)
2. 满足条件： ①两个等腰三角形(也可以是
A(头)
B(左手)
等边三角形、正方形等)； ②共顶点；
A(头)
③顶角相等.
B(左手) C(右手) C(右手)
B
5
E
G
6
F 7H
3 4 2 18
C
A
D
过 A 点作 AN⊥BD，AM⊥CE，垂 B 足分别为 N，M. ∵△ABD≌△ACE， ∴S△ABD = S△ACE. ∵ S△ABD = BD ·AN，
C S△ACE = CE ·AM
又∵ BD = CE，∴ AN = AM. ∵ AN⊥BD，AM⊥CE，且 AN = AM， ∴ FA 平分∠CFD.
A
D
∴∠2=∠6=60°，即 BD 与 CE 所成的夹角(锐角)为 60°.
∵∠1 =∠2 = 60°， ∴∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 = 60°. ∴∠1 = ∠2 = ∠3. 在△ABH 和△ACG 中，
∠3 =∠2，
AB = AC，
∠5 =∠4，C来自∴△ABH≌△ACG (ASA).
③ BD 与 CE 的夹角(锐角)为 60°
④ △ABH≌△ACG(BH = CG)
⑤ △AEG≌△ADH(EG = DH)
⑥ FA 平分∠CFD
⑦ GH∥CD ⑧ CF = AF + BF
C
B
FE
G
H
A
D
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴ AB = AC，AD = AE，∠1 = ∠2 = 60°.
∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3，即∠BAD = ∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中 AB = AC，
∠BAD =∠CAE， AD = AE，
∴△ABD≌△ACE (SAS). ∴ BD= CE，∠4=∠5，∠7=∠8. ∵∠BGC = ∠2 +∠4 =∠5 +∠6，C
B
5
E
G
6
F 7H
4 2 31 8
∴ BD = CE.
A
B
(2)∵△ABD≌△ACE，
E
∴∠ABD =∠ACE.
∵∠CGB = ∠ABD + ∠CAB =∠ACE + ∠CFG，
∴∠CFG = ∠CAB = 90°.
∴ BD⊥CE.
“等边△+等边△” B E
B
A
E
D
C
A
DC
典型图形讲解
重要结论：
① △ABD≌△ACE
② BD = CE
“等腰△+等腰△”
A
A
E
E A
D
E
D
D
B
CB
CB
C
观察：△ADE 在绕着顶点 A 旋转的过程中， △ABD 与△ACE 是否一直全等？
例1 已知：△ABC、△ADE 都是等腰三角形，且
∠BAC =∠DAE，连接 CE，BD，线段 BD 与 AC 交于
G 点，且其延长线交 CE 于 F 点.
A
证明以下重要结论：
M
F
E N
A
D
在线段 CF上截取 KF = BF.
B
∵ KF = BF，∠6 = 60°， ∴△BFK 是等边三角形 ∴ BF = BK，∠KBF = 60°. 又∵△ABC 是等边三角形， ∴ BA = BC，∠CBA = 60°.
5
E
9 10 G
6
F 7H
K
4 2 18
C
A
D
∴∠5 +∠10 = ∠9 +∠10 = 60°.∴∠5 = ∠9.
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
G
∴ BD = CE. ∴ ∠ABD =∠ACE.
B
∵ ∠BGC =∠ABD +∠BAC = ∠ACE + ∠BFC，
∴ ∠BFC = ∠BAC =∠DAE.
E F D
C
练一练
1. 如图，已知 AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，
∠BAD = 22°，∠ACE = 30°，则∠ADE 的度数是
三角形， ∴ AB = AC，AD = AE.
DF
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°，
∴ ∠BAC +∠DAC = ∠DAE + ∠DAC， A
B
即∠BAD = ∠CAE.
E
在△ABD 和△ACE 中
C
AB = AC，
∠BAD =∠CAE， AD = AE，
DF G
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
BA = BC， 在△BAF 和△BCK 中， ∠5 =∠9， ∴△BAF≌△BCK(SAS). BF = BK，
∴ AF = CK. ∴CF = CK + KF = AF + BF.
练一练
3. 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与 A，E 重合），
在 AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△ECD，AD 与
___5_2_° __.
A
E F
D
B
C
“等腰直角△+等腰直角△”
C D
EA
C
D
B
A
C D
E
B
A
B
E 观察：△ADE 在绕着顶点 A 旋转的过程中，△ABD 与△ACE 是否一直全等？
例2 已知：△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，
∠BAC = ∠DAE = 90°，连接 CE，BD，线段 BD 延