人教版数学八年级上册 综合专题2—全等三角形手拉手模型
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长线交 CE 于 F 点.
证明重要结论:
C
① △ABD≌△ACE;
FD
② BD = CE;
③ BD 的延长线 BF⊥CE;
EA
B
解:∵△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形, ∴ AB = AC,AD = AE. 在△ABD 和△ACE 中,
∴ △ABD≌△ACE(SAS). ∴ BD = CE. ∴ ∠ABD = ∠ACE. ∵ ∠BDC = ∠ABD + ∠BAC
E
① △ABD≌△ACE
② BD = CE
③ ∠BFC = ∠BAC = ∠DAE B
F D G
C
解:∵△ABC、△ADE 都是等腰三角形,
∴ AB = AC,AD = AE.
又∵∠BAC = ∠DAE,
A
∴∠BAC + ∠CAD =∠DAE +∠CAD,
即∠BAD = ∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中
BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点
Q,连接 PQ,则有以下五个结论: B ① AD = BE; ② PQ∥AE;
③ AP = BQ; ④ DE = DP;
⑤∠AOB = 60°.
P
OD Q
其中正确的结论有__①__②__③__⑤___.
A
C
E
=∠ACE + ∠BFC, ∴ ∠BFC = ∠BAC = 90°. ∴ BF⊥CE.
C FD
EA
B
练一练
2. 如图,△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形,
∠BAC = ∠DAE = 90°,连接 BD、CE 交于点 F.
(1) 求证:BD = CE; (2) 求证:BD⊥CE. C
解:(1)∵△ABC、△ADE 都是等腰直角
二、手拉手模型的类型
手拉手模型的类型主要有:“等腰△+等腰△”;“等 腰直角△+等腰直角△”;“等边△+等边△”;“正 方形+正方形”、“正方形+等腰直角△”.
A
C
E
D
D
B
C
等腰△+等腰△
EA
B
等腰直角△+等腰直角△
B E
B
B
E E
C
A
DC
A
C
A
D
D
等边△+等边△ 正方形+正方形 正方形+等腰直角△
∴ BH = CG,AH = AG.
B
5 G6
E F
7H
3 4 2 18
A
D
在△AEG 和△ADH 中 ∠3 =∠1, AE = AD, ∠7 =∠8,
∴△AEG≌△ADH(ASA). ∴ EG = DH. ∵ AG = AH,∠3 = 60°, ∴△AGH为等边三角形. ∴∠AGH = 60°. ∴∠AGH = ∠2. ∴ GH∥CD.
第十二章 全等三角形
综合专题讲解—手拉手模型
一、手拉手模型的定义 1. 定义:两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形 成的图形.(左手拉左手,右手拉右手)
2. 满足条件: ①两个等腰三角形(也可以是
A(头)
B(左手)
等边三角形、正方形等); ②共顶点;
A(头)
③顶角相等.
B(左手) C(右手) C(右手)
B
5
E
G
6
F 7H
3 4 2 18
C
A
D
过 A 点作 AN⊥BD,AM⊥CE,垂 B 足分别为 N,M. ∵△ABD≌△ACE, ∴S△ABD = S△ACE. ∵ S△ABD = BD ·AN,
C S△ACE = CE ·AM
又∵ BD = CE,∴ AN = AM. ∵ AN⊥BD,AM⊥CE,且 AN = AM, ∴ FA 平分∠CFD.
A
D
∴∠2=∠6=60°,即 BD 与 CE 所成的夹角(锐角)为 60°.
∵∠1 =∠2 = 60°, ∴∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 = 60°. ∴∠1 = ∠2 = ∠3. 在△ABH 和△ACG 中,
∠3 =∠2,
AB = AC,
∠5 =∠4,C来自∴△ABH≌△ACG (ASA).
③ BD 与 CE 的夹角(锐角)为 60°
④ △ABH≌△ACG(BH = CG)
⑤ △AEG≌△ADH(EG = DH)
⑥ FA 平分∠CFD
⑦ GH∥CD ⑧ CF = AF + BF
C
B
FE
G
H
A
D
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形,
∴ AB = AC,AD = AE,∠1 = ∠2 = 60°.
∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3,即∠BAD = ∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中 AB = AC,
∠BAD =∠CAE, AD = AE,
∴△ABD≌△ACE (SAS). ∴ BD= CE,∠4=∠5,∠7=∠8. ∵∠BGC = ∠2 +∠4 =∠5 +∠6,C
B
5
E
G
6
F 7H
4 2 31 8
∴ BD = CE.
A
B
(2)∵△ABD≌△ACE,
E
∴∠ABD =∠ACE.
∵∠CGB = ∠ABD + ∠CAB =∠ACE + ∠CFG,
∴∠CFG = ∠CAB = 90°.
∴ BD⊥CE.
“等边△+等边△” B E
B
A
E
D
C
A
DC
典型图形讲解
重要结论:
① △ABD≌△ACE
② BD = CE
“等腰△+等腰△”
A
A
E
E A
D
E
D
D
B
CB
CB
C
观察:△ADE 在绕着顶点 A 旋转的过程中, △ABD 与△ACE 是否一直全等?
例1 已知:△ABC、△ADE 都是等腰三角形,且
∠BAC =∠DAE,连接 CE,BD,线段 BD 与 AC 交于
G 点,且其延长线交 CE 于 F 点.
A
证明以下重要结论:
M
F
E N
A
D
在线段 CF上截取 KF = BF.
B
∵ KF = BF,∠6 = 60°, ∴△BFK 是等边三角形 ∴ BF = BK,∠KBF = 60°. 又∵△ABC 是等边三角形, ∴ BA = BC,∠CBA = 60°.
5
E
9 10 G
6
F 7H
K
4 2 18
C
A
D
∴∠5 +∠10 = ∠9 +∠10 = 60°.∴∠5 = ∠9.
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
G
∴ BD = CE. ∴ ∠ABD =∠ACE.
B
∵ ∠BGC =∠ABD +∠BAC = ∠ACE + ∠BFC,
∴ ∠BFC = ∠BAC =∠DAE.
E F D
C
练一练
1. 如图,已知 AB = AC,AD = AE,∠BAC = ∠DAE,
∠BAD = 22°,∠ACE = 30°,则∠ADE 的度数是
三角形, ∴ AB = AC,AD = AE.
DF
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°,
∴ ∠BAC +∠DAC = ∠DAE + ∠DAC, A
B
即∠BAD = ∠CAE.
E
在△ABD 和△ACE 中
C
AB = AC,
∠BAD =∠CAE, AD = AE,
DF G
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
BA = BC, 在△BAF 和△BCK 中, ∠5 =∠9, ∴△BAF≌△BCK(SAS). BF = BK,
∴ AF = CK. ∴CF = CK + KF = AF + BF.
练一练
3. 如图,C 为线段 AE 上一动点(不与 A,E 重合),
在 AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△ECD,AD 与
___5_2_° __.
A
E F
D
B
C
“等腰直角△+等腰直角△”
C D
EA
C
D
B
A
C D
E
B
A
B
E 观察:△ADE 在绕着顶点 A 旋转的过程中,△ABD 与△ACE 是否一直全等?
例2 已知:△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形,
∠BAC = ∠DAE = 90°,连接 CE,BD,线段 BD 延