初二【数学(人教版)】角的平分线的性质的综合运用
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A
B
C
应用 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在
三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要
使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处
修建？
A
分析：
可以从定理1入手
也可以从定理2入手
B
C 总之找角平分线交点
已知△ABC，在它的内部求作一个点O，使其到三
角形三边都相等．
作图：
分别作∠BAC和
A
∠ABC的平分线，
P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A
ND
F
M
思路：过点P分别向三角形 各边作垂直，标垂足．
P
由角的平分线的性质得
B
E
C
PD = PE 及 PE = PF．
进而PD = PE = PF．
于是问题得证．
追问 点P在∠BAC的平分线上吗？
这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
A
ND
F
M
分析：“双垂距离推角分” 略证：（用已证结论）
两线交于点O，
则点O即为所求．
O
课下可以试试证明．
B
C
发展 已知△ABC，求作一个点O，使其到三角形
三边都相等． A
分析：
（1）根据之前的Biblioteka 研究，在三角形内O1
部，两条角平分线
B
C
的交点符合要求；
（2）在三角形的外部呢？ 有相邻两外角的平分线的交点，符合要求吗？
O2 B
A
O1 C
作法：如图 （1）作△ABC两 内角的平分线，其 O3 交点为O1； （2）分别作 △ABC两外角平分 线，其交点分别为 O2，O3，O4．
O4
作法：如图
O2
（1）作△ABC两
A
内角的平分线，其
O3 交点为O1；
O1
（2）分别作
B
C
△ABC两外角平分
线，其交点分别为
O2，O3，O4．
O4
则O1，O2，O3，O4即为所求．
O2
回答之前的问题：
A
不加“角的内部”
定理2是不对的．
O3
O1
还有其他点符合要求
B
C
到角两边距离相等的点在
三角形内角的平分线或者
∵PF = PG = PH（已证），
G P E 又PF⊥AB，PH⊥AC，
A
BF
∴点P在∠BAC的平分线上．
这说明：三角形的相邻两个外角的平分线与
第三个角的角平分线交于一点．
应用 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在
三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要 使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处 修建？
小结
4．有时候解决问题的方法不止一种，步骤难 度可能差不多也可能有优劣． 希望大家多尝试，多比较，多思考，多积累， 逐步做到会-对-好．
作业
1．如图，△ABC的角平分线AP和外角平分线BP 相交于点P，求证：点P也在∠BCD的平分线上．
D
C
P
A
BE
作业
2 ． 如 图 ， AD 是 △ ABC 的 角 平 分 线 ， DE ⊥ AB ， DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD 于点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论．
PE
G
A
BF
类比的想法
各边作垂直，标垂足． 由角的平分线的性质得
PF = PG 及 PG = PH． 进而PF = PG = PH．得证．
类比 （2）点P在∠BAC的平分线上吗？这说明三角
形的相邻两个外角的平分线与第三个内角的平分线有
什么关系？
分析：“双垂距离推角分”
H D 略证：（用已证结论）
C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另 一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
A D
整理思路：
C
P
F
1．“角分双垂推相等”得PD = PE 2．△ODP≌△OEP
O
E B 3．△ODF≌△OEF
需要OD = OE，∠DOF = ∠EOF
A
D
C
可按板块书“扩写”
PF
∴Rt△ODP≌Rt△OEP．
在外角的平分线上．
O4
例 如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P
在线段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，点D到PE和PF 的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．
BE
A 34 P 12
D FC
分析：标图 1．“点到角两边的距离相等”
当已知，想定理2 当求证，想定理1 2．平行线用以转换角的位置
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另
一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
A
思路调整：少用一次全等
D
C 1．“角分双垂推相等”得PD = PE
P F 2．外角∠OPD＝∠OPE
O
E B 3．△PDF≌△PEF
A
D
C
PF
O
EB
∴PD是∠EPF的平分线（定理2）．
∴∠1 = ∠2．
A 34 P 12
B E D FC
注意鉴别易混定理．
∵PE∥AB，∴∠1 = ∠3． 同理，∠2 = ∠4． ∴∠3 = ∠4． ∴△ABC中，AD平分∠BAC． ∴点D到AB和AC的距离相等．
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另
一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
A
分析：标图
D
C 已知可推？
P F “角分双垂推相等”得PD = PE
O
E B △ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF
求证何来？ 可能来自全等
△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另
一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
A
分析：标图
D
C 已知可推？
P F “角分双垂推相等”得PD = PE
O
E B △ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF
求证何来？ 可能来自全等
△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，
证明： 会-对-好
∵∠DPF = ∠ODP+∠DOP， ∠EPF = ∠OEP+∠EOP，
∴∠DPF = ∠EPF． 在△PDF≌△PEF中
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
PD PE，
∴∠ODP = ∠OEP = 90º． DPF EPF，
又点P在∠AOB平分线上， PF PF，
∴∠DOP = ∠EOP，
∴△PDF≌△PEF．
PD = PE．
∴DF = EF．
小结
1．我们在这阶段学习了两个定理，需注意区 分它们的条件和结论，以免发生混淆． 2．有些几何问题的解决需要添加辅助线，目 前常见的辅助线以补全基本图为主． 3．一般的分析方法：已知可推什么？求证从 哪里来？找常见基本图与基本说法等．可以先 思考核心步骤再展开写以免干扰思路．
P
∵PD = PE = PF（已证），
B
QE
C 又PD⊥AB，PF⊥AC，
∴点P在∠BAC的平分线上．
这说明：三角形的三条角平分线交于一点．
类比 如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与
∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．（1）求证：
点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．
HD C
思路：过点P分别向三角形
角的平分线的性质的综合运用
复习 两个定理
1．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE．
A
2．角的内部到角的两边的距离
D C
相等的点在角的平分线上．
P
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线上． O
EB
回顾 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于
例 如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P
在线段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，点D到PE和PF 的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．
BE
A 34 P 12
D FC
整理思路： 处理这个问题分3步走： 先用定理2证等角 再用平行关系换角的位置 最后用定理1再证距离相等
证明：∵点D到PE和PF的距离相等，
O
EB
证明：∵点P在∠AOB的平分线上，∴OD = OE．
∴∠DOP = ∠EOP ． 又PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE． 在Rt△ODP与Rt△OEP中
PD PE， OP OP，
在△ODF与△OEF中 OD OE， DOF EOF， OF OF，
∴△ODF≌△OEF．
∴DF = EF．
A
EG F
B
D
C
B
C
应用 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在
三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要
使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处
修建？
A
分析：
可以从定理1入手
也可以从定理2入手
B
C 总之找角平分线交点
已知△ABC，在它的内部求作一个点O，使其到三
角形三边都相等．
作图：
分别作∠BAC和
A
∠ABC的平分线，
P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A
ND
F
M
思路：过点P分别向三角形 各边作垂直，标垂足．
P
由角的平分线的性质得
B
E
C
PD = PE 及 PE = PF．
进而PD = PE = PF．
于是问题得证．
追问 点P在∠BAC的平分线上吗？
这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
A
ND
F
M
分析：“双垂距离推角分” 略证：（用已证结论）
两线交于点O，
则点O即为所求．
O
课下可以试试证明．
B
C
发展 已知△ABC，求作一个点O，使其到三角形
三边都相等． A
分析：
（1）根据之前的Biblioteka 研究，在三角形内O1
部，两条角平分线
B
C
的交点符合要求；
（2）在三角形的外部呢？ 有相邻两外角的平分线的交点，符合要求吗？
O2 B
A
O1 C
作法：如图 （1）作△ABC两 内角的平分线，其 O3 交点为O1； （2）分别作 △ABC两外角平分 线，其交点分别为 O2，O3，O4．
O4
作法：如图
O2
（1）作△ABC两
A
内角的平分线，其
O3 交点为O1；
O1
（2）分别作
B
C
△ABC两外角平分
线，其交点分别为
O2，O3，O4．
O4
则O1，O2，O3，O4即为所求．
O2
回答之前的问题：
A
不加“角的内部”
定理2是不对的．
O3
O1
还有其他点符合要求
B
C
到角两边距离相等的点在
三角形内角的平分线或者
∵PF = PG = PH（已证），
G P E 又PF⊥AB，PH⊥AC，
A
BF
∴点P在∠BAC的平分线上．
这说明：三角形的相邻两个外角的平分线与
第三个角的角平分线交于一点．
应用 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在
三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要 使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处 修建？
小结
4．有时候解决问题的方法不止一种，步骤难 度可能差不多也可能有优劣． 希望大家多尝试，多比较，多思考，多积累， 逐步做到会-对-好．
作业
1．如图，△ABC的角平分线AP和外角平分线BP 相交于点P，求证：点P也在∠BCD的平分线上．
D
C
P
A
BE
作业
2 ． 如 图 ， AD 是 △ ABC 的 角 平 分 线 ， DE ⊥ AB ， DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD 于点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论．
PE
G
A
BF
类比的想法
各边作垂直，标垂足． 由角的平分线的性质得
PF = PG 及 PG = PH． 进而PF = PG = PH．得证．
类比 （2）点P在∠BAC的平分线上吗？这说明三角
形的相邻两个外角的平分线与第三个内角的平分线有
什么关系？
分析：“双垂距离推角分”
H D 略证：（用已证结论）
C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另 一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
A D
整理思路：
C
P
F
1．“角分双垂推相等”得PD = PE 2．△ODP≌△OEP
O
E B 3．△ODF≌△OEF
需要OD = OE，∠DOF = ∠EOF
A
D
C
可按板块书“扩写”
PF
∴Rt△ODP≌Rt△OEP．
在外角的平分线上．
O4
例 如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P
在线段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，点D到PE和PF 的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．
BE
A 34 P 12
D FC
分析：标图 1．“点到角两边的距离相等”
当已知，想定理2 当求证，想定理1 2．平行线用以转换角的位置
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另
一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
A
思路调整：少用一次全等
D
C 1．“角分双垂推相等”得PD = PE
P F 2．外角∠OPD＝∠OPE
O
E B 3．△PDF≌△PEF
A
D
C
PF
O
EB
∴PD是∠EPF的平分线（定理2）．
∴∠1 = ∠2．
A 34 P 12
B E D FC
注意鉴别易混定理．
∵PE∥AB，∴∠1 = ∠3． 同理，∠2 = ∠4． ∴∠3 = ∠4． ∴△ABC中，AD平分∠BAC． ∴点D到AB和AC的距离相等．
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另
一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
A
分析：标图
D
C 已知可推？
P F “角分双垂推相等”得PD = PE
O
E B △ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF
求证何来？ 可能来自全等
△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另
一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
A
分析：标图
D
C 已知可推？
P F “角分双垂推相等”得PD = PE
O
E B △ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF
求证何来？ 可能来自全等
△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，
证明： 会-对-好
∵∠DPF = ∠ODP+∠DOP， ∠EPF = ∠OEP+∠EOP，
∴∠DPF = ∠EPF． 在△PDF≌△PEF中
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
PD PE，
∴∠ODP = ∠OEP = 90º． DPF EPF，
又点P在∠AOB平分线上， PF PF，
∴∠DOP = ∠EOP，
∴△PDF≌△PEF．
PD = PE．
∴DF = EF．
小结
1．我们在这阶段学习了两个定理，需注意区 分它们的条件和结论，以免发生混淆． 2．有些几何问题的解决需要添加辅助线，目 前常见的辅助线以补全基本图为主． 3．一般的分析方法：已知可推什么？求证从 哪里来？找常见基本图与基本说法等．可以先 思考核心步骤再展开写以免干扰思路．
P
∵PD = PE = PF（已证），
B
QE
C 又PD⊥AB，PF⊥AC，
∴点P在∠BAC的平分线上．
这说明：三角形的三条角平分线交于一点．
类比 如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与
∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．（1）求证：
点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．
HD C
思路：过点P分别向三角形
角的平分线的性质的综合运用
复习 两个定理
1．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE．
A
2．角的内部到角的两边的距离
D C
相等的点在角的平分线上．
P
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线上． O
EB
回顾 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于
例 如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P
在线段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，点D到PE和PF 的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．
BE
A 34 P 12
D FC
整理思路： 处理这个问题分3步走： 先用定理2证等角 再用平行关系换角的位置 最后用定理1再证距离相等
证明：∵点D到PE和PF的距离相等，
O
EB
证明：∵点P在∠AOB的平分线上，∴OD = OE．
∴∠DOP = ∠EOP ． 又PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE． 在Rt△ODP与Rt△OEP中
PD PE， OP OP，
在△ODF与△OEF中 OD OE， DOF EOF， OF OF，
∴△ODF≌△OEF．
∴DF = EF．
A
EG F
B
D
C